第3章_随机向量及其分布(定稿).doc

第3章 随机向量及其分布课前预习导引一、大纲解读1教学大纲解读（1）教学内容随机向量的概念，随机向量的联合分布函数和边缘分布函数，二维均匀分布和二维正态分布，随机变量的独立性，随机向量函数的分布.二项分布、Poisson分布、正态分布的可加性.（2）教学要求知道什么是随机向量的联合分布，什么是随机向量关于某一分量的边缘分布.了解区域上的均匀分布和二维正态分布.理解随机向量的联合分布函数和边缘分布函数. 会由离散型随机向量的联合分布求边缘分布，会由连续型随机向量的联合概率密度求边缘概率密度. 了解随机变量的独立性. 知道什么是随机向量函数的分布. 掌握二项分布、Poisson分布、正态分布的可加性. 知道二维正态分布的边缘分布是一维正态分布. 会由独立的等价条件判断两个随机变量是否独立. 会求简单的随机向量函数的分布. 2. 考研大纲解读（2012版）（1）考试内容多维随机变量及其分布函数，二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常见二维随机变量的分布，两个及两个以上随机变量的函数的分布（2）考试要求 理解多维随机变量的分布函数的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布. 理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系. 掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义. 会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布. 二、问题搜索第3.1节 随机向量及其分布问题：1.两个一维离散型随机变量放在一起一定是二维随机向量吗？连续型的呢？2.二维联合分布一定可以确定边缘分布吗？反之是否成立？什么条件下反之也成立呢？读者的问题：第3.2节 随机向量的联合分布函数问题：1.已知二维随机变量的联合分布函数时如何得到一维随机变量的分布函数？从二维连续型随机变量的分布函数出发如何求得一维随机变量的密度函数？2.如何求多个随机变量的最大值和最小值这类特殊随机变量函数的分布？读者的问题：第3.3节 条件分布问题：1. 区分离散型随机变量的条件分布列和连续型随机变量的条件密度分布的不同形式. 2. 连续型随机变量在条件下的条件密度与下的条件概率有无关联？读者的问题：整理、归纳和提升一、知识整理本课程进入本章学习应具备的知识1随机变量；2级数; 3. 积分本章（随机向量）学习的知识类型离散型连续型随机向量定义如果二维随机向量所有可能取值至多为可数个，则称为二维离散型随机向量对二维随机向量，如果存在非负函数，使得对平面上任意矩形区域，都有则称为二维连续型随机向量. 称非负函数为随机变量与的联合概率密度.性质上述的具有如下性质：（1）；（2）；（3），且联合概率密度具有如下性质：；且边缘分布的定义关于和的的边缘概率分布分别为：， ， 的概率密度函数为关于的边缘概率密度； 的概率密度为关于的边缘概率密度. 联合分布函数的定义设为二维随机向量，称上的二元函数为的联合分布函数，简称联合分布. 可以这样理解：如果为离散型随机向量，其联合概率分布为 ，则相应的联合分布函数为如果为连续型随机向量，其联合概率密度为，则相应的联合分布函数为.联合分布函数性质（1） ；（2）， （3）；（4）对于任意固定的，有关于右连续，关于右连续关于连续，关于连续边缘分布函数设二维随机向量的联合分布函数为，则称分别为与的边缘分布函数独立性判别设二维随机向量，如果对于任意的，均有则称随机变量与相互独立，且独立或独立独立条件概率为给定条件下的分布列.对一切使的，给定条件下的条件密度函数为. 本章学习结束后可进一步学习的本课程知识1.三维及以上随机变量 2. 统计中的抽样基本定理二、技能归纳1. 二维离散型随机向量分布的计算 要领：要掌握二维离散型随机向量分布相关计算技能，首先要理解二维离散型随机向量概率分布的表述方法，明确联合分布列与边缘分布列之间的关系，然后再类比离散型随机变量的分布列、分布函数的相关计算方法进行计算.