有关折叠问题的教学设计.doc

有关折叠问题的教学设计温州中学 李凤娟设计思想：折叠问题是解析几何中常见的问题之一,利用几何画板可以对折叠所形成的对称关系进行分析与探索.类型一:已知点A与直线L,若以L为折痕,求折叠后A的位置,利用直线L与线段A的垂直平分关系可得如下作法:1. 过点A作直线L的垂线交L与点C2. 以C为圆心,AC长为半径作圆,交垂线与一点,则即为所要求的点A折后的位置.其中第二步也可由标记点C为中心,对点A进行旋转完成.运动点A或直线L皆可观察点的位置变化.类型二：已知点A关于直线L折叠后所对应的点为，此时确定折痕所在直线L的位置只需作线段A的垂直平分线即可。（图略）下面以2005年广东高考最后一题说明这个问题，题面如下:在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；O(A)BCDXY（图5) （）求折痕的长的最大值.利用几何画板可以帮助学生更好的理解此题的不同解法.解法一:设折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)，则该问题转化为如何由点A、G寻找折痕L的位置。解题关键应为A、G关于L对称，具体如下：第一步：构造线段DC上的G，并做线段AG的垂直平分线L，则L即为折痕所在的直线第二步：做关于G点的动画，观察折痕的位置 图1 图2 图3. 图4易得到以下结论（1） 由图1、图2、图3可知折痕的的长度会因L的位置不同而有三种的不同求法（2） 当L过点D、B为分界点（图略）（3） 当点G与D点重合时如图4（4） 当点G与C点重合时，折痕为对角线BD（图略）解法如下：解(I) （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)所以A与G关于折痕所在的直线对称，有故G点坐标为从而折痕所在的直线L与OG的交点坐标（线段OG的中点）为折痕所在的直线方程，即由（1）（2）得折痕所在的直线L方程为：解（II）若折痕所在的直线过点D（0，1）则k=-1; 若折痕所在的直线过点B（2，0）则k=-2+;若点G与点D（0，1）重合，则k=0;若点G与C点重合，则k=-2.（1）当时(如图3)，直线L交BC于 .（2）当时(如图2)，令解得, 此时（3）当时(如图1)，直线交DC于所以折痕的长度的最大值为解法二:若设折痕所在直线L的方程为y=kx+b,则L与y轴的交点为P(0,b),该题解题关键转化为利用AP=PG确定G点与折痕位置的问题.具体解法如下 图1 图2第一步：以P(0,b)为圆心,AP为半径 第二步:过 P点做线段AG的垂线L做圆,则G为P与DC的交点,运动P 则L即为折痕所在的直线点,易知0.5b2.5图3（1） 图3（2） 图3（3）第三步:运动点P,可以得到三类不同的折痕图形, 以L过点D、B为分界点（图略）解题过程如下:I(1)由题知当b=0.5时,k=0折痕所在的直线方程为y=0.5(2)当0.5b2.5时, P的曲线方程为x2+(y-b)2=b2 因为G为P与DC的交点，易得G(,1)由A与G关于折痕所在的直线对称，有，得k=-所以折痕所在的直线方程，即由（1）（2）得折痕所在的直线L方程为：II.时直线L在x轴上截距为，当直线L过点B时0=2k+b，解得b=4-2当直线L过点D时b=0(1) 0.5b4-2时（如图3（3） 直线L交BC与点N(2,2k+b) PN2=22+b-(k+b)2=8b8(4-2)(2) 4-2b1时，(如图3（1） 直线L交AB于点N(,0) y=PN2=b2+()2= 此时 (3)当1b2.5时(如图3（2）) 直线L交AB于点N(,0)直线L交DC于点M(,1)NM2=(-)2+1=+12所以折痕的长度的最大值为 这两种解法利用几何画板分析折痕在不同位置所形成的函数的分段讨论,使学生的思路更为清晰，其中第二种方法以直线L在y轴上的截距b为参数进行讨论，几何意义