《13.4 课题学习 最短路径》教学设计 .4课题学习：最短路径》.doc

课题：13.4 课题学习 最短路径（第1课时）厦门湖里实验中学 郭静妮内容分析1. 课标要求“综合与实践”是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动在综合运用所学数学知识、技能与思想方法解决问题的过程中，丰富数学活动经验，培养问题意识、应用意识与创新意识，提高解决问题的能力能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形能够综合运用轴对称及其有关的知识解决“两条线段和的最小值”问题2. 教材分析知识层面：本课是人教版数学八年级上册第十三章第四节内容，作为本章的最后一节内容，安排在13.1 轴对称、13.2 画轴对称图形与13.3 等腰三角形之后，具有综合总结应用的作用学生在七年级已经学习了“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”等与“最短”有关的知识在本章轴对称中，重点学习了轴对称的性质，并掌握了画轴对称图形的作图方法本节在上述知识技能基础上，要求学生解决实际问题本节包含两个极值问题：“饮马”问题与“造桥选址”问题，由“饮马”问题的学习递进到“造桥选址”问题，要求学生应用所学知识找到最短路径，即使得“几条线段的和最小”能力层面：本节从实际问题出发，抽象出数学模型，应用所学数学知识解决问题，体现了数学来源于生活，应用于生活，利于发展学生的应用意识学生在全等三角形等腰三角形等章节的学习中，或多或少经历了实验、操作、观察、发现、猜测、验证与归纳等过程，积累了一定类比、归纳等合情推理能力此外，在具体知识应用、习题解决中，也具备一定演绎推理论证能力“最短路径”作为学生已有知识与经验的总结学习，学生需要经历抽象、猜测、动手、检验、对比、论证等过程思想层面：本节课需要学生从实际问题中抽象出数学模型，并应用模型进一步解决问题，从中渗透着模型思想学生在本节之前，已有利用“两点之间，线段最短”解决“两定点在一条直线一侧”的最短路径问题的经验，本节在此经验的基础上，要求学生将新问题转化为旧问题，将“同侧”转化为“异侧”，将不共线的几条线段转化为共线（化折为直），应用已有经验解决新问题，从中体会转化与化归思想，这也是本节的主体思想基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 3. 学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生不一定想到、会用教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学目标1. 知识技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，理解解题的依据2. 数学能力：将实际问题抽象为数学问题在“猜测检验”等过程中发展合情推理能力，结合推理证明，发展演绎推理能力借助图形的变化解决问题，发展解决实际问题的能力和数学应用意识3. 数学思想：在将“同侧”化为“异侧”、化折为直的过程中，感悟化繁为简，将新问题转化为旧问题的转化与化归思想【设计意图】1. 知道解题的理论依据，能用轴对称的性质，将“同侧”问题化为“异侧”，能应用“两点之间，线段最短”化折为直能作一定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一定点，取得所要求的点2. 能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题经历“观察猜测动手检验”等过程进行合情推理能通过逻辑推理证明所求距离最短应用所学方法，举一反三，解决其他实际问题3. 能利用轴对称的性质将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题，化同侧为异侧，化折为直；在探索最短路径的过程中，观察比较，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想教学策略1. 本节采用学生合作探究，教师引导启发相结合的方法进行教学2. 学生经历“复习回顾问题解决应用提升”的过程，在“抽象观察猜测检验转化论证归纳”中，教师引导学生观察对比，将新知转化为旧知，发展合情推理能力与演绎推理论证能力，提升解决问题的能力教学过程一、复习回顾旧知1：1.（两个点）如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选则_.理由是_ _旧知2：2.（一个点，一条直线）如图,从点A到直线有四条路可供选择，你会选则_.理由是_ _【设计意图】师生共同复习已有的知识，为本节“最短路径”即“几条线段和的最小值”问题的解决提供理论依据，为新问题的探究作铺垫二、自主探究问题1：如图，牧民从A地出发，到笔直的河边m饮马，再到B地牧民在河边哪个位置C饮马，可使所走路程最短？保留作图痕迹，说明你的理由追问1.1：如图，如何证明点C符合要求？在m上任取一点C（与C不重合），连接AC与BC，根据三角形三边大小关系可知，AC+BCAB因为点C是任意取的，因此路径AC与BC表示任一条路径，任一条路径比AB长，所以AB是最短路径追问1.2：在图形中，与最短路径AC与CB相比，其他路径AC与BC有什么不同？