电路分析基础第八章 相量法.pdf

第八章 相量及相量分析法第八章 相量及相量分析法 1 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 重点 重点 下 页返 回 3 掌握正弦稳态电路的分析 掌握正弦稳态电路的分析 2 阻抗和导纳 阻抗和导纳 5 串 并联谐振的概念 串 并联谐振的概念 4 掌握非正弦稳态电路的分析 掌握非正弦稳态电路的分析 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 1 正弦量正弦量 瞬时值表达式 瞬时值表达式 i t Imcos w t 波形 波形 周期周期T period 和频率和频率f frequency 频率频率f 每秒重复变化的次数 周期 每秒重复变化的次数 周期T 重复变化一次所需的时间 重复变化一次所需的时间 单位 单位 Hz 赫 赫 兹兹 单位 单位 s 秒 秒 T f 1 正弦量为周期函数正弦量为周期函数f t f t kT 下 页上 页返 回 随时间按正弦规律变化的电流或电压或 功率等 随时间按正弦规律变化的电流或电压或 功率等 i t t 0 T 正弦稳态电路正弦稳态电路 激励和响应均为正弦量且达到稳 态的电路 激励和响应均为正弦量且达到稳 态的电路 简称为正弦电路或交 流电路 简称为正弦电路或交 流电路 1 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位 要的地位 研究正弦电路的意义 研究正弦电路的意义 正弦函数是周期函数 其加 减 求导 积分正弦函数是周期函数 其加 减 求导 积分 运算后仍是同频率的正弦函数运算后仍是同频率的正弦函数 优点 优点 正弦信号容易产生 传送和使用 正弦信号容易产生 传送和使用 下 页上 页返 回 2 正弦信号是一种基本信号 任何变化规律复杂的信号 正弦信号是一种基本信号 任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量 可以分解为按正弦规律变化的分量 1 幅值幅值 amplitude 振幅 最大值振幅 最大值 Im 2 角频率角频率 angular frequency 2 正弦量的三要素正弦量的三要素 t i O T Im 2 t 2 2f T 单位 单位 rad s 弧度 弧度 秒秒 反映正弦量变化幅度的大小 反映正弦量变化幅度的大小 相位变化的速度 反映正弦量变化快慢 相位变化的速度 反映正弦量变化快慢 反映正弦量的计时起点 常用角度表示 反映正弦量的计时起点 常用角度表示 t 0 时的 相位 或 相角 时的 相位 或 相角 下 页上 页返 回 i t Imcos t 3 初相位 3 初相位 initial phase angle 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 同一个正弦量 计时起点不同 初相位不同 同一个正弦量 计时起点不同 初相位不同 一般规定 一般规定 下 页上 页返 回 cos tIti m t I m 2 0 2 0 0 t0 2 cos tIti m 2 cos tIti m cos tIti m 2 2 t0 2 2 t0 例例 已知正弦电流波形如图 已知正弦电流波形如图 103rad s 1 写出 写出i t 表达式 表达式 2 求最大值发生的时间 求最大值发生的时间t1 t i 0 100 50 t1 解解 3 100cos 10 i tt 050100cost 3 由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧 3 3 100cos 10 3 i tt 3 1 103 t 当有最大值 1 3 3 1 047 10 tms 下 页上 页返 回 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 3 同频率正弦量的相位差3 同频率正弦量的相位差 phase difference 设设u t Umcos t u i t Imcos t i 则 相位差 则 相位差 t u t i u i 0 超前超前 u 比比i先到达最大值 先到达最大值 25434 000 30 105 135 000 30 150 120 0 2 10cos 100105 i tt 不能比较相位差不能比较相位差 12 0 2 3cos 100150 i tt 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率 同函数 同符 号 且在主值范围比较 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率 同函数 同符 号 且在主值范围比较 下 页上 页返 回 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 4 周期性电流 电压的有效值周期性电流 电压的有效值 周期性电流 电压的瞬时值随时间而变 为了周期性电流 电压的瞬时值随时间而变 为了衡量其平 均效果 衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示 工程上采用有效值来表示 周期电流 电压有效值周期电流 电压有效值 effective value 定义定义 R 直流直流IR 交流交流i 2 0 d T WRi tt 2 WRI T 电流有效 值定义为 电流有效 