作业1数学建模,姜启源版.doc

实验一 动力系统 一、实验目的与要求掌握运用软件求解动态系统模型，通过研究散点图得到动态系统的内在性质和长期趋势。通过对数据进行处理，归纳出动态系统模型。1、 用Excel对数据进行处理，建立动态系统模型并且进行验证；2、 用Excel画散点图，对动态系统模型解的长期趋势进行分析；3、 用Excel求解动态系统模型并估计均衡点；4、 用Excel分析多元动态系统模型。二、实验内容Example 1.1 P9 研究课题第一题 随着汽油价格的上涨，今年你希望买一辆新的（混合动力）汽车。你把选择范围缩小到以下几种车型：2007Toyota Camry混合动力汽车 2007Saturn混合动力汽车 2007Honda Civic混合动力汽车 2007Nissan Altima 混合动力汽车2007Mercury Mariner混合动力汽车。每年公司都向你提供如下的“优惠价”。你有能力支付多达60个月的大约500美元的月还款。采用动力系统的方法来确定你可以买那种新的混合动力系统汽车。混合动力汽车“优惠价”（美元）预付款（美元）利率和贷款持续时间Saturn220451000年利率5.95%，60个月Honda Civic243501500年利率5.5%，60个月Toyota Camry26200750年利率6.25%，60个月Mariner275151500年利率6%，60个月Altima249001000年利率5.9%，60个月解答如下，对五家公司分别建立动力系统模型：Saturn: bn=bn+1-bn=0.0595bn-6000 bn+1= bn+0.0595bn-6000b0=21045Honda Civic: bn=bn+1-bn=0.055bn-6000bn+1= bn+0.055bn-6000b0=22850Toyota Camry: bn=bn+1-bn=0.0625bn-6000bn+1= bn+0.0625bn-6000b0=25450Mariner: bn=bn+1-bn=0.06bn-6000bn+1= bn+0.06bn-6000b0=26015Altima: bn=bn+1-bn=0.059bn-6000bn+1= bn+0.059bn-6000b0=23900Excel操作步骤：1 打开excel表格，输入如下表格:：2用智能标识把月份从0拉到5：3.在B5 输入= B4+0.0595B4-6000，回车后下拉即可可到序列B=(16297.18, 11266.86, 5937.238,)。同理在D,F,H,J行输入，得到如下表格：4 在插入图表XY散点图，选中数据格就可得出下表： （1）选中A1到B9的数据，建立散点图，得到Saturn表： （2）选中C1到D9的数据，建立散点图，得到Honda Civic表：（3）选中E1到F9的数据，建立散点图，得到Toyota Camry表（4）选中G1到H9的数据，建立散点图，得到Mariner表（5）选中I1到J9的数据，建立散点图，得到Altima表由图可知：Saturn表的线最早与X轴相交，故我们可以得出应当购买Saturn公司的汽车。Example 1.2 P16 习题第二题下列数据表示从1790到2000年的美国人口数据Year populationYearPopulationYearPopulation17903,929,000187038,558,000 1940131,669,00018005,308,000188050,156,000 1950150,697,00018107,240,000189062,948,000 1960179,323,00018209,638,000190075,995,0001970203,212,000 183012,866,000 191091,972,0001980226,505,000 184017,069,0001920105,711,0001999248,710,000185023,192,0001930122,755,000 2000281,416,000186031,443,000求出能够相当好地拟合该数据的动力模型，通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型。解答如下：首先均差计算公式可得下列差分表divided difference table均差YearObserved population1790392,900 1800530,800 13,790 18107,240,000 670,920 32856.518209,638,000 239,800 -21556-1813.75183012,866,000 322,800 4150856.866766.76542184017,069,000 420,300 487524.16667-20.8175185023,192,000 612,300 9600157.53.333333186031,443,000 825,100 1064034.66667-3.07083187038,558,000 711,500 -5680-544-14.4667188050,156,000 1,159,800 22415936.537.0125189062,948,000 1,279,200 5970-548.167-37.1167190075,995,000 1,304,700 1275-156.59.791667191091,972,000 