材料力学每章习题与重点.pdf

材料力学材料力学 学习指导及习题答案学习指导及习题答案 第第 一一 章章绪论绪论 1 1 图示圆截面杆 两端承受一对方向相反 力偶矩矢量沿轴线且大小均为 M 的力偶作用 试问在杆件的任一横截面 m m 上存在何种内力分量 并确定其大小 解 从横截面 m m 将杆切开 横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量 Mx 即扭矩 其大小等 于 M 1 2 如图所示 在杆件的斜截面 m m 上 任一点 A 处的应力 p 120 MPa 其方位角 20 试求该点处的正应力 与切应力 解 应力 p 与斜截面 m m 的法线的夹角 10 故 pcos 120 cos10 118 2MPa psin 120 sin10 20 8MPa 1 3 图示矩形截面杆 横截面上的正应力沿截面高度线性分布 截面顶边各点处的正应力 均为 max 100 MPa 底边各点处的正应力均为零 试问杆件横截面上存在何种内力分量 并确定其大小 图中之 C 点为截面形心 解 将横截面上的正应力向截面形心 C 简化 得一合力和一合力偶 其力即为轴力 FN 100 10 6 0 04 0 1 2 200 103 N 200 kN 其力偶即为弯矩 Mz 200 50 33 33 10 3 3 33 kN m 1 4 板件的变形如图中虚线所示 试求棱边 AB 与 AD 的平均正应变及 A 点处直角 BAD 的切 应变 解 第第 二二 章章 轴向拉压应力轴向拉压应力 2 1 试计算图示各杆的轴力 并指出其最大值 解 a FNAB F FNBC 0 FN max F b FNAB F FNBC F FN max F c FNAB 2 kN FN2BC 1 kN FNCD 3 kN FN max 3 kN d FNAB 1 kN FNBC 1 kN FN max 1 kN 2 2 图示阶梯形截面杆 AC 承受轴向载荷 F1 200 kN 与 F2 100 kN AB 段的直径 d1 40 mm 如欲使 BC 与 AB 段的正应力相同 试求 BC 段的直径 解 因 BC 与 AB 段的正应力相同 故 2 3 图示轴向受拉等截面杆 横截面面积 A 500 mm2 载荷 F 50 kN 试求图示斜截面 m m 上的正应力与切应力 以及杆内的最大正应力与最大切应力 解 2 4 2 11 图示桁架 由圆截面杆 1 与杆 2 组成 并在节点 A 承受载荷 F 80kN 作用 杆 1 杆 2 的直径分别为 d1 30mm 和 d2 20mm 两杆的材料相同 屈服极限 s 320MPa 安全因数 ns 2 0 试校核桁架的强度 解 由 A 点的平衡方程 可求得 1 2 两杆的轴力分别为 由此可见 桁架满足强度条件 2 5 2 14 图示桁架 承受载荷 F 作用 试计算该载荷的许 用值 F 设各杆的横截面面积均为 A 许用应力均为 解 由C点的平衡条件 由 B 点的平衡条件 1 杆轴力为最 大 由其强度条件 2 6 2 17 图示圆截面杆件 承受轴向拉力 F 作用 设拉杆的直径为 d 端部墩头的直径 为 D 高度为 h 试从强度方面考虑 建立三者间的合理比值 已知许用应力 120MPa 许用切应力 90MPa 许用挤压应力 bs 240MPa 解 由正应力强度条件由切应力强度条件 由挤压强度条件 式 1 式 3 得式 1 式 2 得 故D h d 1 225 0 333 1 2 7 2 18 图示摇臂 承受载荷 F1与 F2作用 试确定轴销 B 的直径 d 已知载荷 F1 50kN F2 35 4kN 许用切应力 100MPa 许用挤压应力 bs 240MPa 解 摇臂 ABC 受 F1 F2及 B 点支座反力 FB三力作用 根据三力平衡汇交定理知 FB的方向 如图 b 所示 由平衡条件由切应力强度条件 由挤压强度条件 故轴销 B 的直径 第第 三三 章章 轴向拉压变形轴向拉压变形 3 1 图示硬铝试样 厚度 2mm 试验段板宽 b 20mm 标距 l 70mm 在轴向拉 F 6kN 的作用下 测得试验段伸长 l 0 15mm 板宽缩短 b 0 014mm 试计算硬铝的弹性模量 E 与泊松比 解 由胡克定律3 2 3 5 图示桁架 在节点A处承受载荷F作用 从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为 1 4 0 10 4与 2 2 0 10 4 试确定载荷 F 及其方位角 之值 已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1 A2 200mm2 弹性模量 E1 E2 200GPa 解 杆 1 与杆 2 的轴力 拉力 分别为 由 A 点的平衡条件 1 2 2 2并开根 便得 式 1 式 2 得 3 3 3 