值定义为 T tti T I 0 2 def d 1 有效值也称均方根值有效值也称均方根值 root meen square 物 理 意 义 物 理 意 义 下 页上 页返 回 在同一个周期和同一负载上与交流信号产生相同热效应 的直流电的量值 在同一个周期和同一负载上与交流信号产生相同热效应 的直流电的量值 有效值有效值 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 同样 可定义电压有效值 同样 可定义电压有效值 T ttu T U 0 2 def d 1 正弦电流 电压的有效值正弦电流 电压的有效值 设设i t Imcos t 22 m 0 1 cos d T IIt t T 2 0 00 1cos2 11 cos dd 222 TT Tt t tttT 2 m mm 1 0 707 22 IT III T m cos 2 cos i tIt It II2 m 下 页上 页返 回 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 同理 可得正弦电压有效值与最大值的关系 同理 可得正弦电压有效值与最大值的关系 mm 1 2 2 UUUU 或 若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U 220V 则其最大值为 则其最大值为Um 311V U 380V Um 537V 1 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 如 设备额定值 但耐压值指的是最大值 如 设备额定值 但耐压值指的是最大值 2 测量中 交流测量仪表指示的电压 电流读数一 测量中 交流测量仪表指示的电压 电流读数一 般为有效值 般为有效值 3 区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 I I i m 注注 下 页上 页返 回 8 1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 i1 I1I2I3 1 2 3 因一个正弦稳态电路中各支路电压或电流是同频的正 弦量 所以 只要确定 因一个正弦稳态电路中各支路电压或电流是同频的正 弦量 所以 只要确定初相位和有效值初相位和有效值 或最大值或最大值 就行 了 因此 可以利用相量法进行分析 就行 了 因此 可以利用相量法进行分析 t u i i1 i2 0 i3 下 页上 页返 回 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 1 问题的提出 问题的提出 i2i1 i2 i3 相量法需要运用复数的运算 相量法需要运用复数的运算 复数复数A的表示形式的表示形式 j1 为虚数单位 A b Re Im a0 A a jb Im A b Re a0 A cossin j AA eAjajb 2 复数及运算复数及运算 Aajb j AA eA j AA e 下 页上 页返 回 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 jje j 2 sin 2 cos 2 jje j 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 1 sin cos je j j j 1 都可以看成旋转因子 都可以看成旋转因子 j Aej j jAe j Ae 旋转因子旋转因子 复数复数 e j cos jsin 1 称为旋转因子 称为旋转因子 A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 模不变 模不变 复数运算复数运算 A1 A2 a1 a2 j b1 b2 2 乘除运算乘除运算 极坐标极坐标 1 加减运算加减运算 直角坐标直角坐标 121212 A AA A A ej Re Im 0 A A ej 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 11 12 22 AA AA 造一个复函数造一个复函数 j 2 e t A tI 对对A t 取实部 取实部 Re 2 cos A tIt i t 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数 j 2 cos 2 t iIt A tIe A t 还可以写成还可以写成 j jj 2 ee2 tt A tIIe 复常数复常数 2 cos j 2 sin ItIt 无物理意义无物理意义 是一个正弦量 有物理意义 是一个正弦量 有物理意义 3 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 下 页上 页返 回 称称复常数复常数 为为正弦量正弦量 i t 对应的对应的相量相量 IeII j cos 2 II tIti 2cos u tUt UU 为正弦量为正弦量为正弦量为正弦量 i i t t 对应的相量 对应的相量 对应的相量 对应的相量 II 相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系 已知已知例例1 o o 141 4cos 31430 A 311 1cos 314t60 V it u 试用相量表示试用相量表示i u 解解 o o 100 30 A 22060 V