概率论课后答案.doc

第 一 章习 题 一1（4）解：设=“两件都是不合格品”，=“一件是合格品，另一件是不合格品”，=“已知所取两件中有一件是不合格品”，则，由题意知，故P |A=3. 解：A:表示两个一级队被分在不同组，则:表示两个一级队被分在同一组5解：设一段长为，另一段长为，样本空间，所求事件满足： 从而所求概率.6解：设所取两数为样本空间占有区域, 两数之积小于:,故所求概率,而,故所求概率为. 8.解：设某种动物由出生算起活到20年以上，某种动物由出生算起活到25年以上，则所求的概率为9解：设某地区后30年内发生特大洪灾，某地区后40年内发生特大洪灾，则所求的概率为.10.解：设A=收报台收到信号“.”，则=收报台收到信号“-”，设B=发报台发出信号“.”，则=发报台发出信号“-”，由题意知道：由贝叶斯公式得：12解：设：所抽螺钉来自甲厂 ， ：所抽螺钉来自乙厂，：所抽螺钉来自丙厂，：所抽螺钉是次品，则， ，（1）由全概率公式： （2）由贝叶斯公式：.13解：设A:直到第次才取次红球=第次取到红球前n-1次取到k-1次红球，则所求的概率为14解：设A表示灯泡使用寿命在1000h以上，则由题意得，设事件B表示三个灯泡使用1000h后恰有个坏了，则“三个灯泡使用1000h后最多只有一个坏了”这一事件课表示为，由二项概率公式所求概率为15解：设试验E从二盒火柴中任取一盒，取到先用完的哪盒，则所求概率为将E重复独立作次发生次的概率，故所求的概率为. 16设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：、设A：取到白球，B：从甲球袋取白球173个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A=敌机被击落，Bi=i个射手击中，i=1,2,3. 则B1,B2,B3互不相容.由题意知：，由于3个射手射击是互相独立的，所以因为事件A能且只能与互不相容事件B1,B2,B3之一同时发生.于是（1）由全概率公式得（2）由Bayes公式得 .第 二 章1（4）.设随机变量的密度函数为，用表示对的3次独立重复观察中事件出现的次数，. 解：，由二项概率公式.2解：报童赔钱卖出的报纸钱不够成本，而当 0.15 X0时，, .（3）.17.设在内服从均匀分布，求方程有实根的概率. 解: “方程有实根”即，故所求的概率为=.18.设电源电压，在电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为，求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电压在伏的概率.解：设， 电子元件损坏，则（1）完备，由全概率公式，今，同理， 从而.（2）由贝叶斯公式.19.随机变量的分布律为21013求的分布律0149 解：. 20.概率密度函数为，求的概率密度函数. 解：的反函数为，代入公式得. 21.设随机变量，求随机变量在内概率密度.解法一（分布函数法） 当时，时，当时，从而 解法二（公式法）在单增，由于反函数在可导，从而由公式得22.，求的密度.解法一（分布函数法）因为，故，当时， .解法二（公式法）的值域，反函数，故 .23.设随机变量服从上的均匀分布，分别求随机变量和的概率密度和.解：的密度为，（1）函数有唯一反函数，且，故 .（2）在区间上，函数，它有唯一反函数，且，从而 .第 三 章1(4)习 题 三解：如上图，由归一性，得，2 解：（1）由乘法公式容易求得分布律易知，放回抽样时且0101 于是 的分布律为 （2）不放回抽样，则,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个故 又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故0101 ,且 于是 的分布律为 放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立3.(3) 4.解 =, =随机变量及是独立的.5.解：（1）因为所以所以X,Y独立（2）7 解 （1）= （2）的边缘分布函数=.由此得随机变量的边缘分布密度函数同理可得随机变量的边分布函数=的边缘分布密度函数（3）由（2）知=，所以与独立.8.教材52页例59解 由题意，得 ， 设两周的需求量为，则当时=故10. 解 设为选取的第只电子管的寿命，则令则所求概率为=（由独立性）=而因此11解 设，由于相互独立同分布，于是有则又+=+（=解得：因而有两个值.由于，所以，当时，由=得当时，由=得.12.设二维随机变量的概率密度为= 求（1）常数A（2）的边缘概率密度；（3）。解：（1）由 =1，即，即 因此= （2）的边缘概率密度为当，=，当，=，可知边缘分布密度为：=（3）=13. 设二维随机变量的概率密度为=求（1）常数c（2）问是否独立。解 因为 =1，即， 对任意，=，所以=对任意，=，所以=故=，所以与相互独立.14. 设二维随机变量相互独立，且服从上的均匀分布，求的概率密度。解 因为二维随机变量相互独立服从上的均匀分布所以，所以在0，2中取值，按卷积公式得到的概率密度为： 要使概率密度函数不为零，则当时，则所以15. 设二维随机变量的概率密度为=求（1）问是否独立。（2）求的概率密度。 解 （1），当时（积分时，是常量）当时，同理，当时，当时，因为，故与不相互独立.（2）当时，当时，习 题 四2.解：设随机变量Y表示随机的取10件产品中所含次品的数量，则于是不需要调整的概率为，则需要调整的概率为由题意得，所以数学期望 3.解：设表示第i个战士射击的次数，则独立同分布，平均来看，应准备的子弹为，下求的分布X1234P0.8所以所以应准备的子弹为4. 解：5. 解：设厂方出售一台设备的净利润为，则Y100-200PP1-p下求p，所以Y100-200P1-所以6 解 （1）的边际分布见表上，故10.4+20.2+30.4；-1010.20.100.40.10.10.1=-10.3+10.3=0.（2）的可能取值为.