亚历山德罗夫.doc

徐轶 2007103137 经分一班亚历山德罗夫杜 瑞 芝(大连理工大学)亚历山德罗夫，(， )1896年5月7日生于俄国博戈罗茨克，今诺金斯克()；1982年11月16日卒于莫斯科数学亚历山德罗夫出生于博戈罗茨克一位著名的区段医生()的家庭父亲谢尔盖亚历山德罗维奇亚历山德罗夫( )是沙俄末期一名进步的知识分子，在莫斯科大学医疗系毕业后，他放弃留在大学里工作的机会，自愿到边远地区担任区段医生，为普通民众治病经过多年的实践，终于成为当时俄国著名的外科专家父亲的生活道路对亚历山德罗夫人生观的确立有很大影响他从小就热爱劳动，对自然科学有浓厚兴趣母亲采扎里娅阿基莫夫娜亚历山德罗娃( )是一位受过良好教育的妇女，她把自己的全部精力都用在照顾丈夫和抚育子女上亚历山德罗夫幼时体质较弱，不便到学校就读，母亲就亲自承担他的早期教育在早期的家庭教育之后，亚历山德罗夫进入斯摩棱斯克公立中学读书他在13岁时开始对数学发生兴趣在一堂数学课上，教师AP艾格斯()给同学们讲授罗巴切夫斯基几何非欧几何的创立及其原理使少年亚历山德罗夫激动不已，他在课后立即向老师追问其中不解之处不久，艾格斯向他的学生推荐一本关于几何基础的书，亚历山德罗夫在老师的帮助下很快就理解了它的内容这本书使他大开眼界，亚历山德罗夫从此迷恋于数学在艾格斯老师的鼓励和指导下，亚历山德罗夫在中学期间就熟读了非欧几何和微积分艾格斯学知广博，他的文学修养和对人文科学的兴趣对亚历山德罗夫也有很大影响他们师生之间建立了深厚友谊，并一直保持到亚历山德罗夫成为著名学者之后 1913年，亚历山德罗夫以优异成绩从中学毕业，并获金质奖章同年进入莫斯科大学物理数学系学习在以前的很长时间内，莫斯科大学的数学研究远远落在欧洲几所一流大学之后亚历山德罗夫学习期间，正值HH鲁金()和叶戈罗夫()在实变函数论领域取得经典结果之时不久，在莫斯科大学就以鲁金为核心，形成了函数论学派亚历山德罗夫在大学期间就开始了科学研究，并取得出色的成果 1917年，亚历山德罗夫大学毕业并留校工作次年，他根据鲁金的建议着手研究连续统问题，没有获得成功这使他对自己的数学能力产生怀疑在以后的两年内，他脱离了数学研究，先后在谢维尔诺夫戈罗德和契尔尼戈夫等地的剧团从事编导工作，结交文学艺术界的名流1920年，当他路经莫斯科时，受到鲁金、叶戈罗夫、普里瓦洛夫()、BB斯捷潘诺夫()的亲切欢迎，使他重新产生从事数学研究的激情 19201921年，亚历山德罗夫在斯摩棱斯克大学任教，并定期到莫斯科大学参加学术活动在此期间，结识了鲁金教授的年轻助教乌雷松()，他们很快成为最亲密的朋友1921年，亚历山德罗夫调到莫斯科大学工作最初他以额外教授的资格任教，1929年晋升为教授 1922年夏，亚历山德罗夫和乌雷松到莫斯科郊外的波尔舍瓦度假就是在这个暑期，他们开始了在拓扑学领域的创造性工作最初的成果在国内没有引起重视1923年夏和1924年夏，他们两次共同出国留学第一年，他们来到欧洲数学发展的中心格丁根大学当时格丁根大学的学术环境与莫斯科大学鲁金学派繁荣时期很相似他们一面向各位数学大师学习，一面宣传自己在拓扑学研究中的新思想他们的工作很快引起F克莱因(Kline)和D希尔伯特(Hilbert)的兴趣，并得到赞许1924年以后，他们的论文开始在欧洲几种主要的数学杂志上发表在此期间，AE诺特(Noether)及R库朗(Courant)的工作对他们有很大影响1924年夏，亚历山德罗夫和乌雷松先后来到波恩和阿姆斯特丹，拜访F豪斯多夫(Hausdorff)和LF布劳威尔(Brouwer)他们对拓扑学研究中的一些感兴趣的问题，进行了愉快的讨论 