I U 下 页上 页返 回 U I 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 旋转因子旋转因子 相量相量 例2 例2 试写出电流的瞬时值表达式 试写出电流的瞬时值表达式 解解 A cos o 15314250 ti 50Hz A 1550 o fI已知已知 相量的几何意义 相量的几何意义 cos 2 tItiII tjwtj IIetAII e22 A t 是旋转相量是旋转相量 旋转相量在实轴上的投影就是正弦函数旋转相量在实轴上的投影就是正弦函数 旋转相量在实轴上的投影就是正弦函数旋转相量在实轴上的投影就是正弦函数 sin j cos tItItA22 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 t1 t1 t9 t2 t2 t3 t3 t4 t4 t5 t5 t6 t6 t7 t7 t8 t8 t9 t10 t10 t11 t11 t12 t12 1 j tj eIi 2Re 0 0 tj eI 2 正弦电流正弦电流正弦电流正弦电流i i i i 的瞬时值等于其对应的的瞬时值等于其对应的的瞬时值等于其对应的的瞬时值等于其对应的 旋转矢量旋转矢量旋转矢量旋转矢量在实轴上的投影在实轴上的投影在实轴上的投影在实轴上的投影 t1 t1 t2 t2 t3 t3 t4 t4 t5 t5 t6 t6 t7 t7 t8 t8t9 t9 t10 t10 t11 t11 1 j tj eIi 2Re 0 0 t12 t12 tj eI 2 正弦电流正弦电流正弦电流正弦电流i i i i 的瞬时值等于其对应的的瞬时值等于其对应的的瞬时值等于其对应的的瞬时值等于其对应的 旋转矢量旋转矢量旋转矢量旋转矢量在实轴上的投影在实轴上的投影在实轴上的投影在实轴上的投影 回顾上节课主要内容 复数复数 e j cos jsin 1 称为旋转因子 称为旋转因子 A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 模不变 模不变 A ej 复函数复函数 j 2 e t A tI 对对A t 取实部 取实部 Re 2 cos A tIt i t 2 cos j 2 sin ItIt 相量是一个复数 在复平面上可以用有向线 段表示 其中有向线段的 相量是一个复数 在复平面上可以用有向线 段表示 其中有向线段的长度长度代表代表正弦量的正弦量的 有效值有效值 有向线段与实轴正方向之间的夹角有向线段与实轴正方向之间的夹角 代表代表正弦量的初相正弦量的初相 一一对应一一对应 I Re Im j jj 2 ee2 tt A tIIe 注意 注意 相量并不等于正弦量 相量并不等于正弦量 i t Imcos t II 变换变换 8 1 3 相量法的基本性质相量法的基本性质 1 线性性质线性性质 故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算 故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算 1 122 u tUu tU 1122 1122 k k u tutk ut UUk U 下 页上 页返 回 已知 已知 则则 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 正弦量正弦量乘以常数乘以常数 正弦量 正弦量求导 积分求导 积分以及任意个相 同频率的正弦量的 以及任意个相 同频率的正弦量的代数和代数和 这些正弦量的任意阶导数 或积分的代数和 这些正弦量的任意阶导数 或积分的代数和 仍然是相同频率的正弦量仍然是相同频率的正弦量 因此这 些运算都可以转换为相对应的相量运算 因此这 些运算都可以转换为相对应的相量运算 例例1 o 2 6 2cos 31430 V 4 2cos 31460 V u tt u tt 同频正弦量的加 减运算可借助相量图进行 相量图 在正弦稳态分析中有重要作用 尤其适用于定性分析 同频正弦量的加 减运算可借助相量图进行 相量图 在正弦稳态分析中有重要作用 尤其适用于定性分析 o 1 o 2 6 30 V 4 60 V U U o 12 9 64 2cos 31441 9 Vu tu tu tt 12 6 304 60UUU Re Im 30 1 U 41 9 U Re Im 41 9 30 1 U 60 2 U U 5 19323 46jj 7 196 46j o 9 64 41 9 V 60 2 U 首尾相接首尾相接 下 页上 页返 回 三角形法则三角形法则 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 求求 12 uu 平行四边形法则平行四边形法则 2 U 2 正弦量的微分 积分运算正弦量的微分 积分运算 Re2 Re2 jt jt did Ie dtdt I je 微分运算微分运算 2 i IIj dt di 2 i I j I idt 下 页上 页返 回 Ii di I dt I j idt 1 Ii 8 2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 d j d n n n i tI t 推广 1 d j n n i t tI 推广 例例 下 页上 页返 回 3 向量法 求解正弦电流电路的稳态解3 向量法 求解正弦电流电路的稳态解 微分方程的特解 微分方程的特解 t ti