强哥德巴赫猜想的证明.doc

强哥德巴赫猜想的证明（修订稿） 西北工业大学信息智能与逻辑研究所 沈卫国哥德巴赫猜想的表述早已为人所知，此处不再重复。但哥氏猜想并未就构成任一偶数的素数对的个数作任何陈述。换言之，任一偶数只要有一个素数对，哥氏猜想即成立。此文将证明，满足哥氏猜想的素数对存在下限，并且此下限随偶数N的增大而以固定规律（依赖于）增大。这是一个比传统哥德巴赫猜想强的命题。为区别于传统意义的哥氏猜想，特称其为“强哥德巴赫猜想”。以下就此问题进行具体的分析。由偶数的定义可知，任一偶数都是一个自然数与2的乘积。此时该自然数的认为是所给偶数的“中点”。其中又分为如下几种情况：1、 那个自然数（中点）是素数，如7、11、13、19等；2、 那个自然数（中点）是非素奇数，也就是包含素数因子的奇数，如9、15等；3、 那个自然数（中点）是包含素数因子的偶数，也就是同时包含偶数因子，如18、22等；4、 那个自然数（中点）是没有素数因子的偶数，也就是形如2的数，其中n是任意自然数，如16、32、64等。情况1，根本无需证明。两个该素数之和（或乘以2）。当然是偶数。如7+7=14。其它几种情况，如将该偶数表为两个奇数之和，则必然是其中一个小于该偶数除以2后的中间数，另一个则大于该中间数，且该二奇数以此中间数为中心对称分布。比如偶数30，其中间数为30/2=15，满足二奇数和为30的奇数对分别为13、17；11、19；等等。它们每一组是以15位中心对称分布于二边的。毫无疑问，如果哥德巴赫猜想成立，在满足该猜想的素数对必也满足上述对称条件。下面先证明一个引理。引理1：某素数的合数（指含该素数因子的数。这里包括该素数自身），在删除了其它素数的和术后的集合中所占的比率（当然包括其它素数因子的该素数的合数），与其全集在自然数中的比率一样，不变。证明：设有某素数N，其合数（所有含其为因子之数）在自然数中的比率为1/N。在自然数中删去素数P（PN）的所有合数，即在自然数中删去了1/P个数，其中也包括素数N的合数中的1/P个。此时N的合数的个数为： 即此时剩余的N的合数的个数仍占删去素数P的所有合数后的集合的1/N，得证。比如，3的所有合数占全部自然数的1/3，同样其奇合数也站奇数集合的1/3。因为删去的偶数集合中也包括了1/3的3的合数。比如6，12，18，等等。又比如5的合数，在删去全部偶数集合及全部3的合数集合后，在此剩余集合中5的剩余合数集合仍占其1/5。其余类推。对于前文第2、3种情况中，由于所给偶数的中点数包含素数因子，于是由该中点数向二边（增大与减小）方向对该素数因子对称。于是以此中点数为中心左右两边（大与小）相互对称的奇数所构成的奇数对，要么同时使该素数的合数，要么不是。于是，是该素数S的合数的奇数对为全部以所给偶数的中点数为中心的素数队总数的个；反之，不是该素数合数的奇数对占总数的个。而对于情况4及情况2、3中，如果以中间数为中心左右（大、小方向）对称的奇数对中所包含的素数因子并非我们上面所讨论的情况，则相对该中点对所论素数是非对称的，即所论奇数对不能在中点二边对称位置同时得到包含所论素数的合数，而是有先有后。于是，满足所论素数S的合数的奇数对为所论奇数对总数的个；反之，不是该素数合数的奇数对占总数的个。当然，上述结果没有述及所论奇数对的总数不能被该素数S整除这一极其普通的情况。实际上，在此情况下，我们舍弃相除的余数，只保留整数，如果结论不变，将会有误差。但如果所论偶数足够大时，误差是极小的，而且随偶数的增大越来越小。现举例予以直观说明：如果所选偶数为30，则中点数为30/2=15，这符合“情况2”，其为素数3的合数。分别对称地位列15两边（满足其和等于30的）奇数对为13、17；11、19；9、21；7、23；5、25；3、27。