1924年8月，亚历山德罗夫和乌雷松在经过巴黎时的短暂逗留之后，来到布里塔尼半岛，在一个名叫巴斯(Bourg de Batz)的小渔村住下，准备在这里研究一些新课题不幸的是，1924年8月17日，年仅26岁的乌雷松在海水浴中葬身大西洋就在出事的当天早晨，乌雷松还写出新的研究论文的第一页失去挚友的悲痛使亚历山德罗夫几乎不能继续工作1925年春到1926年夏，他在荷兰与布劳威尔共同整理乌雷松的科学手稿，并安排了付印计划由于他们的努力，乌雷松的许多贡献才没有埋没 亚历山德罗夫和乌雷松在20年代初的研究是苏联数学家在拓扑学领域工作的开端，他们的工作奠定了莫斯科拓扑学派的基础在以后的几十年内，亚历山德洛夫继续为该学派的发展和壮大做出卓越的贡献 从1925到1932年间，亚历山德罗夫每年大约有四分之三的时间在国外度过通常是夏末去国外，来年春天才返回他定期到格丁根大学进行学术交流，如开设拓扑学讲座、参加诺特的研究班、与霍普夫(Hopf)共同举办拓扑学讨论班，等等亚历山德罗夫在1926年与霍普夫相识，并结为好友他们在拓扑学方面的合作是极富成效的1927年秋，他们一起来到普林斯顿，又结交了当代著名拓扑学家JW亚历山大(Alexander)、S莱夫谢茨(Lefschetz)和O维布伦(Veblen)等人，共同探讨拓扑学中的问题亚历山德罗夫在这一时期所进行的广泛的学术交流对拓扑学的发展有很大推动作用，他所建立的国际关系促进了苏联数学水品的提高亚历山德罗夫从1921年起一直在莫斯科大学工作早年他开设过实变函数论、一般拓扑学(在莫斯科大学首次讲授)和伽罗瓦理论等课程他还主持了高等几何和拓扑学讲座，创办了拓扑学讨论班，并领导苏联科学院斯捷克洛夫数学所一般拓扑学研究室的工作1932年以来他担任莫斯科数学会主席达33年之久，1964年开始任名誉主席19581962年，担任国际数学协会副主席亚历山德罗夫是苏联一些主要数学杂志的编委，数学科学成就( )的主编 亚历山德罗夫的科学、教育和社会活动得到社会的高度评价他于1929年当选为苏联科学院通讯院士，1953年成为正式院士他还是许多国家的科学院和学术团体的成员，如柏林科学院、奥地利科学院、波兰科学院、民主德国科学院、美国国家科学院、美国哲学学会等等苏联政府于1969年授予他社会主义劳动英雄称号，他还曾获得多种奖励和荣誉称号亚历山德罗夫的数学研究开始于实变函数论和描述集合论在19世纪，数学家们主要研究连续函数，到20世纪初，由于数学分析的发展，连续函数的许多结果被推广到更一般的函数类上这时，由G康托尔(Cantor)创立的集合论已成为数学研究，特别是分析学研究的有力工具法国数学家RL贝尔(Baire)、E波莱尔(Borel)和HL勒贝格(Lebesgue)成功地用集合论方法来研究间断函数、集合测度和积分概念的推广等课题，特别是划分出B函数与B集合类，研究了B-集合的构造由于这些工作，产生了数学中一个新的研究方向描述集合论当时所研究的两个关键性问题是：1详细研究B集合的构造；2构造出非B集合的新集合类在20世纪第二个10年中，由于鲁金和叶戈罗夫在实变函数论方面的工作，莫斯科大学内集合论和函数论研究方兴未艾亚历山德罗夫在大学一年级时就参加了叶戈罗夫领导的函数论讨论班1915年，他得到了第一个研究成果，即证明了凡不可数B集合必包含完备子集由此可知，凡不可数B集合的势必等于连续统的势为证明这个结果，他建立了A运算这种运算对集合论方法的发展产生了重要影响苏联数学家苏斯林()就是借助于A运算作出了比B集合类更广的一类新集合A集合类由此还引出射影集合理论、集合的一般理论的研究 