6 图示变宽度平板 承受轴向载荷 F 作用 试计算板的轴向变形 已知板的厚度为 长为 l 左 右端的宽度分别为 b1与 b2 弹性模量为 E 解 3 4 3 11 图示刚性横梁AB 由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持 设钢丝绳的轴向刚度 即 产生单位轴向变形所需之力 为k 试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移 解 设钢丝绳的拉力为 T 则由横梁 AB 的平衡条件 钢丝绳伸长量由图 b 可以看出 C 点铅垂位移为 l 3 D 点铅垂位移为 2 l 3 则 B 点铅垂位移为 l 即3 5 3 12 试计算图示桁架节点 A 的水平与铅垂位移 设各杆各截面的拉压刚度均为 EA 解 a 各杆轴力及伸长 缩短量 分别为 因为 3 杆不变形 故 A 点水平位移 为 零 铅 垂 位 移 等 于B点 铅 垂 位 移 加2杆 的 伸 长 量 即 b 各杆轴力及伸长分别为 A 点的水平与铅垂位移分别为 注意 AC 杆轴力虽然为零 但对 A 位移 有约束 3 6 3 14 图 a 所示桁架 材料的应力 应变关系可用方程 n B 表示 图 b 其中n和B为由实验测定的已知常数 试求节点C的铅垂位移 设各杆的横截面 面积均为A a b 解 2 根杆的轴力都为 2 根杆的伸长量都为 则节点C的铅垂位移 3 7 3 16 图示结构 梁 BD 为刚体 杆 1 杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同 在梁的 中点 C 承受集中载荷 F 作用 试计算该点的水平与铅垂位移 已知载荷 F 20kN 各杆的横 截面面积均为 A 100mm2 弹性模量 E 200GPa 梁长 l 1000mm 解 各杆轴力及变形分别为梁 BD 作刚体平动 其上 B C D 三点位移相等3 8 3 17 图示桁架 在节点 B 和 C 作用一对大小相等 方向相反的载荷 F 设各杆各截面的拉压刚度均为 EA 试计算 节点 B 和 C 间的相对位移 B C 解 根据能量守恒定律 有 3 9 3 21 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆 杆 管各载面的刚度分别为E1A1与 E2A2 复合杆承受轴向载荷F作用 试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴 向变形 解 设杆 管承受的压力分别为 FN1 FN2 则 FN1 FN2 F 1 变形协调条件为杆 管伸长量相同 即联立求解方程 1 2 得杆 管横截面上的正应力分别为 杆 的 轴 向 变 形 3 10 3 23 图示结构 杆1与杆2的弹性模量均为E 横截面面积均为 A 梁 BC 为刚体 载荷 F 20kN 许用拉应力 t 160MPa 许用压应力 c 110MPa 试确定各杆的横截面面积 解 设杆 1 所受压力为FN1 杆 2 所受拉力为FN2 则由梁BC的平衡条件得 变形协调条件为杆 1 缩短量等于杆 2 伸长量 即 联立求解方程 1 2 得因为杆 1 杆 2 的轴力相等 而许用压应力小于许 用拉应力 故由杆 1 的压应力强度条件得 3 11 3 25 图示桁架 杆 1 杆 2 与杆 3 分别用铸铁 铜和钢制成 许用应力分别为 1 40MPa 2 60MPa 3 120MPa 弹性模量分别为 E1 160GPa E2 100GPa E3 200GPa 若载荷 F 160kN A1 A2 2A3 试确定各杆的横截面面积 解 设杆 1 杆 2 杆 3 的轴力分别为 FN1 压 FN2 拉 FN3 拉 则由 C 点的平衡条件 杆 1 杆 2 的变形图如图 b 所示 变形协调条 件为C点的垂直位移等于杆3的伸长 即 联 立求解式 1 2 3 得 由三杆的强度条件 注意到条件 A1 A2 2A3 取 A1 A2 2A3 2448mm2 3 12 3 30 图示组合杆 由直径为 30mm 的钢杆套以外径为 50mm 内径为 30mm 的铜管组 成 二者由两个直径为 10mm 的铆钉连接在一起 铆接后 温度升高 40 试计算铆钉剪 切面上的切应力 钢与铜的弹性模量分别为 Es 200GPa 与 Ec 100GPa 线膨胀系数分别为 l s 12 5 10 与 l c 16 10 解 钢杆受拉 铜管受压 其轴力相等 设为 FN 变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相 等 即 铆钉剪切面上的切应力 3 13 3 32 图示桁架 三杆的横截面面积 弹性模量与许用应力均相同 并分别为 A E 与 试确定该桁架的许用载荷 F 为了提高许用载荷之值 现将杆 3 的设计长度 l 