注意，奇数对1、29不被计入，因为1通常不被认为是有意义的素数。我们看到，满足要求的奇数对共有6个，可以被所论素数3整除，其中有素数3因子的有两对，为9、21；3、27。2/6=1/3，即为总奇数对6的三分之一。如果所论偶数为36，则中点数为36/2=18，符合“情况3”，其两边对称的奇数对为17、19；15、21；13、23；11、25；9、27；7、29；5、31；3、33。共8对，8除以所论素数3得：83=2，不能被所论素数3整除，如果如前面所论的做法舍弃余数（即分数2/3），则得整数2，但有所论素数3因子的奇数对有15、21；9、27；3、33。共三对，有误差。但这种误差随着所选偶数的增大将越来越小，而且对下面的讨论没有任何影响。如果所选偶数为32，则中点数为16，其不是所论素数3的合数（同时符合“情况4”），于是应该是“满足所论素数S的合数的奇数对为所论奇数对总数的个，具体这里也就是2/3（因为这里的“所论素数S”为3），而不再是1/3了。在16两边对称的奇数对为15、17；13、19；11、21；9、23；7、25；5、27；3、29。共7对。7乘以2/3，舍弃余数（分数部分）后整数部分为4，我们看到，上述7对奇数对中含有素数3因子的为5对，分别是15、17；11、21；9、23；5、27；3、29。相对于4而言，有所误差。但如果所选偶数非常大，我们将会看到，这种误差对下面将要进行的讨论无任何影响。对于所论素数大于3的情况，读者可自行验证。引理2：有某素数A及整数N，当A2N时，从N以下的任何数不会是大于A的两个素数相乘的合数。证明很容易。设BA，则ABA2N,得证。引理3：任何间隔为2某素数的两个奇数间，当然有该素数个不同的奇数，但其中必有、且只有一个含有该素数的奇合数存在。证明：如其不然，则起码应有一个间隔为2某素数的两个奇数间，没有（或有多于1个）含该素数的奇合数存在。也就是说，必然存在两个相邻的奇数，它们分别与该素数的乘积之差，大于（或小于）间隔2该素数。但我们知道，任何两个相邻的奇数间隔为2，而如此的两个相邻的奇数分别与所论该素数的乘积（也就是包含该素数的奇合数）之差，即为也只为2该素数。所以总会有一个且只有一个满足条件的奇合数存在。引理3得证。引理4：任何间隔为4某素数的两个奇数间，其中必有、且只有两个含有该素数的奇合数存在。证明：由于它的间隔比引理3所述情况的大一倍，所容纳的合数自然也多一倍，也就是两个。我们知道，由“中间数”向大小两边对称、同步地列出奇数对时，其间隔正是以4的倍数增加的。由引理4可知，每当我们列出“某素数个”这样的奇数对时，必在中间数的大小两边分别各有且只有一个含有该素数的奇合数。同时，当该“中间数”本身就是该素数的合数时（注意，当然不一定是奇合数，也可以是偶合数），在上述做法下，含该素数的奇合数是成对（可视为“同时”）出现的，其它情况则不同时，也就是“分别”先后出现，即不成对出现。以下将在上述讨论的基础上，证明强哥德巴赫猜想。对任一偶数N，小于它的奇数有个；分别位于中点二边的奇数对有对只取整数部分个（即如有分数部分，就将分数部分舍弃）。当然，这里是将1这个特殊的奇数包括在内的。由由引理3、引理4及引理1可知，这些奇数对（）中有素数3因子的奇合数最多，最多占奇数对总数的（此时不考虑相对中点对素数3对称的情况，也就是有素数3因子的奇合数占奇数对总数的情况）。换言之，没有素数3因子的奇数占奇数对总数的1=，即个（不考虑除不尽时的分数部分）。而在这些已不含素数3因子的奇数对中，同理，含有素数5因子的，又占其（同样考虑相对中点非对称的“最不利”情况，否则为）。而不含素数5因子的奇数，占奇数对总数的1=，即个（舍弃分数部分），余类推，比如素数7、11、13、等等。