LtRitu d d jILIRU 222 2 cos arctg u UL it R RL R i t u t L 取相量取相量 LR U I j R L LR U R L LR U u u arctg arctg 222 222 m cos u u tUt 已知 求 稳态解 已知 求 稳态解 i t 小结小结 小结小结 正弦量相量 正弦量相量 时域 频域 时域 频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线 性微分方程的特解 即可用来分析正弦稳态电路 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线 性微分方程的特解 即可用来分析正弦稳态电路 N 线性线性 N 线性线性 w1 w2 非 线性 非 线性 w 不适用不适用 正弦波形图 相量图 正弦波形图 相量图 一 电阻元件一 电阻元件 R i t u t 正弦 稳态 电路 R I U 正弦 稳态 电路 相量模型相量模型 u Ri URI 或或 ui URI ui URIIGU 或 电压有效值 或幅值 与电流有效 值 或幅值 之间的关系服从欧姆 定律 电压与电流相位相同 电压有效值 或幅值 与电流有效 值 或幅值 之间的关系服从欧姆 定律 电压与电流相位相同 ui u i t u i 波形图波形图 I U ui j 1 o 相量图相量图 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 1 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式 时域形式 时域形式 相量模型相量模型 2 cos i i tIt 已知 R utRi t 则 uR t i t R 有效值关系有效值关系 相位关系相位关系 R RU I 相量关系 相量关系 IRU R UR RI u i 波形图及相量图 波形图及相量图 i tO uR R U I u i u i 同 相 位 同 相 位 下 页上 页返 回 uR和和iR为同频率正弦量 为同频率正弦量 uR和和iR同相位 同相位 uR和和iR Um和和Im U和和I 均服从欧姆定律 均服从欧姆定律 结论 结论 电阻参数R I U I U I U i u m m 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 时域形式 时域形式 i t uL t L 相量形式 相量形式 相量模型相量模型 j L LU I L Uj LI 有效值关系 有效值关系 U L I 相位关系 相位关系 u i 90 2 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式 下 页上 页返 回 d d L i t utL t i II 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 XL L 2 fL 称为感抗 单位为称为感抗 单位为 欧姆欧姆 感抗感抗 XL L感抗的物理意义 感抗的物理意义 1 表示限制电流的能力 表示限制电流的能力 2 感抗和频率成正比 感抗和频率成正比 XL 0 0 L L X X 直流短路 开路 下 页上 页 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 t i O uL L U I i 波形图波形图 电压超前 电流 电压超前 电流900 结论 结论 uL和和iL为同频率正弦量 为同频率正弦量 uL超前超前 iL 2 向量图向量图 时域形式 时域形式 相量形式 相量形式 2cos u u tUt 已知 d d C u t itC t 则 相量模型相量模型 iC t u t C U C I 1 j C 有效值关系 有效值关系 IC CU 相位关系 相位关系 i u 90 相量关系 相量关系 11 C UIjIjX I j CC 3 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式 下 页上 页返 回 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 2C u Ij CUCU t iC O u U C I u 波形图及相量图 波形图及相量图 电流超前 电压 电流超前 电压900 下 页上 页返 回 结论 结论 uC和和iC为同频率正弦量 为同频率正弦量 iC超前超前uC 2 XC 1 w C 称为容抗 单位为称为容抗 单位为 欧姆欧姆 频率和容抗成反比频率和容抗成反比 0 XC 直流开路直流开路 隔直隔直 w XC 0 高频短路高频短路 XC 容抗与容纳 容抗与容纳 5 C C U jC I 例例 试判断下列表达式的正 误 试判断下列表达式的正 误 1 ujLi 0 2 5cos 5 0it m 3 m IjCU L 4 L L U X I L 6 L UjLI U I m U m m I U I U Cj 1 下 页上 页返 回 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 一一 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 0 0 0 0 Utu Iti 二二 电路元件的相量关系电路元件的相量关系 I C Uti C u ILjU t i Lu IRURiu j 1 d 