变为 l 试问当 为何值时许用载荷最大 其值 Fmax 为何 解 静力平衡条件为 变形协调条件 为 联 立求解式 1 2 3 得 杆 3 的轴力比杆 1 杆 2 大 由杆 3 的强度条件 若将杆 3 的设计长度 l 变为 l 要使许用 载荷最大 只有三杆的应力都达到 此时 变形协调条件为 第第 四四 章章扭转扭转 4 1 4 3 图示空心圆截面轴 外径 D 40mm 内径 d 20mm 扭矩 T 1kN m 试计算横截 面上的最大 最小扭转切应力 以及 A 点处 A 15mm 的扭转切应力 解 因为 与 成正比 所以 4 2 4 10 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接 已知轴的转速 n 100 r min 传递功率 P 10 kW 许用切应力 80MPa d1 d2 0 6 试确定实心轴的直径 d 空心轴的内 外径 d1和 d2 解 扭 矩由 实 心 轴 的 切 应 力 强 度 条 件 由空心轴的切应力强度条件 4 3 4 12 某传动轴 转速n 300 r min 轮 1 为主动轮 输入功率P1 50kW 轮 2 轮 3 与轮 4 为从动轮 输出功率分别为P2 10kW P3 P4 20kW 1 试求轴内的最大扭矩 2 若将轮 1 与轮 3 的位置对调 试分析对轴的受力是否有利 解 1 轮 1 2 3 4 作用在轴上扭力矩分别为轴内的 最大扭矩若将轮 1 与轮 3 的位置对调 则最大扭矩变为 最大扭矩变小 当然对轴的受力有利 4 4 4 21 图示两端固定的圆截面轴 承受扭力矩作用 试求支反力偶矩 设扭转刚度为已 知常数 解 a 由对称性可看出 MA MB 再由平衡可看出 MA MB M b 显 然MA MB 变 形 协 调 条 件 为解 得 c d 由静力平衡方程得 变形协调条件为 联立求解式 1 2 得 4 5 4 25 图示组合轴 由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起 设作用在刚性 平板上的扭力矩为 M 2kN m 套管与芯轴的切变模量分别为 G1 40GPa 与 G2 80GPa 试 求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力 解 设套管与芯轴的扭矩分别为 T1 T2 则 T1 T2 M 2kN m 1 变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等 即 联立求解式 1 2 得套管与芯轴的最大扭转切应 力分别为 4 6 4 28 将截面尺寸分别为 100mm 90mm 与 90mm 80mm 的两钢管相套合 并在 内管两端施加扭力矩 M0 2kN m 后 将其两端与外管相焊接 试问在去掉扭力矩 M0后 内 外管横截面上的最大扭转切应力 解 去掉扭力矩 M0后 两钢管相互扭 其扭矩相等 设为 T 设施加 M0后内管扭转角为 0 去掉 M0后 内管带动外管回退扭转角 1 此即外管扭转角 剩下的扭转角 0 1 即为内管扭转角 变形 协调条件为 内 外管横截面上的最大 扭转切应力分别为 4 7 4 29 图示二轴 用突缘与螺栓相连接 各螺栓的材料 直径相同 并均匀地排列在 直径为D 100mm 的圆周上 突缘的厚度为 10mm 轴所承受的扭力矩为M 5 0 kN m 螺 栓的许用切应力 100MPa 许用挤压应力 bs 300MPa 试确定螺栓的直径d 解 设每个螺栓承受的剪力为 FS 则由切应力强度条 件由挤压强度条件 故螺栓的直径 第第 五五 章章弯曲应力弯曲应力 1 5 1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定 简支梁受力及 Ox 坐标取向如图所示 试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的 解 B 正确 平衡微分方程中的正负号由该梁 Ox 坐标取向及分布载荷 q x 的方向决定 截面弯矩和 剪力的方向是不随坐标变化的 我们在处理这类问题时都按正方向画出 但是剪力和弯矩的 增量面和坐标轴的取向有关 这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同 参考下图 当 Ox 坐标取向相反 向右时 相应 b A 是正确的 但无论 A B 弯矩的二阶导数在 q 向上 时 均为正 反之 为负 2 5 2 对于承受均布载荷 q 的简支梁 其弯矩图凸凹性与哪些因素相关 试判断下列四种 答案中哪一种是错误的 解 A 是错误的 梁截面上的弯矩的正负号 与梁的坐标系无关 该梁上的弯矩为正 因此 A 是错误的 弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同 