1922年以后，亚历山德罗夫转向拓扑学的研究他早期和乌雷松共同创立和发展了紧与列紧空间理论之后，他又引进了一系列基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，导出一系列对偶性原理的基本规律，发展了连续映射理论，为现代拓扑学做出奠基性的贡献 自康托尔研究欧氏空间的点集开始，数学家们对欧氏空间的点集理论进行了细致深刻的研究，到19世纪末已清楚地掌握了欧氏空间的拓扑结构，给点集拓扑学的形成提供了一个内容丰富的模型在此基础上，法国数学家弗雷歇(Frecht)提出抽象空间理论(1906)不久以后，德国数学家豪斯多夫建立了拓扑空间理论(1914)，标志着点集拓扑学的产生在点集拓扑学的发展过程中，亚历山德罗夫的贡献是卓越的他是主要的奠基人之一 在20年代初，这一新的数学分支有两个中心课题，一个是拓扑空间的紧致性问题，另一个是拓扑空间的度量化问题亚历山德罗夫在与乌雷松合作期间，在这两方面都得到了重要结果他们首先研究豪斯多夫空间类，提出了丰富而有趣的问题例如，他们提出并解决了有关H闭空间(即绝对闭于豪斯多夫空间)的问题，给出了几个等价条件自1923年他们提出紧性定义之后，共同建立了紧空间和列紧空间理论他们引进了一系列基本概念，证明了关于紧性与列紧性的若干定理他们给出的紧空间的三个定义如下 定义1拓扑空间R称为紧的，如果对于空间的每一个无穷集A，都存在点x，使A与x的任一邻域的交的势与A的势相等(他们称这种点为完全聚点) 定义2拓扑空间R称为紧的，如果空间中所有的非空闭集的递减超限序列都是不空的 定义3拓扑空间R称为紧的，如果对每一个覆盖R的无穷开集系统，可从中选出有限个元的子系统，它也能覆盖住R 他们证明了定义1，2，3中所阐明的三个性质是等价的他们所确定的紧空间类完全独立于奥地利数学家韦特利(Vietoris)的工作他们还引进“紧统”、“常空间”、“法空间”等概念，研究紧空间及与上述概念相关的性质，建立一系列定理他们把关于紧空间的许多结果推广到列紧空间，建立了相仿的概念和定理 此外，亚历山德罗夫还建立了局部紧空间的理论，证明了关于一点紧化定理、关于势敛的定理以及关于权与拟权关系的定理等 亚历山德罗夫和乌雷松关于紧与列紧空间的理论被许多数学家发展例如，在他们工作的基础上，AH吉洪诺夫()解决了具有紧豪斯多夫扩张的一般空间的问题，奠定了紧扩张理论的基础；而韦杰尼索夫()则证明了在连续映射下紧性保持不变的定理 拓扑空间的度量化问题就是用纯拓扑的语言来表达可度量空间的特征这个问题由亚历山德罗夫和乌雷松解决他们在1923年建立了第一个度量化准则，即给出拓扑空间可度量化的充要条件：该空间是具可数加细覆盖系统的仿紧空间他们还建立了几个关于特殊空间类的度量化准则关于可数重空间和列紧空间的度量化准则属于乌雷松对于局部列紧空间，亚历山德罗夫证明了其可度量化的充要条件是该空间是豪斯多夫空间，并可表示成互斥开集之和，每个开集的权不超过可数亚历山德罗夫还对可分空间证明了关于G集完全可度量化是遗传的，这一工作不久被豪斯多夫推广1960年，亚历山德罗夫引进点正则基的概念，并应用它得出新的度量化准则：拓扑空间可度量化的充要条件是它是族状正规的且有点正则基他的学生AB阿尔汉格尔斯基()也得到类似的结果 