1 d d 4 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 三三 电路的相量模型电路的相量模型 时域列写微分方程时域列写微分方程相量形式代数方程相量形式代数方程 L C RuS i L i C i R j L 1 j CS U L I C I R I R 时域电路模型时域电路模型 相量电路模型相量电路模型 RCL iii RCL III S d d d uti Ct i L C L 1 ti C iR CR d 1 S j 1 UI C ILj CL CR I C IR j 1 相量相量电路电路模型 模型 电压 电流用相量 元件用复数阻抗 电压 电流用相量 元件用复数阻抗 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 四四 相量图相量图 2 同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中 同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中 1 选定一个选定一个参考相量参考相量 设设初相位为零初相位为零 选选 R为参考相量为参考相量 U C UU R L I C I L U j L 1 j C U L I C I R I R R U L U C U R I 8 3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式 8 4 阻抗和导纳阻抗和导纳 1 阻抗阻抗 正弦稳态情况下正弦稳态情况下 I Z U 无源 线性 无源 线性 I U z U ZZ I iuz 单位 单位 I U Z 阻抗模阻抗模 阻抗角阻抗角 欧姆定律的 相量形式 欧姆定律的 相量形式 下 页上 页返 回 j z ZZRX Z 复阻抗 复阻抗 R 电阻电阻 阻抗的实部阻抗的实部 X 电抗电抗 阻抗的虚部阻抗的虚部 Z 复阻抗的模 复阻抗的模 z 阻抗角 阻抗角 转换关系 转换关系 arctg 22 R X XRZ z R Z cos z X Z sin z 或或 阻抗三角形阻抗三角形 Z R X z iuz I U Z 下 页上 页返 回 j z ZZRX 当无源网络内为单个元件时有 当无源网络内为单个元件时有 R I U Z L jXLj I U Z C jX C j I U Z 1 I R U Z可以是实数 也可以是虚数可以是实数 也可以是虚数 I C U I L U 下 页上 页返 回 j z ZZRX 例例 RLC串联电路串联电路 由由KVL 1 jjI C ILIRUUUU CLR IXXjRI C LjR CL 1 IjXR L C R u uL uC i uR z ZjXR C jLjR I U Z 1 I j L U LU CU C j 1 R RU 下 页上 页返 回 I j L U XU R RU 等效电路等效电路 下 页上 页返 回 1 1 当 当 L 1 C X 0 z 0 电路为感性 电压领先电流 电路为感性 电压领先电流 2 2 当当 L 1 C X 0 z0 则 则B 0 即仍为感性 即仍为感性 y YBGY j BG XR XR XRZ Yj j j 11 22 2222 XR X B XR R G zy Z Y 1 注注 G jBY Z R jX 下 页上 页返 回 Z Y 1 同样 若由同样 若由Y变为变为Z 则有 则有 G jBY Z R jX 下 页上 页返 回 Z ZXRZ j 一般情况一般情况 R 1 G X 1 B XR BG jBG jBGY Zj 22 11 2222 BG B X BG G R XY Y Z 1 Z ZXRZ j Y Z 1 8 7 8 9 8 5 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 电阻电路与正弦电流电路的分析比较 电阻电路与正弦电流电路的分析比较 Gui Riu u i 0 KVL 0 KCL 或 元件约束关系 电阻电路 0 KVL 0 KCL UYI IZU U I 或 元件约束关系 正弦电路相量分析 可见 二者依据的电路定律是相似的 只要作出正弦 电流电路的相量模型 便可将电阻电路的分析方法推广应 用于正弦稳态的相量分析中 可见 二者依据的电路定律是相似的 只要作出正弦 电流电路的相量模型 便可将电阻电路的分析方法推广应 用于正弦稳态的相量分析中 下 页上 页返 回 正弦稳态电路分析步骤 正弦稳态电路分析步骤 1 作出作出相量电路模型相量电路模型 正弦电流 电压用相量表示 正弦电流 电压用相量表示 无源支路用复阻抗表示 无源支路用复阻抗表示 2 选择适当的电路分析方法 选择适当的电路分析方法 采用采用kcl kvl 等效变换法 回路电流法 节点 电压法 电路定理分析法等 等效变换法 回路电流法 节点 电压法 电路定理分析法等 3 列出相量方程 为复数代数方程 列出相量方程 为复数代数方程 4 由所得到的相量解 用相量由所得到的相量解 用相量反变换反变换得出解的得出解的 时域表达式时域表达式 例例1 120 2cos 5 u t ti t 已知求 15 u 4H 0 02F i 解解 0 120 0U 4 520 L jXjj 1 10 5 0 02 C jXjj 相量模型相量模型 U j20 j10 1 I 2 I 15 3 I I RLC LC UUU IIII RjXjX 0 111 120 152010 86128610 36 