和 y 轴的方向有关 弯矩二阶导数为 正时 曲线开口向着 y 轴的正向 q x 向下时 无论 x 轴的方向如何 弯矩二阶导数均为负 曲线开口向着 y 轴的负向 因此 B C D 都是正确的 3 5 3 应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图 并确定 FQ max和 M max 本题 和下题内力图中 内力大小只标注相应的系数 解 4 5 4 试作下列刚架的弯矩图 并确定 M max 解 5 5 5 静定梁承受平面载荷 但无集中力偶作用 其剪力图如图所示 若已知 A 端 弯矩 M 0 0 试确定梁上的载荷 包括支座反力 及梁的弯矩图 解 6 5 6 已知静定梁的剪力图和弯矩图 试确定梁上的载荷 包括支座反力 解 7 5 7 静定梁承受平面载荷 但无集中力偶作用 其剪力图如图所示 若已知 E 端弯矩 为零 请 1 在 Ox 坐标中写出弯矩的表达式 2 试确定梁上的载荷及梁的弯矩图 解 8 5 10 在图示梁上 作用有集度为 m m x 的分布力偶 试建立力偶矩集度 剪力及弯 矩间的微分关系 解 用坐标分别为 x 与 x dx 的横截面 从梁中切取一微段 如图 b 平衡方程为 9 5 11 对于图示杆件 试建立载荷集度 轴向载荷集度 q 或扭力矩集度 m 与相应内力 轴 力或扭矩 间的微分关系 解 a 用坐标分别为 x 与 x dx 的横截面 从杆中切取一微段 如图 c 平衡方程为 b 用坐标分别为 x 与 x dx 的横截面 从杆中切 取一微段 如图 d 平衡方程为 10 5 18 直径为d的金属丝 环绕在直径为D的轮缘上 试求金属丝内的最大正应变与最 大正应力 已知材料的弹性模量为E 解 11 5 23 图示直径为 d 的圆木 现需从中切取一矩形截面梁 试问 1 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高 h 和 b 应分别为何值 2 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高 h 和 b 应分别为何值 解 1 欲使梁的弯曲强度最高 只要抗弯截面系数 取极大值 为此令 2 欲使梁的弯曲刚度最高 只要惯性矩取极大值 为此令 12 5 24 图示简支梁 由 18 工字钢制成 在外载荷作用下 测得横截面A底边的纵向正 应变 3 0 10 4 试计算梁内的最大弯曲正应力 已知钢的弹性模量 E 200GPa a 1m 解 梁 的 剪 力 图 及 弯 矩 图 如 图 所 示 从 弯 矩 图 可 见 13 5 32 图示槽形截面铸铁梁 F 10kN Me 70kN m 许用拉应力 t 35MPa 许用压应力 c 120MPa 试校核梁的强度 解 先 求 形 心 坐 标 将 图 示 截 面 看 成 一 大 矩 形 减 去 一 小 矩 形 惯性矩 弯矩图如图所示 C 截面的左 右截面为危险截面 在 C 左截面 其最大拉 压应力分别为 在 C 右截面 其 最大拉 压应力分别为 故 14 5 35 图示简支梁 由四块尺寸相同的木板胶接而成 试校核其强度 已知载荷 F 4kN 梁跨度 l 400mm 截面宽度 b 50mm 高度 h 80mm 木板的许用应力 7MPa 胶缝的 许用切应力 5MPa 解 从 内 力 图 可 见木 板 的 最 大 正 应 力 由剪应力互等定理知 胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力 可见 该梁满足强度条件 15 5 41 图示简支梁 承受偏斜的集中载荷 F 作用 试计算梁内的最大弯曲正应力 已知 F 10kN l 1m b 90mm h 180mm 解 16 5 42 图示悬臂梁 承受载荷F1与F2作用 已知F1 800N F2 1 6kN l 1m 许用应 力 160MPa 试分别按下列要求确定截面尺寸 1 截面为矩形 h 2b 2 截面为圆形 解 1 危险截面位于固定端 2 17 5 45 一铸铁梁 其截面如图所示 已知许用压应力为许用拉应力的 4 倍 即 c 4 t 试从强度方面考虑 宽度b为何值最佳 解 又因 y1 y2 400 mm 故 y1 80 mm y2 320 mm 将截面对形心轴 z 取静矩 得 18 5 54 图示直径为 d 的圆截面铸铁杆 承受偏心距为 e 的载荷 F 作用 试证明 当 e d 8 时 横截面上不存在拉应力 即截面核心为 R d 8 的圆形区域 解 19 5 55 图示杆件 同时承受横向力与偏心压力作用 试确定F的许用值 已知许用拉应 力 t 30MPa 许用压应力 c 90MPa 解 故 F 的许用值为 4 85kN 第第 七七 章章 应力 应变状态分析应力 应变状态分析 7 1 7 1b 已知应力状态如图所示 应力单位为 