易知的分布律如表为故=-10.20.10.1+0.1+0.1+10.1=，解法2 （3）=-1-2-301230.20.100.40.10.10.1的可能取值为-1，-2，-3，0，1，2，3.且有如表的概率分布：=-10.2+（-2）0.1+10.1+20.1+30.1=0.2 所以=5解法2 =+7 解 = = = = 其中“”表示对的形式导数.所以8 解因为故有：，故，所以：9.解：有归一性，得即：又因为即 联立(1)(2)式解得10.解：（1） (2) 因为，相互独立，故11解：（1） (2)12解 =-+=+=13.证明：(1) (2) (3)14.解：因为，对称，所以，因为，对称，所以，因为，对称，所以15解：(1)设X表示1000次试验中事件A发生的次数，则，则，所以所求概率为 ，利用切比雪夫不等式（），则(2)由题意知，由独立同分布中心极限定理知，其中，所以所以所求概率为16解：设各零件的重量为，则总重量为由于相互独立且同分布，故由独立同分布中心极限定理知，所以所求概率为18 解 设第次轰炸命中目标的次数为,则为独立同分布系列,且,命中目标的总次数,由独立同分布的中心极限定理 (近似),因此,所求概率为18 解：设老人死亡数为，保险公司亏本当且仅当即，于是，由棣莫佛拉普拉斯定理故公司亏本的概率：19解 20.解：设表示200架分机要使用外线的分机数，有题设知道，在设表示需至少配备的符合题设要求的电话外线数，则外线够用定价于，则所求的应满足，由独立同分布的中心极限定理， 即所以可以取，即至少要有14条外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。21设的概率密度为，求及 解 =22设，相互独立，且的概率密度为，求解 因为，相互独立，所以=23 某车间生产的圆盘直径在区间上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解 直径所以：=24设，相互独立，且具有同一分布，其中的分布律为求 解：令的取值为0，1，故：类似可求得25 设的概率密度为 求解 所以=26设随机变量在某一区间上服从均匀分布，且，求(1)求的概率密度；(2)求(3) 求解 (1)由已知有:所以: (2) (3) .27 设的概率概率密度为，求解 故（关于为奇函数）=0故28 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在之间的概率。 解： 设正常男性成人每毫升血液中所含白细胞数为，则习 题 五1（2）由题意知道，所以所以所求概率（3）由题意知道所以所求概率查表 所以（5）解：由题意知道，所以由分布的定义知即2.设是来自总体的一个样本，其中，则(1)(2)证明：(2) 3、解：（1）时，样本方差（2）未知时， 4. 证明：因为，所以可以表示为如下形式，其中，且相互独立。从而又因为，故5.解：由题意知道所以所以所求概率为查表 所以6、解：，（1）相互独立，于是的联合概率密度（2）也服从正态分布，,于是，的概率密度为：7、解：（1），且相互独立， 故： （2），故 ，相互独立，有 （3），且它们相互独立由分布定义，有 9、设是来自总体泊松分布的一个样本，求(1) 的分布律；(2) 解：（1）分布律为 相互独立 （2）习 题 六1.（1）设是来自总体的样本，为总体均值均值的无偏估计，则。解：因为为总体均值均值的无偏估计所以（2）设总体的一个容量为2的样本为总体均值均值的无偏估计，则和中较为有效。（3）若由总体为未知参数）的样本观察值求得，则称是的置信度为的置信区间。（4）设总体的均值未知，根据来自的容量为10的简单随机样本测得的样本均方差为则的方差的置信度为0.95的置信区间为。2 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以计）：试求总体均值均值及方差的矩估计，解：由P 令故3设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的极大似然估计和矩估计，解：先求极大似然估计：，令再求矩估计：，令4设总体的概率分布为0123其中是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3。求的极大似然估计和矩估计，解：矩估计：令，又（抽样时，出现一次，出现两次，出现一次，出现四次，所以5设是来自总体的一个样本，试求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的极大似然估计和矩估计，（1）其中未知参数为矩估计：令极大似然估计，令（2）其中未知参数为矩估计：令极大似然估计，令6设是来自总体的一个样本，试确定常数，使为的无偏估计。解; (独立同分布于)7 设总体的分布律为为未知参数，今从该总体中抽取一随机样本，求的矩估计。令8.设总体，样本观察值：求总体均值的置信度为0.95的置信区间（1）已知 （2）未知（1）由题中条件知道，的置信度为的置信区间为查表（2）未知，由题中条件知道 ，的置信度为的置信区间为查表9.随机地从批导线中抽取4根，又从批导线中抽取5根，测得电阻为：批导线：0.143，0.142，0.143，0.137批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140 设测定数据分别来自分布，且两样本相互独立，又均为未知，试求的置信度为0.95的置信区间解：由题中条件有由 页 式 ，的置信度为的置信区间为10. 随机的抽取某种炮弹9发炮弹作试验，炮口速度的样本标准差，求的置信度为0.95的置信区间解：，故：查表，所以11.某种清漆的9个阳平，其干燥时间(小时)分别为：6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0，设干燥时间总体服从，求的置信度为0.95的单侧置信上限。(未知)解：，故：由题中条件有所以的置信度为0.95的单侧置信上限为12.已知总体量的概率密度为是来自总体的样本，求参数的矩估计量。解：。，从而为矩估计量，为其矩估计值。13. 已知总体的概率密度为是来自总体的样本，是样本值，求参数的矩估计量及矩估计值