有关三角形全等的开放题展示.doc

有关三角形全等的开放题展示开放性试题以其综合性强、富有思考价值，注重考察探索精神和创新意识等特征逐渐成为中考热点。本文对近几年中考有关全等三角形的开放性试题进行归类，并分别探讨它们的解题策略。一、探索开放题例1已知：如图1，ABC、A1B1C1均为锐角三角形，AB= A1B1 ，BC= B1C1，C=C1。求证：ABCA1B1C1。（请你将下列证明过程补充完整。）B1ACBD1C1DA1图1证明：分别过点B、B1作BDCA于D，B1D1C1A1于D1，则BDC=B1D1C1=900。BC= B1C1，C=C1，BCDB1C1D1， BD=B1D1， 。解析：本题有多种解法。方法一：CD= C1D1，又AB= A1B1 ，ADB=A1D1B1=900，ADBA1D1B1，AD= A1D1，CA= C1 A1，又 AB= A1B1 ，BC= B1C1，ABCA1B1C1（SSS）。方法二：CBD=C1B1D1，又AB= A1B1 ，ADB=A1D1B1=900，ADBA1D1B1，ABD=A1 B1D1，CBA=C1B1A1，又 AB= A1B1 ，BC= B1C1，ABCA1B1C1（SAS）。方法三：CBD=C1B1D1，又AB= A1B1 ，ADB=A1D1B1=900，ADBA1D1B1，ABD=A1 B1D1，CBA=C1B1A1，又BC= B1C1，C=C1 ，ABCA1B1C1（ASA）。方法四：又AB= A1B1 ，ADB=A1D1B1=900，ADBA1D1B1，A=A1 ，又C=C1 ，BC= B1C1，ABCA1B1C1（AAS）。评注：本题属于策略开放型问题，求解时应运用所学的知识，根据问题的条件去分析、推理、判断得到的途径、手段可能是多种的，而这些不同的途径、手段就是不同的解题策略。二、条件组合题例2如图2,ABC中, D、E分别是AC、AB上的点, BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD.图2 上述三个条件中, 哪两个条件可判定ABC是等腰三角形 (用序号写出所有情形)； 选择第小题中的一种情形, 证明ABC是等腰三角形.解析:(1)可确定是等腰三角形的两个条件是与.(2) 情形一：选择条件. BD与CE交于点O，BOECOD.在BOE和COD中，BOECOD，EODDCO，BECD，BODCOD.OBOC.OBCOCD.EOBDCO，ABCACB.ABAC.ABC是等腰三角形.情形二：选择条件.BD与CE交于点O，BOECOD.在BOE和COD中，BODCOD，BOECDO，BECD，BOECOD.EBODCO.OBOC.OBCOCB.又EBODCO，ABCACB.AB工C.ABC是等腰三角形.情形请同学们完成. 三、猜想验证题例3如图3，已知为等边三角形，、分别在边、上，且也是等边三角形图3（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程分析：（1）猜想：AF=BD=CE，AE=BF=CD由已知条件，只要证明：AFEBDFCED即可（2）这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如AE与BF绕着A点顺时针旋转600，再沿着AB方向平移使A点至F即可得BF，其余类同评注：本题是一道具有挑战性的探索、猜想、验证、证明的试题，它与几何中图形的全等、图形的变换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题就不难得到解决四、运动变化题例4如图4，等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转图4 图5 图6（1）如图5，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图6所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由解析：（1）BM=FN证明：因为GEF是等腰直角三角形，ABCD是正方形ABD=F=45，OB=OF，又因为BOM=FON，OBMOFN，BM=FN（2）BM=FN仍然成立证明：因为GEF是等腰直角三角形，ABCD是正方形，DBA=GFE=45，OB=OFMBO=NFO=135又MOB=NOF，OBMOFN，BM=FN评注：本题表面上探究BM与FN的数量关系，实际上是探究三角形全等问题，并以运动的观点探究三角形全等，考查了同学们的综合解题能力五、拼图证明题例5一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图7右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上图7（1）求证ABED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有ABCDEF，故A=D；又ANP=DNC，因而不难得到APN=DCN=900，即ABED（2）若在增加PB=BC这个条件，再认真观察图形，就不难得到PNACND、PEMFMB评注：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力六、操作应用题例6如图8，有一块不规则土地ABCD，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH穿过这块土地，EF左边是甲，右边是乙，ABCD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.图8分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用ABCD这一条件来构造全等三角形.解：取EF的中点O，连接GO并延长交FH于点M，GM就是修直后的公路.理由是：设GM分别交AB、CD于点P、Q，由ABCD，可得PEOQFO，又因为EOFO，EOPFOQ，故EOPFOQ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.评注：本题是一道设计方案题，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望例7如图9，某同学把一块三角形的玻