试用解析法计算图中指定截面的正 应力与切应力 解 与截面的应力分别为 MPa 7 2 7 2b 已知应力状态如图所示 应力单位为 试用解析法计算图中指定截面的正 应力与切应力 解 与截面的应力分别为 7 3 7 2d 已知应力状态如图所示 应力单位为 试用图解法计算图中指定截面的正 应力与切应力 解 如图 得 指定截面的正应力 切应力 7 4 7 7 已知某点 A 处截面 AB 与 AC 的应力如图所示 应力单位为 试用图 解法求主应力的大小及所在截面的方位 解 由图 根据比例尺 可以得到 7 5 7 10c 已知应力状态如图所示 试画三向应力圆 并求主应力 最大正应力与最大切应 力 解 对于图示应力状态 是主应力状态 其它两个主应力由 确定 在平面内 由坐标 与 分别确定和点 以为直径画圆 与轴相交于和 再以及为直径作圆 即得三向应力圆 由上面的作图可知 主应力为 7 6 7 12 已知应力状态如图所示 应力单位为 试求主应力的大小 解 与截面的应力分别为 在截面上没有切应力 所以是主应 力之一 7 7 7 13 已知构件表面某点处的正应变 切应变 试求该表面处方位的正应变与最大应变及其所在方位 解 得 7 8 7 20 图示矩形截面杆 承受轴向载荷 F 作用 试计算线段 AB 的正应变 设截面尺寸 b 和 h 与材料的弹性常数 E 和 均为已知 解 AB 的正应变为 7 9 7 21 在构件表面某点 O 处 沿 与方位 粘贴三个应变片 测得该三方 位的正应变分别为 与 该表面处于 平面应力状态 试求该点处的应力 与 已知材料的弹性模量 泊松比 解 显然 并令 于是得切应变 7 10 7 6 图示受力板件 试证明 A 点处各截面的正应力与切应力均为零 证明 若在尖点 A 处沿自由边界取三角形单元体如图所示 设单元体 面上的应力 分量为 和 自由边界上的应力分量为 则有 由于 因此 必有 这时 代表 A 点应力状态的应力圆缩为坐标的原点 所以 A 点为零应力状态 7 11 7 15 构件表面某点处 沿 与方位粘贴四个应变片 并测 得 相 应 正 应 变 依 次 为 与 试判断上述测试结果是否可靠 解 很明显 得 又 得 根据实验数据计算得到的两个结果不一致 所以 上述测量结果不可靠 第第 八八 章章应力状态与强度理论应力状态与强度理论 1 8 4 试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力 弹性常数 E 和 均 为已知 a 棱柱体轴向受压 b 棱柱体在刚性方模中轴向受压 解 对于图 a 中的情况 应力状态如图 c 对于图 b 中的情况 应力状态如图 d 所以 2 8 6 图示钢质拐轴 承受集中载荷 F 作用 试根据第三强度理论确定轴 AB 的直径 已知载荷 F 1kN 许用应力 160Mpa 解 扭矩 弯矩 由 得 所以 3 8 10 图示齿轮传动轴 用钢制成 在齿轮 上 作用有径向力 切向 力 在齿轮 上 作用有切向力 径向力 若许用 应力 100Mpa 试根据第四强度理论确定轴径 解 计算简图如图所示 作 图 从图中可以看出 危险截面为 B 截面 其内力分量为 由第四强度理论 得 4 8 4圆截面轴的危险面上受有弯矩 y 扭矩 x 和轴力 Nx 作用 关于危险点的应力 状态有下列四种 试判断哪一种是正确的 请选择正确答案 图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面 答 B 5 8 13 图示圆截面钢杆 承受载荷 与扭力矩作用 试根据第三强度理 论校核杆的强度 已知载荷N 扭力矩 许用 应力 160Mpa 解 弯矩 满足强度条件 6 8 25 图示铸铁构件 中段为一内径 D 200mm 壁厚 10mm 的圆筒 圆筒内的压力 p 1Mpa 两端的轴向压力 F 300kN 材料的泊松比 0 25 许用拉应力 t 30Mpa 试 校核圆筒部分的强度 解 由第二强度理论 满足强度条件 7 8 27 图薄壁圆筒 同时承受内压 p 与扭力矩 M 作用 由实验测得筒壁沿轴向及与轴 线成方位的正应变分别为和 试求内压 p 与扭力矩 M 之值 筒的内径为 D 壁厚 材料的弹性模量 E 与泊松比 均为已知 解 很显然 8 8 22 图示油管 内径 D 11mm 壁厚 0 5mm 内压 p 7 5MPa 许用应力 100Mpa 试校核油管的强度 解 由第三强度理论 满足强度条件 9 8 11 图示圆截面杆 直径为 d 承受轴向力 F 与扭矩 M 作用 杆用塑性材料制成 许 用应力为 试画出危险点处微体的应力状态图 并根据第四强度理论建立杆的强度条件 解 危险点的应力状态如图所示 由第四强度理论 可以得到杆的强度条件 10 8 17 图示圆截面圆环 缺口处承受一对相距极近的载荷作用 已知圆环轴线的半 径为 截面的直径为 材料的许用应力为 试根据第三强度理论确定的 