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习 题 课 下03一、填空题1已知，则其和函数，级数的和为。解：， 。2已知，则其和函数，级数的和为。解：，。3级数的和为。解：4设 ，其中，则。解：是余弦级数，它由的偶式延拓展开而产生且周期为2，二、选择题1设幂级数在点收敛，则实数的取值范围是（ A ）（A）； （B）； （C）； （D）。 解：令，收敛半径，收敛域为，故的收敛域为。，。2将展成的幂级数，其收敛域为（ D ）（A）； （B）； （C）； （D）。解： 其中，即，故应选（D）。三、求幂级数的收敛域与和函数。解： ，收敛区间为（-2，2）， 当时，得，收敛的； 当时，得，发散的；故收敛域为-2，2）。 设和函数， ，（或）。 四、将下列函数展开成的幂级数1解： 2解法1： 。解法2：3解： ， ， ，。五、将函数展开成的幂级数。解：令，。六、将函数展开成的幂级数，并求的和。（2003年考研题）解：， ，当时， 。七、将展开成正弦级数，并求的和。解：先将作奇式延拓，再作周期延拓，则，当时，级数收敛于0，当时，级数收敛于，当时，得。八、利用幂级数证明欧拉公式：。证明：，在上式中以代，得， .思考题：1将展开成以2为周期的傅里叶级数，并求的和。解：是偶函数，。 ，。 当时，得， 又，。2设试将展开成的幂级数，并求级数 的和。（2001年考研题）解：， 但时，上述右边的级数收敛于，故 3求幂级数的收敛区间与和函数。（2005年考研题）解：，得新幂级数 ， 新幂级数的收敛区间为，故原幂级数的收敛区间为。 设， ， ， ， ，又，故，。另解：，。4求幂级数在区
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