1,597,700 14650445.833315.058331920105,711,000 1,373,900 -11190-861.333-32.67921930122,755,000 1,704,400 16525923.833344.629171940131,669,000 891,400 -40650-1905.83-70.74171950150,697,000 1,902,800 505703040.667123.66251960179,323,000 2,862,600 47990-86-78.16671970203,212,000 2,388,900 -23685-2389.17-57.57921980226,505,000 2,329,300 -2980690.166776.983331990248,709,873 2,220,487 -5440.64-82.0212-19.30472000281,416,000 3,270,613 52506.271931.56450.33962根据excel中“工具数据分析回归”，可得如下图像 模型：y = 670127x2 - 3E+06x + 8E+06Example 1.4 P50 第四题假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵：老鼠。生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平。令 M n 表示 n 年后老鼠的种群量， On 表示 n 年后斑点猫头鹰的种群量。生态学家提出了下列模型： Mn+1=1.2Mn-0.01OnMn On+1 =0.7On+0.002OnMn生态学家想知道在栖息地两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感。(a) 比较上面模型中系数的正负号和例 3 中猫头鹰-模型中系数的正负号。依次解释正在建模的捕食者食饵关系中四个系数 1.2、-0.01、0.7 和 0.002 的正负号的意义。(b) 对下列表中初始种群数量进行检验并预测其长期行为： 猫头鹰老鼠猫头鹰老鼠情况 A150200情况 C100200情况 B 150150300情况 D1020(c) 现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验，然后再试不同的起始值。长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感？解答如下：（a）1.2和0.7分别是老鼠和猫头鹰增长率，都是正常数。猫头鹰的存在是为了降低老鼠的增长率，反之亦然。OnMn为两种生物竞争的激烈程度。-0.001的负号表示随着竞争激烈程度的增加，老鼠的数目不断减少。0.002的正号表示随着竞争激烈程度的增加，猫头鹰的数目不断增加。（b）平衡点：如果把（M,O）成为平衡点，那么必须同时有M=Mn+1=Mn和O= On+1= On,把它们带入模型给出 0=M*(0.2-0.001*O) 0=0*(-0.3+0.002*M) 平衡点的意义:第一个方程表明如果M=0或O=200，那么老鼠的种群量没有变化。第二个方程表明如果O=0或M=150，那么斑点猫头鹰的种群量没有变化。如下图（1）所示在（M,O）=(0,0)和（M,O）=(150,200)处于平衡点，因为两个种群的种群量在这两个点都没有变化。Excel操作步骤：1.打开excel表格，输入如下表格:2用智能标识把天数从2拉到30：3.在B4输入=0.7*B3+0.002*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(200,200,200)。在C4输入=1.2*C3-0.001*B3*C3回车后下拉即可可到序B=(150,150,150)。得到如下表格：4 在插入图表XY散点图，选中数据格就可得出下表： 选中A1到C32的数据，建立散点图，得到平衡表：（图1） 图1：如果老鼠的种群量从150开始而猫头鹰的种群量从200开始，那么这两个种群都停留在它们的起始值处。(b)(1)情形A长期行为：猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降。后来随着老鼠的增加又逐渐上升。老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升（他们的数目是互相波动的）EXCLE操作同上图操作相似。(2)情形B长期行为：猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降。后来随着老鼠的增加又逐渐上升。老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升。（他们的数目是互相波动的）(3)情形C长期行为：猫头鹰先逐渐变多，达到一个顶峰后，数目又逐渐下降。后来随着老鼠的增加又逐渐上升。老鼠数目先上升一小段，有急剧下降，后来是随着猫头鹰的减少而数目上升。（他们的数目是互相波动的）(4)情形D长期行为：猫头鹰数目不断增长。 老鼠数目几乎不变，直到第26天开始不断增长。(c) 在情形A的基础上，利用给定的起始值对不同的系数的值做实验（1）起始值相同，系数不同: （2）起始值相同，系数不同: Mn的系数1.2改为1.0 OnMn的系数-0.001改为-0.02 On的系数