1925年，亚历山德罗夫建立了现在通用的拓扑空间公理系统的最终形式 在点集拓扑学中，除上述的紧空间、列紧空间、局部紧空间、H闭空间、完全聚点等，还有许多重要的基本概念是亚历山德罗夫提出并研究的，如二进空间、闭映射、局部有限族、商空间、逆向序列的极限等还有些概念是他和乌雷松共同提出的，如林德勒夫空间、正则空间类等 20年代中期，亚历山德罗夫了解到布劳威尔在拓扑学方面的工作，特别是关于维数的拓扑不变性的研究，对他有很大启示从此以后，他的研究工作进入一个新的阶段在此之前，数学家们在研究拓扑问题时，或运用纯几何的方法(又称组合方法)，或运用纯集合论的方法亚历山德罗夫在这一时期研究工作的主要特点是把上述两种方法有机地结合起来，从而把以前仅限于多面体的某些结果移植到紧与列紧空间中来，实现把组合拓扑学方法向集合论对象上的转移，奠定了同调理论的基础亚历山德罗夫在1925年引进的覆盖的网的概念是他进一步研究的基础设X是拓扑空间，W是X的有限开覆盖，W的网是一个单纯复形Nw .它的顶点排列为p1，p2,pk,和W的元一一对应，若使pi1，pi2,pik Nw，当且仅当Ui1Ui2Uim.如果覆盖W/后于W,即W/是W的重分,则可定义一个自然的单纯映射WW/(把网NW/映成网Nw)所以，如果X是紧统，而w通过它的所有有限开覆盖的有向簇,那么就确定了紧统X的由网Nw的有向簇和与之相关的映射WW/组成的投影谱SS以某种自然形态确定自己的极限空间，它同胚于紧统X这样一来，空间X的所有拓扑性质可以通过它的投影谱的性质来描述，即通过网Nw及其单纯映射的性质来描述特别地，关于维数和同调的性质就可以这样描述 由这种方式所产生的关于点集拓扑学及其构造方法的新观点具有重要意义，这种观点在很大程度上影响了拓扑学发展的方向覆盖的网的概念的第一个应用是亚历山德罗夫建立的关于以同维多面体“逼近”列紧统的几个著名概念定理： -平移：设0，A，B是度量空间X的子空间，f为A到B的连续映射，如果对任意。xX，(x，f(x)均成立，则称f为平移 平移定理：设X为m维欧氏空间Rm的有界子空间，且dimXn，则对任意0，存在X到多面体KRm上的平移，其中dimKn 映射：设0，f为度量空间X到拓扑空间Y的连续映射，如果对任何yy，f1(y)均为直径小于的集，则称f为映射 映射定理：m维欧氏空间Rm的紧子空间X满足不等式dimXn，当且仅当对任意0，存在X到Rm中维数n的多面体K上的映射后来亚历山德罗夫把映射定理推广到更一般的空间 亚历山德罗夫还研究了度量空间的本质映射，建立了关于维数的另一个重要的特征定理拓扑空间X到Rn1中的(n1)球的连续映射f：XBn1是本质的，如果不存在连续映射g：XBn1，使gf1(Sn)ff1(Sn)且Bn1g(X)亚历山德罗夫证明了下面的本质映射定理：空间X满足不等式indXn(0)的充要条件是没有连续映射f：XBn1是本质的这个定理又被他推广到更广义的空间类本质映射定理在维数论中有重要地位，它是联系乌雷松门杰(KMenger)维数论与亚历山德罗夫的同调维数论的中心环节 