许用值 解 危险截面在 A 或 B 截面 A 截面 B 由第三强度理论可见 危险截面为 A 截面 得 即的许用值为 11 8 16 图示等截面刚架 承受载荷与作用 且 试根据第三 强度理论确定的许用值 已知许用应力为 截面为正方形 边长为 且 解 危险截面在 A 截面或 C D 截面 C 截面与 D 截面的应力状态一样 C 截面 由第三强度理论 得 A 截面 由第三强度理论 得 比较两个结果 可得 的许用值 12 8 25 球形薄壁容器 其内径为 壁厚为 承受压强为 p 之内压 试证明壁内任 一点处的主应力为 证明 取球坐标 对于球闭各点 以球心为原点 由于结构和受力均对称于球心 故球壁各点的应力状态相同 且由于球壁很薄 对于球壁上的任一点 取通过该点的直径平面 如图 由平衡条件 对于球壁内的任一点 因此 球壁内的任一点的应力状态为 证毕 第第 九九 章章压杆稳定问题压杆稳定问题 9 1 9 8 图示正方形桁架 各杆各截面的弯曲刚度均为 EI 且均为细长杆 试问当载荷 F 为何值时结构中的个别杆件将失稳 如果将载荷 F 的方向改为向内 则使杆件失稳的载荷 F 又为何值 解 1 此时 CD 杆是压杆 时 CD 杆失稳 2 F 的方向改为向内时 AC CB BD DB 杆均为压杆 其受到的压力均为 时 压杆失稳 9 2 9 22 图示桁架 在节点 C 承受载荷 F 100kN 作用 二杆均为圆截面 材料为低碳钢 Q275 许用压应力 180Mpa 试确定二杆的杆径 解 取结点 C 分析 AC 杆是拉杆 得 BC 杆是压杆 得 考虑到压杆失稳 由于 故 得 因此 AC 杆的直径为 BC 杆的直径为 9 3 9 12 图示活塞杆 用硅钢制成 其直径 d 40mm 外伸部分的最大长度 l 1m 弹性模 量 E 210Gpa 100 试确定活塞杆的临界载荷 解 看成是一端固定 一端自由 此时 而 所以 用大柔度杆临界应力公式计算 9 4 9 7 试确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷 设弯曲刚度 EI 为常数 解 由于右段可水平移动而不能转动 所以右端 有力偶 取杆的左段为隔离体 得 令 得 它的通解为 当时 得 得 所以 当时 即 n 1 2 3 取 n 1 得最小值 所以 该细长压杆的相当长度 临界载荷为 9 5 9 2 图示刚杆弹簧系统 试求其临界载荷 图中的 k 为弹簧常量 解 设弹簧伸长为 则 那么支反力为 各力对弹簧所在截面取矩 则 即得 9 6 9 13 图示结构 由横梁 AC 与立柱 BD 组成 试问当载荷集度 q 20N mm 与 q 40N mm 时 截面 B 的挠度分别为何值 横梁与立柱均用低碳钢制成 弹性模量 E 200GPa 比例极 限 200MPa 解 截面几何性质 No20b 工字钢 梁长 圆截面立柱 长 结构为一次静不定 由变形协调条件 1 当时 2 当时 9 7 9 15 图示矩形截面压杆 有三种支持方式 杆长 l 300mm 截面宽度 b 20mm 高度 h 12mm 弹性模量 E 200Gpa 50 0 中柔度杆的临界应力公式为 试计算它们的临界载荷 并进行比较 解 a b c 从计算结果看出 第三种支持方式的临界载荷最大 9 8 9 5 图示两端球形铰支细长压杆 弹性模量 E 200Gpa 试用欧拉公式计算其临界荷载 1 圆形截面 d 30mm l 1 2m 2 矩形截面 h 2b 50mm l 1 2m 3 No14 工字钢 l 1 9m 解 1 2 3 9 9 9 17 图示连杆 用硅钢制成 试确定其临界载荷 中柔度杆的临界应力公式为 在平面内 长度因数 在平面内 长度因数 解 考虑平面失稳 考虑平面失稳 采用中柔度杆的临界应力公式计算 9 10 9 19 试检查图示千斤顶丝杠的稳定性 若千斤顶的最大起重量 丝杠内 径 丝杠总长 衬套高度 稳定安全因数 丝 杠 用钢 制 成 中 柔 度 杆 的 临 界 应 力 公 式 为 解 看成是一端固定 一端自由 最大伸长长度 用中柔度杆的临界应力公式计算 所以 千斤顶丝杠不会失稳 第第 十十二二 章章非对称弯曲非对称弯曲 1 12 1 在梁的图示截面上 弯矩 M 10 kN m 试计算最大弯曲正应力 已知截面的 惯性矩 Iy Iz 4 75 106mm4 Iyz 2 78 106mm4 题 10 l 图 解 2 12 3 图示悬臂梁 承受载荷 F1与 F2作用 试校核梁的强度 已知 F1 5 kN F2 30kN 许用拉应力 t 30 MPa 许用压应力 c 90 MPa 解 在固定端截面上 梁强度不满足要求 3 12 8 图示用钢板加固的木梁 承受载荷 F 10 kN 作用 钢与木的弹性模量分别为 Es 200 GPa 与 Ew 10 GPa 试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面 