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高等数学中几个重要公式和概念的引入实例北京航空航天大学数学系 吴纪桃在高等数学中，两个重要极限 后来成为极限运算的“公式”或“模板”，很多“”或“ ”型的未定式极限都可以通过初等变形化为含有这两个重要极限的表达式，从而可以利用这两个重要极限的结果，将未定式中的“未定”的成分化为确定的。但是，这两个重要极限除了在计算其它极限中有用外，它们有没有更加实际的应用呢？通常我们在教学时一上来就说它们是重要的，并没有一个简单的引例来更加自然地让学生看到它们确实是重要的，这不能不说是教学中的败笔。我认为，在高等数学的教学中，应该尽可能地在每一个重要的定义、定理、公式的引入前，给学生讲述一些相关的引例，简单介绍一些相关背景，引导学生进行分析思考，这样，就有可能让学生自己产生这些新的定义、定理和公式，从而觉得这些新的定义、定理、公式是“自然”的，以达到掌握的目的。下面的前两个例子，就可以在讲两个重要极限之前给同学讲，从中可让学生看到两个重要极限的重要性，第三个例子可以在讲幂级数求和之前讲，可以引出幂级数求和运算。例1. 用圆内接正多边形面积求圆的面积。 解 圆内正n边形的面积为取n趋向于无穷大，则得到圆的面积为 注意到这里就需要用到极限 。例2. 某收藏品今年的价值是（万元），据估计其价值的年化增长率是r，求其经过t年后的价值。解 将t年时间段n等分成小的时间段 ，经过一个这样的小时间段后，该收藏品的价值变成经过t年实际上是经过n个这样的小时间段，所以该收藏品的价值变成。因为时间是连续变化的，收藏品的价值理论上讲每时每刻都是在变化的，所以收藏品的价值当n越大时就越准确，所以当时，对取极限就可以得到A，于是有。注意到计算上式极限就需用到重要极限例3. 某基金会想通过存A万元钱来实现一年后取12万元、二年后取14万元、.，n年后取10+2n万元，并且一直取下去。为防急用采用存期一年、无限转存的方式，一年期利息为r=0.05。现问A至少为多少万元。解 为一年后取12万元，应存， 为二年后取14万元，应存 为n年后取10+
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