函数的基本性质.doc

函数的基本性质n 1。 函数的奇偶性n （1） 函数的奇偶性的定义。n （2） 函数的奇偶性的判断与证明。n （3） 奇、偶函数图象的特征。n 2。 函数的单调性n （1） 函数的单调性的定义。n （2） 函数的单调性的判断与证明。n 复合函数的单调性n （3） 求函数的单调区间。3函数的周期性 (1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何xD，都有x+T D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何xD，都有x+aD,x+bD,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。(2)最小正周期:(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)4函数图象的对称性n 一中心对称：n (1) 奇函数的图象关于原点对称；n 一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称 （2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) f(a+x)=- f(a-x) (4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点(a+b)/2,0)成中心对称.二 轴对称： （1）偶函数的图象关于Y轴对称；一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称(3)反函数的图象n 函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；n 函数y=f(x)的图象与y=-f-1 (-x)的图象关于直线y= - x对称；n 设函数y=f(x)有反函数y=f 1(x)，则其图象关于直线y=X对称的充要条件是：f(x)=f 1(x).5函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：n 命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。n 命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的一个周期。n 命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数yf(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(ab)命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a c， bd时，f(x)不是周期函数。高考题例1.（95）已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（B ） (A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0.2)(D)2,+)n 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=n -f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（B ）n (A)0.5 (B)-0,.5(C)1.5(D)-1.5n 3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合。设ab0，给出下列不等式：n f(b)-f(-a)g(a)-g(-b) f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) f(a)-f(-b)0。n （）解不等式f(x)1；n （）求a的取值范围，使函数f(x)在区间0,+)上是单调函数。例（02高考理）设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,xR。（）讨论f(x)的奇偶性；（）求f(x)的最小值。例设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x20,1/2，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a0。（）求f(1/2)及f(1/4)；（）证明f(x)是周期函数。（01高考）n 分析（）由已知条件：f(1)=f(1/2+1/2)=并应注意证明f(1/2)0.n (2)由命题得函数的周期为由周期性的定义证明例22.（2004.江苏）已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和