其他路径是两条不共线的线段，折的，最短路径是两条共线的线段，直的，化折为直【设计意图】从学生较熟悉的“异侧”问题出发，开启探究，降低难度，适应学生的心理，吸引学生兴趣，树立信心学生在作图解决问题时，要求说明理论依据：两点之间线段最短这对学生而言，是比较容易的之后，教师进一步追问，引导学生思考如何证明“最短”，思考任一路径与最短路径的变化本质，即第一个转化之处：化折为直问题2：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，从A 地出发，到一条笔直的河边m饮马，然后到B地那么，到河边什么地方饮马可使他所走的路线最短？追问2.1：你能把这个问题的图形抽象出来吗？如图，在直线m上确定一点C，使得C到A、B的距离最小，即AC+BC的和最小追问2.2：符合条件的点C是否一定存在呢？（教师借助几何画板，师生一起进行检验）如下图，在直线m上任取一点C，量取AC与CB的距离之和，从左到右改变点C的位置，观察度量值的变化【设计意图】在问题1的基础上，借助数学史中的文化问题，将“异侧”问题改为“同侧”问题，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并在解决问题之前，教师利用几何画板，引导学生检验问题的合理性，自然引出接下来的问题解决小组活动1：猜测操作检验你认为满足条件的点C可能在哪个位置？请作图找出来预设：ACBC 预设：ACm 预设：点C为两垂足连线的中点 预设：点C为AB垂直平分线与m的交点【设计意图】学生在上述引导基础上，小组合作，经历观察、猜测、作图、度量检验、交流展示等过程，尝试找出符合条件的点C，并小组交流，对比检验教师在这过程中，注意收集学生的猜测，鼓励学生想办法检验自己的猜测小组活动2：观察对比小组讨论交流以下问题：（1）观察上述两个饮马问题，有哪些异同点？共同点：已知两定点与一条直线，求确定一动点位置，使得两条线段的和最小不同点：问题1的两定点在直线的异侧，即两条线段异侧；问题2的两定点在直线同侧，即两条线段同侧（2）通过观察，你得到什么启发？利用轴对称的性质，将“同侧”问题化为“异侧”问题，即同侧点化为异侧点，同侧线段化为异侧线段（学生观察交流得到的启发，若学生发现的思路不清晰，教师则借助下列追问启发）追问2.3：将“同侧”转化为“异侧”时，是随意转化的吗？要保证什么不变呢？线段的大小不变追问2.4：利用什么知识转化？（1）轴对称的性质，即轴对称图形中的对称轴是任一对对称点所连线段的垂直平分线；（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【设计意图】小组学生在上述“猜测检验”的过程中，发展合情推理能力，在尝到失败遇到困难时，教师鼓励学生多观察，观察比较问题1与问题2的联系，引导启发将问题2向问题1转化，并发言若学生在上述“猜测检验”的过程中，实现了“转化”，教师则在此基础上进行上述追问小组活动3：作图领会在上述小组交流讨论基础上，请作图找出符合条件的点C，并尝试总结作图步骤作图步骤：（1）作任一点（如点B）关于已知直线的对称点（得B）；（2）连接对称点B与另一点A；（3）取AB与直线m的交点为点C；（4）连接AC与BC，即为最短路径追问2.5：如何证明，如图点C为符合条件的点，AC+CB的和最小？在m上任取点C（与C不重合），由轴对称的性质可得CB=CB，CB=CB，AC+CB=AC+CB=AB，AC+CB=AC+CBAC+CBAB，AC+CBAC+CB【设计意图】在学生尝试作图后，由学生自我总结作图方法之后，利用轴对称的性质，演绎推理证明“最短”，巩固所学性质，发展演绎推理能力三、合作提升小组活动4：交流归纳请总结交流，在问题2的解决过程中：（1）应用了什么知识，实现了转化？（2）应用什么知识，确定最短路径？利用轴对称的性质，将同侧转化为异侧，利用“两点之间线段最短”，化折为直，共有两次转化小试牛刀：1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区P、Q提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从P、Q到它的距离之和最短? 【设计意图】引导学生总结问题解决的思路，归纳思想方法若学生在总结时存在表达困难，教师可给予帮助之后，利用一道题检验学生的理解情况四、引导发展精炼反馈：2. 如图，P、Q为ABC两边上的两个定点请在BC边上求作一点D，使得DPQ的周长最短【设计意图】在上述问题2的基础上进行应用，但学生对此会觉得困难，需要教师先进行引导分析在老师引导上，学生进一步体会解题所需的转化思想，即“同侧”化为“异侧”、化折为直，以及转化所需的知识依据，提升解决问题的能力四、拓展提升：（三条线段之和）1.（一个点在两条直线内部）如图，点A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使ABC周长最小. 2.（两个点在两条直线内部）如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线【设计意图】在问题3的基础上进行变式，帮助学生巩固思路，并提升解决问题的能力五、成效评价五、思考题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造