9 jj jjjA 0 10 2cos 536 9 i t tA 下 页上 页返 回 例例2 60 5 2cos 1015 S i t tut 已知求 5 uS 0 2 F i 解解 0 5 15I 66 1 5 100 2 10 C jXjj 0 000 5 1555 5 155 24525 230 SRC UUUj V 相量模型相量模型 5 S U I j5 R I U C U S U C U 下 页上 页返 回 S U 1 I AA4 A1A2 A3 I 3 I 2 I 4 I 5A 20A 25A R j L 1 j C 1 I S U 4507 755AjI 90552025 4 AjjjI 3 I 2 I 4 I 例例3 1 2 3 5 209020 25 9025 o o o Io Ij Ij 解解 o SS UUo 设 列写电路的回路电流方程和节点电压方程列写电路的回路电流方程和节点电压方程例例4 解解 s u s i L R1 R2 R3 R4 C S I R1 R2 R3 R4 Lj c j 1 S U 1 I 2 I 4 I 3 I 回路法回路法 S UIRILjRILjRR 3221121 0 33112431 IRILjRILjRRR 0 1 1 42312332 I C jIRIRI C jRR S II 4 下 页上 页返 回 1n U 2n U 3n U Sn UU 1 节点法节点法 0 11 111 3 3 1 2 2 321 nnn U R U R U RRLjR Snnn IUCjU R UCj RR 12 3 3 43 1 11 S I R1 R2 R3 R4 Lj c j 1 S U 下 页上 页返 回 45 30 30j A904 3 21 o S I ZZ ZZI 求 已知 求 已知 方法一 电源变换方法一 电源变换 1515 3030 30 30 31 j j j ZZ 解解 例例3 S31 IZZ Z2 Z1 Z3 Z I ZZZZ ZZI I 231 31S 45301515 1515 4 jj jj o o 36 9 5 455 657 A o 9 8113 1 下 页上 页返 回 Z2 S I Z1ZZ3 I 方法二 戴维南等效变换方法二 戴维南等效变换 V4586 84 o 310 ZZIU S Zeq Z 0 U I Z2 S I Z1Z3 0 U 求开路电压 求开路电压 求等效电阻 求等效电阻 45j15 231 ZZZZeq A9 8113 1 454515 4586 84 o 0 0 j ZZ U I 下 页上 页返 回 Zeq Z 0 U I 例例4 求图示电路的戴维南等效电路 求图示电路的戴维南等效电路 60 300 3006030060100200 0 111 j U IIIUo j300 0 060 0 U 1 4 I 1 I 50 50 解解 0 45230 1 60 j Uo 求短路电流 求短路电流 0 06 010060 SC I 0 0 0 45250 6 0 45230 SC eq I U Z SC I 0 060 100 j300 0 060 0 U 1 200I 1 I 100 32 4 55 11 RUI I LRR U 22 21 I LR U 2 2 2 2 32 4 55 314 32 115 22 2 LR 32 4 55 314 80 2 2 2 LR 6 19 2 RH133 0 2 L 已知 已知 U 115V U1 55 4V U2 80V R1 32W f 50Hz 求 线圈的电阻求 线圈的电阻R2和电感和电感L2 例例5 解一解一 R1 R2 L2 1 U U 2 U I A731 132 4 55 11 RUI 6 19731 194 33 22 IUR R HL IUL L 133 031485 41 85 41731 145 72 2 22 cos2 21 2 2 2 1 2 UUUUU 22121LR UUUUUU 1 1154237 0cos 9 64180 2 VUU L 45 729 64sin80sin 222 VUU R 94 339 64cos80cos 222 1 U 2L U I 2 R U 2 U 2 2 U 解二解二 R1 R2 L2 1 U U 2 U I 2L U 2 R U 2 Z 2 R 2 X 86 419 64sin22 46sin 222 ZX H133 0 2 22 fXL 6 19 9 64cos22 46cos 222 ZR 22 46731 1 80 22 IUZ 或 或 1 U 2L U I 2 R U U 2 U 2 2 R1 R2 L2 1 U U 2 U I 2L U 2 R U 8 13 8 16 8 6 非正弦周期稳态电路的分析非正弦周期稳态电路的分析 一一 非正弦信号非正弦信号 1 定义定义 电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律电路中的电压电流变量随时间不是按正弦规律 变化时统称为非正弦信号 变化时统称为非正弦信号 2 种类种类 非周期性非周期性 周期性周期性 i t i t T u t u t T 信号与系统 中研究 例例 电子技术中常用的非正弦周期信号电子技术中常用的非正弦周期信号 微分脉冲电流 方波电压 锯齿波电压 微分脉冲电流 方波电压 锯齿波电压 半波整流电压等 半波整流电压等 非正弦周期信号在工程实际中更具有其普遍的研究意义非正弦周期信号在工程实际中更具有其普遍的研究意义 