C 的挠度 解 由上册附录 E 知 第第 十十三三 章章能量法能量法 13 1 11 1 图示各梁 弯曲刚度 EI 均为常数 试计算梁的应变能及所加载荷的相应位 移 题 13 l a 图 解 题 13 l a 利用对称性 梁的应变能 题 13 l b 图题 13 l b 解 梁的应变能 13 2 11 2 图示变宽度平板 承受轴向载荷 F 作用 试计算板件的总伸长 板件的厚 度为 长度为 l 左 右端的截面宽度分别为 b1与 b2 材料的弹性模量为 E 题 13 2 图 解 注意 1 该题为变截面 各截面横截面上正应力不同 2 各截面上正应力不同 故不能用 只能用计算 13 3 11 3 图示等截面直杆 承受轴向载荷 F 作用 设杆的横截面面积为 A 材料的应 力 应变关系为 其中 c 为已知常数 试计算外力所作之功 解 注意 该题为材料非线性 1 对轴向拉压 仍适用 2 不适用 3 仍适用 解法二 13 4 11 4 图示圆柱形大螺距弹簧 承受轴向拉力 F 作用 试用能量法证明弹簧的轴向变形为 式中 D 为弹簧的平均直径 d 为弹簧丝的直径 n 为弹簧 的圈数 为螺旋升角 E 为弹性模量 G 为切变模量 题 13 4 图 解 13 5 11 5 图示等截面直杆 承受一对方向相反 大小均为 F 的横向力作用 设截面 宽度为 b 拉压刚度为 EA 材料的泊松比为 试利用功的互等定理 证明杆的轴向变形为 状态 题 13 5 图状态 解 用功 位移 互等定理关键 1 找出状态 使状态 的外力在 状态 所求的位移上做功 2 状态 的外力作用下 状态 外力作用点 状态 外力相应位移容易求出 用功的互等定理 13 6 11 6 图示纤维增强复合材料 轴 1 沿纤维方向 轴 2 垂直于纤维方向 当正应力 l单独作用时 图 a 材料沿 1 和 2 方向的正应变分别为 式中 E1与 12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比 当 2单独作用时 图 b 上 述二方向的正应变则分别为 式中 E1与 21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比 试证明 即上 述四个弹性常数中 只有三个是独立的 状态 题 13 6 图状态 解 设垂直于纤维方向边长为 b 纤维方向边长为 a 厚度为 t 用功互等定理 13 7 11 7 试用卡氏第二定理解题 13 1 题 13 l a 图 解 由 13 l a 知梁的应变能 题 13 l b 图 解 题 13 l b 梁的应变能 13 8 11 8 图示桁架 在节点 B 承受载 荷 F 作用 试用卡氏第二定理计算该节点的 铅垂位移 B 各杆各截面的拉压刚度均为 EA 题 13 8 图 解 13 9 11 9 图示刚架 承受载荷 F 作用 试用卡氏第二定理计算截面 C 的转角 设弯 曲刚度 EI 为常数 题 13 9 图 解 由于截面没有转角相应的外力偶 故需虚加一个力偶 m 注意 1 用卡氏第二定理时 在求某点位移 转角 时 则在求位移点沿求位移方向 转 角 必须有一相应的集中力 集中力偶 若实际结构不存在相应的力 力偶 则需虚加相 应力 力偶 在对相应力 力偶 求偏导后 令虚加力 力偶 为零 2 卡氏第二定理可有二种形式 以弯曲为例 3 当求下梁 A 点的位移时 必须先把 A 点外力记为 FA 再用求 A 点 位移 最后 FA用 F 表示 若直接用求出的物理意义为 A 点 F 方向位移 与 C 点 F 方向位移代数和 13 10 11 11 图示等截面杆 承受轴向均布载荷 q 及集中载荷 F 作用 试用卡氏第二定 理计算杆端截面 A 的轴向位移 设拉压刚度 EA 为常数 题 13 11 图 解 1 13 3 图示圆截面钢杆 直径 d 20 mm 杆长 l 2 m 弹性模量 E 210GPa 一重量 为 P 500 N 的冲击物 沿杆轴自高度 h 100 mm 处自由下落 试在下列两种情况下计算杆 内横截面上的最大正应力 杆与突缘的质量以及 突缘与冲击物的变形均忽略不计 1 冲击物直接落在杆的突缘上 图 a 2 突缘上放有弹簧 其弹簧常量 k 200 N mm 图 b 解 2 13 5 图示等截面刚架 一重量为 P 300 N 的物体 自高度 h 50 mm 处自由下落 试计算截面 A 的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力 材料的弹性模量 E 200 GPa 刚架 的质量与冲击物的变形均忽略不计 题 13 5 图M 图M0图 解 3 13 6 图示悬臂梁 一重量为 P 的物体 以速度 v 沿水平方向冲击悬臂梁端部的截面 A 试求该截面的最大水平位移与梁内的最大弯曲正应力 材料的弹性模量为 E 梁的质量与冲 