19281932年，亚历山德罗夫在上述工作基础上，创立了同调维数论，这是同调理论的重要应用这项工作不仅使维数论得到巨大发展，而且开辟了同调论研究的崭新途径这是亚历山德罗夫在拓扑学中最重要的贡献 20世纪初，布劳威尔以及稍后的切赫(ech)给出了维数的严格定义，称为大归纳维数；门杰及乌雷松把上述思想局部化之后，得到另一种维数定义，即小归纳维数；勒贝格发现了方体覆盖的有趣事实后，切赫又引进了第三种维数，称为覆盖维数亚历山德罗夫所定义的同调维数是紧豪斯多夫空间关于可换群的维数，是第四种维数他研究了同调维数的性质，证明了一系列基本定理，如求和定理、列紧统必包含康托尔流形的定理、障碍定理等，研究了几种维数的关系，特别是同调维数与小归纳维数的关系同调维数论为拓扑学提供了新的有力的研究工具例如，关于积空间的庞特里亚金问题、关于任意空间Rn的闭子集的乌雷松问题等都在同调维数论的基础上得到解决由于亚历山德罗夫的理论具有十分明显的几何特征，所以它可以作为抽象维数论的直接例证特别地，在很广一类的列紧空间中，同调维数与其他维数的一致性证明了维数定义的正确性和自然性 同调维数论被许多数学家继承和发展这一领域的某些结果在集合论中又得到十分美妙的推广如亚历山德罗夫位移定理在很多年以后又穿上了新的外衣成为度量空间中以映射描述仿紧统的多克尔(Dowker)定理，这一结果现已成为仿紧空间的基本理论之一 同调维数论的另一个应用是JW亚历山大(Alexander)建立的对偶性理论在AH科尔莫戈罗夫()和亚历山大发现了上同调群后得到进一步的发展欧几里得空间或更一般的流形中列紧统的同调群和它的补之间的对应是这一类对偶性的例子问题的提出显然包含了开集的同调群的定义列紧统的补集亚历山德罗夫的理论建立了这一研究领域的坚实的基础庞特里亚金()在这个方向上发现并证明了著名的对偶规律 这样一来，在接近30年代中期的时候，拓扑学的两个完全不同的分支H庞加莱(Poincar)的代数拓扑学和由弗雷歇、豪斯多夫开创，亚历山德罗夫建立了重要功绩的点集拓扑学之间出现了实质性的联系亚历山德罗夫和霍普夫合作的专著拓扑学就是这两个拓扑学分支综合发展的结果，是集合论方法与组合拓扑学方法有机结合的典范遗憾的是，战争干扰了这部著作的完成原定三卷的计划仅完成了一卷，这就是著名的拓扑学I(1935)两位驰骋在拓扑学不同方向上的优秀大师所写的这部专著已成为拓扑学的经典之作它的出版是对拓扑学发展有重大影响的著名事件 在19401942年间(战时疏散时期)，亚历山德罗夫在拓扑学领域的研究工作达到高峰他完成了用同调方法研究复形和闭集的形式和分布的工作，也包括闭集及其补集的群的正合序列的研究这一时期的工作总结在他的专著复形和闭集分布的同调性质这部著作在1943年荣获苏联政府授予的最高奖国家一级奖金 在40年代末到50年代初，亚历山德罗夫及其学生建立了欧几里得空间中开集的同调理论，推动了同调理论的进一步发展亚历山德罗夫本人得到了第一个关于欧几里得空间中开集的一般对偶性规律及一系列有关结果这些工作发表在他的论著关于n维空间中开集的对偶性的基本定理中 亚历山德罗夫在拓扑空间同调论方面的工作，特别是创立维数的同调理论的工作与他在纯集合论领域的研究同时进行1939年，他开展了完全正则空间中列紧扩张的重要研究他提出的新观点是极有启发性的后来为波诺马廖夫()所发展。