由于发电设备的限制即使工程中用的正弦量也只能是近似的 二二 非正弦电路非正弦电路 1 定义定义 电路中的变量电路中的变量 电压 电流 呈现非正弦情况电压 电流 呈现非正弦情况 时称此电路为非正弦电路 时称此电路为非正弦电路 2 种类种类 正弦激励下 的非线性电路 正弦激励下 的非线性电路 非正弦激励下 的非线性电路 非正弦激励下 的非线性电路 非正弦激励 下的线性电路 非正弦激励 下的线性电路 t0 t0 ui 0 t uo 0 t ui 0 t uo 0 t 下 页上 页 8 6 1 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 谐波分析谐波分析 一一 数学分析数学分析 设非正弦周期电流设非正弦周期电流i t i t T 当满足狄里赫利条件当满足狄里赫利条件 i t 在一周期内连续在一周期内连续or有有限多个第一类间断点有有限多个第一类间断点 i t 在一周期内有有限多个极大值与极小值在一周期内有有限多个极大值与极小值 时时 可展成收敛的傅里叶级数 可展成收敛的傅里叶级数 sincos 1 0 tnbtnaatf n n n 其中其中 2 2 0 1 T T dttf T a 2 2 cos 2 T T n tdtntf T a 2 2 sin 2 T T n tdtntf T b cos 1 0n n mn tnAA 2 n 2 nmn baA n n n a b arctan 讨论 cos 1 0n n mn tnAAtf 1 A0 a0 常量 与频率无关常量 与频率无关 直流分量 零频分量 直流分量 零频分量 2 Amncos n t 0 正弦量 与正弦量 与n有关有关 谐波分量 谐波分量 3 谐波分类 谐波分类 奇次谐波奇次谐波 直流分量直流分量 cos 11 tAm A0 a0 基波分量基波分量 2cos 22 tAm 3cos 33 tAm cos kmk tkA 二次谐波 三次谐波 二次谐波 三次谐波 k次谐波次谐波 高 次 谐 波 高 次 谐 波 偶次谐波偶次谐波 二二 物理意义 物理意义 一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分 量和多个与 成整数倍的不同频率的正弦交流电流 一个非正弦周期电流可以分解成一个直流分 量和多个与 成整数倍的不同频率的正弦交流电流 t T 2T S i m I 周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1 解解 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为 wc的频率范围为阻带的频率范围为阻带 例例2 已知已知u1为正弦激励 试定性分析以电压为正弦激励 试定性分析以电压u2为输出时为输出时 该电路的频率响应特性 该电路的频率响应特性 1 U R 1 jwC 2 U 2 10 0 1 1 UwR H j Ujww R jwC RC 其中 为电路的固有频率 下 页上 页 22 0 0 arctan w H j ww 幅频特性 幅频特性 0 1 2 U U 1 BW C 2 0 707 jH 相频特性 相频特性 0 arg jH 下 页上 页 具有高通特性 具有高通特性 22 0 0 arctan w H j ww 0 wc w0为阻带 为阻带 wc的频率范围为通带的频率范围为通带 8 7 2 RLC串联电路的频率特性串联电路的频率特性 含有含有R L C的一端口电路 在特定条件下出现端口 电压 电流 的一端口电路 在特定条件下出现端口 电压 电流同相位同相位的现象时 称电路发生了谐振 的现象时 称电路发生了谐振 1 谐振的定义谐振的定义 R L C 电路电路 U I RZ I U 发生 谐振 发生 谐振 下 页上 页返 回 XR XXR C L C LRZ CL j j 1 j IR j L C j 1 U 2 串联谐振的条件串联谐振的条件 谐振角频率谐振角频率 resonant angular frequency LC 1 0 谐振频率谐振频率 resonant frequency LC f 2 1 0 时 电路发生谐振 当时 电路发生谐振 当 1 0 0 0 C L X 谐振条件谐振条件 仅与电路参数有关仅与电路参数有关 1 L C不变 改变不变 改变w 使使XL XC 2 电源频率不变 改变电源频率不变 改变L 或或C 常改变常改变C 调谐调谐 使 使XL XC 串联谐振的实现方式 串联谐振的实现方式 3 RLC串联谐振的特征串联谐振的特征 Z R 电路呈电阻性电路呈电阻性 X 0 最大 最小 最大 最小 R U Z U I RXRZ 22 品质因数品质因数 quality factor 无量纲无量纲 0 0 11 LL Q R RCRC R 1 jwc jwL U R U I 定性绘出幅频特性 并求测出品质因数 例 求如图所示例 求如图所示RLC串联电路串联电路 以电阻电压作为响应的网络函数 以电阻电压作为响应的网络函数 2 1 1 UR H j U RjjwL wC 解 f UR f H 0 707Uo f Lfo URo 具有带通特性 为带 通电路 具有带通特性 为带 通电路 BW FH fL 幅频特性 幅频特性 谐振时元件上的电压谐振时元件上的电压 RIUU R QU C I UC j j 0 QULIU L jj 0 L U C U R U I 谐振时的相量图谐振时的相量图 当当Q 1时 时 UL UC U 产生过电压现象 