击物的变形均忽略不计 解 4 13 7 图示两根正方形截面简支架 一重量为 P 600 N 的物体 自高度 h 20 mm 处 自由下落 试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲 正应力 1 二梁间无间隙 2 二梁间的间隙 2mm 已知二梁的跨度 l 1m 根截面的边宽 a 30 mm 弹 性模量 E 200 GPa 梁的质量与冲击物的变形均忽略 不计 解 1 一次静不定问题 设两梁相互作用为 R 由变形协调条件 2 设上梁冲击点变形到最低点时动载荷为 Pd 两梁相互作用为 Rd 由变形协调条件 冲击物位能改变为 上梁的变形能为 下梁的变形能为 由能量守恒 由 1 2 解得 第第 十十四四 章章静不定问题静不定问题 1 14 1 试判断图示各结构的静不定次数 解 a 4 次静不定问题 3 次内力静不定 1 次外力静不定 b 3 次静不定问题 2 次内力静不定 1 次外力静不定 c 1 次静不定问题 1 次内力静不定 d 1 次静不定问题 1 次内力静不定 2 13 2 图示各刚架 弯曲刚度 EI 均为常数 试求支反力 并画弯矩图 解 a 1 次静不定问题 相当系统如上右图 相当系统 M 图单位载荷结构 3 14 3 图示圆弧形小曲率杆 弯曲剧度 EI 为常数 试求支反力 对于题 b 并计算截 面 A 的水平位移 解 a 1 次静不定问题 相当系统 M 图单位载荷结构 解 b 1 次静不定问题 相当系统单位载荷结构 计算截面 A 的水平位移略 4 14 4 图示桁架 各杆各截面的拉压刚度均为 EA 试求杆 BC 的轴力 解 1 次静不定问题 相当结构单位载荷结构 5 14 5 图示小曲率圆环 承受载荷 F 作用 试求截面 A 与 C 的弯矩以及截面 A 与 B 的相 对线位移 设弯曲刚度 EI 为常数 题 14 5 图相当系统 解 1 求截面 A 与 C 的弯矩 由对称性取相当系统如图 求 A单位载荷结构求 AB单位载荷结构 2 求截面 A 与 B 的相对线位移 14 6 图示结构 承受载荷 F 作用 试计算杆 BC 的轴力及节点 B 的铅垂位移 a 题 14 6 图 解 a 取相当系统如图 相当系统M 图N 图 单位载荷结构M0图N0图 b 解略 7 14 7 试画图示刚架的弯矩图 设弯曲刚度 EI 为常数 a b 题 14 7 图 a 提示 由对称性取相当系统如图 解略 b 提示 由反对称性取相当系统如图 解略 题 14 7 a 相当系统题 14 7 b 相当系统 8 14 8 试画图示各刚架的弯矩图 并计算截面 A 与 B 沿 AB 连线方向的相对线位移 设弯 曲刚度 EI 为常数 a b c d 题 14 8 图 a 提示 由对称性取相当系统如图 解略 b 提示 由对称性取相当系统如图 解略 c 提示 由反对称性取相当系统如图 解略 d 提示 由反对称性取相当系统如图 解略 题 14 8 a 相当系统题 14 8 b 相当系统 题 14 8 c 相当系统题 14 8 d 相当系统 9 14 9 图示刚架 承受载荷 F 80 kN 作用 已知铰链 A 允许传递的剪力 FS 40kN l 0 5 m 试求尺寸 a 的允许取值范围 设弯曲刚度 EI 为常数 解 由反对称性取相当系统如图 题 14 9 图相当系统 相当系统 M 图单位载荷结构M0图 10 14 11 图示桁架 承受载荷 F 80 kN 作用 各杆各截面的拉压刚度均为 EA 试求杆 BC 的角位移 题 14 11 图相当系统单位载荷结构 解 由反对称性知 NDC 0 取相当系统如图 解法二 参见题 11 17 a 解 11 14 12 图示结构 均为小曲率圆杆 弯曲刚度 EI 为常数 试计算截面 A 与 B 沿 AB 连 线方向的相对线位移 题 14 12 a 受力分析题 14 12 图 解 由对称性 受力分析如图 12 3 13 图示两端固定杆 如果温度升高 T 试计算杆内的最大正应力 材料的弹性模量为 E 线膨胀系数为 l 截面宽度不变 题 14 13 图 解 由对称性 受力分析如图 第十第十一一章章交变应力交变应力 1 11 1 图示循环应力 试求其平均应力 应力幅值与应力比 题 11 1 图 解 2 11 2 图示旋转轴 同时承受横向载荷 F 与轴向拉力 Fx作用 试求危险截面边缘任一点 处的最大正应力 最小正应力 平均应力 应力幅与应力比 已知轴径 d 10 mm 轴长 l 100 mm 载荷 Fy 500 N Fx 2 kN 解 3 11 3 图示疲劳试样 由钢制成 强度极限 b 600 MPa 试验时承受对称循环的轴向载 荷作用 试确定试样夹持部位圆角处的有效应力集中因数 试样表面经磨削加工 题 11 3 图 解 查表得 计算 查表得 计算 4 11 5 图示钢轴 承受对称循环的弯曲应力作用 钢轴分别由合金钢和碳钢制成