直到某素数S，S为小于的最大一个素数，这是引理2所决定的。于是，在N之下，再无素数因子大于等于S的合数存在。于是我们有所给偶数N之内的不含合数奇数对（即素数对）为： .1 倒数第二步，为倒数第三步分子、分母上下相消所得。此式在N16时总被满足。特别当N时，即满足哥德巴赫猜想偶数N的素数对数不少于（由公式1）且随N趋于无穷而趋于无穷。这是一个比传统哥德巴赫猜想强的结论，因此，可称之为“强哥德巴赫猜想”。这里应该特别说明的是；上式中我们是把式中的素数本身也算作合数的，并未加以区分。也就是所有小于素数，也被删去了。但即使如此，哥德巴赫猜想也能被满足。如果算上由这些本不该删的素数可能构成的素数对，满足歌德巴赫猜想的素数对将更多。此外，也应该说明，偶数N内的奇数对为（取整）个，但1+（N1）类型的奇数对不能算。因为1不是一般的素数。通常将其排除在外，哥德巴赫猜想也不包含这种类型的素数对。所有公式1中的，实际应为1。比如偶数32，中间数（中点）为16，算1+15的奇数对共8个，不算的则为7个（有效的），但N足够大时，此误差几乎不用考虑。 前已述及，尽管公式1岁证明哥德巴赫猜想已经足够，但由于将3、5、7、11等素数也记入了含素因子的合数中，因此度与确定素数对而言，并不精确。尽管这与传统哥德巴赫猜想已无关系，但给出一个更精确的素数对公式还是有意义的。这里我们提出更精确的公式： 2其中N、S的含义与前文相同。N为所论偶数；S是满足小于.的最大的一个素数。我们之所以在每一因子项中加一项，是为了取回已被删去的相应素数。不难看出，式2的每一因子都大于式1的相应因子（不考虑。因此，式2之值大于式1之值，不影响强哥德巴赫猜想的结论。当然，此式有一不能整除时的取模问题。可以证明，一个分数取模后再加1，与其加1后再取模是一样的（证明从略）。即：+1= 3 其中符号表示“取模”，即取整数部分。由于此细节对证明已无大碍，故可不予考虑。 至此，强哥德巴赫猜想得到证明。 为帮助读者理解，现举一个简单的例子予以说明。设所论偶数为92，其“中间数”为922=46，奇数对为462=23个。它们分别是：45、47；43、49；41、51；39、53；37、55；35、57；33、59；31、61；29、63；27、65；25、67；23、69；21、71；19、73；17、75；15、77；13、79；11、81；9、83；7、85；5、87；3、89；1、91。最后一对“1、91”当然无意义，可舍去。这些奇数对中不含素数3因子的奇数对约占23个的3分之1，它们分别是：43、49；37、55；31、61；25、67；19、73；13、79；7、85。共7对。其中不包含素数5因子的奇数对又约占7对里头的5分之3对，它们分别是43、49；31、61；19、73；13、79。共4对。其中不含素数7因子的奇数对又约占7分之5，共3对，分别是31、61；19、73；13、79。而大于素数7的素数为11，其平方为121，超过了所论偶数92，不予考虑了。实际上，上面3个奇数对，已经是素数对了。它显然大于强哥德巴赫猜想所要求的再取整。随着所论偶数（也可以说中间数）的增大，误差将越来越小，以致最终完全可以忽视。当然，特别应该提及的是，即使在所论偶数很小，误差存在的情况下，1、2两式也依然成立。 文后说明：笔者自2010年12月中旬偶然涉足哥德巴赫猜想，至12月23日笔者60岁生日当天获关键性突破，2011年元月初基本解决此问题（可见相关笔记）。2011年2月，笔者购得几本有关哥德巴赫猜想的书，其中有有唐国胜先生的用分层对应筛法对“哥德巴赫猜想”的证明（2002年出版），笔者发现唐先生总结出的公式、结论与本文结果竟然相同，尽管唐先生的论述过于复杂以致别人很难理解，