故串联谐振又称 产生过电压现象 故串联谐振又称 电压谐振 电压谐振 IR j L C j 1 U L U C U R U L C环节等效电抗 为零 相当于短路 环节等效电抗 为零 相当于短路 L C环节等效电抗 为零 相当于短路 环节等效电抗 为零 相当于短路 0 CL UU U QUUU CL 品质因数两种测量方法品质因数两种测量方法 00 1 LC UU Q UU f UR f H 0 707Uo f Lfo URo 0 HL f Q ff f2和和f1是失谐时 亦即输出电压的幅度下降到最大值的是失谐时 亦即输出电压的幅度下降到最大值的 2 1 0 707 倍时的上 下频率点 倍时的上 下频率点 2 幅频特性 幅频特性 2 1 0 0 1 1 1 UR H j U RjjwL wC jQ 22 0 0 1 1 H j Q Q越大 谐振曲线越 尖 电路对非谐振频率下 的电流具有较强的抑制能 力 所以选择性好 越大 谐振曲线越 尖 电路对非谐振频率下 的电流具有较强的抑制能 力 所以选择性好 谐振曲线谐振曲线 Q 0 5 Q 1 Q 10 1 O i U U 0 0 1 R改变 Q变化 RLC带通滤波电路的通带宽度 与品质因数成反比 电路中的电阻R越大 品 质因数Q越低 通带宽度就越宽 8 27 8 32 1 阻抗频率特性阻抗频率特性 R C L 1 tg 1 1 j Z C L RZ 22 1 C LR Z 幅频幅频 特性特性 相频相频 特性特性 Z 0 Z 0 阻抗幅频特性阻抗幅频特性 0 0 2 2 阻抗相频特性阻抗相频特性 4 RLC串联谐振电路的谐振曲线串联谐振电路的谐振曲线 2 电流谐振曲线电流谐振曲线 谐振曲线 表明电压 电流与频率的关系 谐振曲线 表明电压 电流与频率的关系 幅值关系 幅值关系 22 1 U I RL C 电流谐振曲线电流谐振曲线 I I U R 0 0 曲线越尖不变当 曲线越尖不变当 0 I I Q 220 1 1 1 Q I I 0 00 II Q 10 Q 1 Q 0 5 1 0 I I 0 707 0 0 1 1 2 3 通用谐振曲线通用谐振曲线 为了不同谐振回路之间进行比较 把谐振曲 线的横 纵坐标分别除以 为了不同谐振回路之间进行比较 把谐振曲 线的横 纵坐标分别除以w0和和I w0 22 1 U I RL C 从多频率的信号中选出从多频率的信号中选出w0 的 那个信号的能力 即 的 那个信号的能力 即选择性选择性 串联谐振电路对不同频率的信 号有不同的响应 对谐振信号最突 出 串联谐振电路对不同频率的信 号有不同的响应 对谐振信号最突 出 表现为电流最大表现为电流最大 而对远离谐 振频率的信号加以抑制 而对远离谐 振频率的信号加以抑制 电流小电流小 Q是反映谐振电路性质的一个重要指标 是反映谐振电路性质的一个重要指标 Q 10 Q 1 Q 0 5 1 0 I I 0 707 0 0 1 1 2 工程上用工程上用通频带通频带定量地衡量选择性 定量地衡量选择性 2 1 1 1 1 22 Q 令令 1 4 1 2 1 22 1 QQ Q 1 12 0 21 W Q 通频带通频带 Q f f 0 或 22 1 C LR LU Z U LLI U L I R j L C j 1 U 0 0 I L 0 UL 0 UL 0 0 0 UL 0 UL QU 0 LM1 UL UL U U QU 0 UL LM ULM LM UL ULM LM UL 5 UL w 与与UC w 的频率特性的频率特性 22 1 C LRC U C I UC 1 C I R j L C j 1 U 0 0 I U 0 UC 0 UC U C M 0 UC 0 UL QU UC 0 UCM CM QU 0 0 C M UC C M UC UCM 0 Q Q 越高 越高 LM和和 C M越靠近越靠近 0 0 2 0 2 1 1 Q CM QU Q QU U U LLCMC 2 M 4 1 1 UL UC U QU 0 CM LM UCM ULM 例例 一接收器的电路参数为 一接收器的电路参数为 U 10V w 5 103 rad s 调调C使电路中的电流 最大 使电路中的电流 最大 Imax 200mA 测得电容电压 为 测得电容电压 为600V 求 求R L C及及Q L C R u V 解解 50 10200 10 3 0 I U R 60 10 600 U U QQUU C C mH RQ L60 105 6050 3 0 F L 67 6 1 C 2 0 下 页上 页返 回 1 简单简单G C L 并联电路并联电路 对偶 对偶 R L C 串联串联 G C L 并联并联 LC 1 0 1 j C LRZ 1 j L CGY S I G C L U LC 1 0 谐振条件 谐振条件 L C环节等效电抗 为零 相当于短路 环节等效电抗 为零 相当于短路 L C环节等效电纳 为零 相当于开路 环节等效电纳 为零 相当于开路 9 9 并联谐振电路并联谐振电路 R L C 串联串联G C L 并联并联 Z 0 0 R 0 O I US R 0 O U IS G Y 0 0 G Z 最小最小 R Y 最小最小 G 谐振时电流最大谐振时电流最大谐振时电压最高谐振时电压最高 电流谐振电流谐振 IL 0 IC 0 QIS IL 0 IC 0 QIS L C GGL G C Q 11 0 0 C I L I SG II U S I G C L U R L C 串联串联 电压谐振电压谐振 UL 0 UC 0 QUUL 0 UC 0 QU C L RRC