这一时期，他在点集拓扑学方面的另一个重要结果是证明了每一个权等于的紧统是广义康托尔不连续统D的闭子空间的连续像早在1927年，他就曾证明每一个列紧统都是寻常康托尔不连续统的Dt连续像与此相关，对任意，作为每一个广义康托尔不连续统D的连续像，他引进了二重紧统的概念不久后，E马尔切夫斯基()证明了每一个权0的紧统都不是二重的，而当0时情形却完全相反因此，二重紧统理论就显得十分有趣和重要 亚历山德罗夫还提出关于任意紧群空间的二重扩张()的假设，后来由(伊万诺夫斯基)和库兹明诺夫()证明他们还证明了二重紧统( )的可度量性可由第一个可数公理得出苏联和其他国家的一些数学家继承了这项工作50年代初，拓扑空间映射理论在亚历山德罗夫的直接影响下得到发展在他20年代创立的连续映射以及与之相关的紧统的连续剖分理论中，几乎每一个重要的结果都是进一步研究的起点例如，关于每一个列紧统的表示作为康托尔完备集的连续像的理论，发展为关于每一个紧统是同权的零维紧统的连续像的定理和二重紧统理论而紧统的连续映射理论则在任意空间的全映射理论中得到发展，等等亚历山德罗夫本人还得到了关于紧统开映射的第一批基本结果，提出这一领域的基本问题，证明了紧统的维数当施行可数重开映射时保持不变，这是一个与零维及有限重开映射密切相关的结果在亚历山德罗夫的影响下，完成了非紧度量空间到度量空间的闭连续映射理论的奠基性工作他的学生魏国施泰因()得到了关于这种映射边界紧性的结果，这个结果是通向闭映射理论的重要阶梯 1954年以后，亚历山德罗夫着重研究一般连续映射理论，同时在代数拓扑学和一般拓扑学的有关分支做出新的贡献 亚历山德罗夫的研究工作有很大的国际影响他先后在1961和1966年于布拉格举办的国际拓扑学会议上作重要报告在1961年的报告中，围绕连续映射理论，他提出了三个密切相关的问题，由此引发出大量的研究工作在1966年的会议上，他作了关于一般拓扑学研究的综合报告，其中给出空间和映射分类的基本原理，提出一些未解决的问题这两个报告对拓扑学的发展起到积极作用 亚历山德罗夫著述甚丰，他一生共发表论文150多篇，著作多种除前文提到的以外，流行较广的还有组合拓扑学、集与函数的泛论初阶、拓扑对偶定理，第一部分：闭集、群论导引( ，1951)、非欧几何是什么( ，1950)，等等他和乌雷松早年合作完成的重要论著关于列紧空间的研究报告已于1971年译成俄文出版 亚历山德罗夫不仅是一位才思敏捷的数学家，而且是一位杰出的教育家他在半个世纪的时间内为莫斯科大学培养了好几代数学家，其中最优秀的是吉洪诺夫和庞特里亚金在苏联，很难举出一个在拓扑学领域做出贡献的数学家，而未受过亚历山德罗夫的教育和影响 亚历山德罗夫具有作为杰出的教育家所必备的优秀品德他的性格热情而开朗，充满激情，对学生和周围的人有一种很强的感召力他讲课的气氛活泼而热烈，使人感到很亲切他的教育方式也很独特他经常带领他的讨论班上的年轻人进行所谓“拓扑学旅行”：有时是远距离的、持续数日的水上旅行(划船)，有时带领他们游泳(如横渡伏尔加河)，冬天在莫斯科近郊进行滑雪旅行，夏天则进行远距离的徒步郊游在旅途中，自然要谈论沿途的建筑、名胜古迹及民族风俗等，但最重要的是给学生指定拓扑学的研究课题在旅行中他与每个人多次交谈，大家也在一起讨论每次旅行，大家都能接受许多数学思想这种方式使参加者感到既兴奋又紧张，人人都在为完成自己的目标而努力 他的优秀品德还体现在对学生的关心他不仅在工作时间内与学生在一起，而且许多闲暇