例1 从商业大学南院到天津西站有3个交通岗，假设在各处遇到红灯的事件相互独立，且遇到红灯和绿灯的概率都是0.5，设为途中遇到红灯的次数，为第一次遇到红灯前已通过的路口数，求(1) 随机变量的联合分布；(2) 随机变量关于和的边缘概率分布.解 (三个路口都遇到绿灯)=；(第一路口遇红灯且第二、三路口遇绿灯)；(第一、三个路口遇绿灯且第二个路口遇红灯)；(第一、二个路口遇绿灯且第三个路口遇红灯)；(第一个路口遇红灯且第二、三个路口一红一绿或一绿一红)=；同理有0.125，其余点因为都是不可能事件故概率为0，从而得到的联合分布如下表所示:表3-1 联合分布表012300000.12510.1250.1250.125020.250.1250030.125000(2) 解法1 从边缘分布的定义出发，利用得关于的边缘分布为； 同理可得关于的边缘分布为:解法2 直接从题意出发求关于的分布. 由于服从, 所以直接从题意出发求关于的分布为注： 初学者一般在给出联合分布求边缘分布时从定义出发直接求出，但熟悉二项分布和几何分布的同学不难看出利用解法二显然要简便得多. 2. 边缘密度函数的求法要领：由二维连续型随机向量的联合密度出发，求边缘密度时，需注意如下要点：当的联合密度函数为分域函数时，求时关于的积分上下限一定为的函数或常数，求时的积分上下限一定为的函数或常数. e2 1ox图3-1 平面区域D的图形y例2 设平面区域由曲线及支线所围成. 二维随机向量在上服从均匀分布，求和的边缘密度函数. 解 平面区域如图3-1所示，利用二重积分可求得其面积为故，所以，注：此题易错点在于求y的边缘密度函数时的分段，求这类问题的解最好是在画出图形的基础上进行. 3. 连续型随机向量函数分布的求法要领：要掌握求连续型随机向量函数分布的方法，需通过以下的步骤进行：第一步把二维联合密度函数对应的非零密度函数区域画出来，第二步将随机向量函数的不同取值段对应的不同分段点找出来，第三步将关键点对应的两个边缘随机变量对应的取值写出来，第四步利用二重积分得到连续型随机向量函数的分布函数. 如果要求写出密度函数，也通常会采用分布函数法进行. o x图3-2 联合密度非零的区域图形 y例3 设的联合概率密度为，求的分布函数. 解 . 如下图3-2所示,当时，显然.当时，有；当时，有 当时，所以的分布函数为注：利用分布函数法求连续型随机变量函数的分布的关键是通过随机变量函数平移找到对应的非零密度函数的关键点及随机变量函数的对应关键值，这两点确定好就可以找对分段函数的分段点和积分的上下限了. 4. 密度函数规范性的应用要领：要灵活掌握密度计算中的技巧，需善于发现隐含条件. 大家在做有未知参数的分布函数或分布密度时有时会陷入感觉条件不够的情形，此时关于正则性的条件加入后问题马上会变得很明朗，注意对该条件的合理使用. 例4 设 的概率密度为试确定常数，并求边缘概率密度函数. 解 由 得. 当时，有而，且当，故根据的对称性，可得注：当分布函数或密度函数的解析式中含有未知参数时可能要利用正则性，也可能利用边缘分布与联合分布间的关系或分段函数的区间断点的信息，善于灵活运用才能使问题简化. 5. 利用卷积公式求独立随机变量和的分布要领：为了掌握独立随机变量和函数的分布计算技巧，使用卷积公式可以把问题简化. 但需考虑被积变量的上下限可能因为联合密度是分域函数而变得复杂，除此之外利用卷积公式应该比用分布函数法简捷，但因为只适合求独立随机变量的和函数的情形，故与分布函数法相比适应面窄得多. x1z=2x0图3-3 联合密度非零的区域图形 2z例5 已知函数称为的卷积，当分别代表相互独立随机变量和的密度函数时，的密度函数即是的卷积或设随机变量，相互独立，其概率密度为求的概率密度函数. 解 因为与独立，有卷积公式由图3-3可知故得.注：此题计算的关键点在于时刻注意非零联合密度函数的区域为三、能力提升1停下来想一想栏目解惑第3.1节 随机向量及其分布停下来想一想：边缘概率分布公式为什么成立？解惑 由联合概率分布的性质就决定了边缘概率分布公式一定成立；或者用如下的思路：对于任意的随机事件A ,如果用表示整个样本空间，一定有A=A停下来想一想：在本例中如果将“连续不放回地抽取两次”改为“连续有放回地抽取两次”，其结果如何？解惑 连续有放回抽取时第二次抽取与第一次抽取独立，故且.停下来想一想：二维均匀分布与一维均匀分布的区别与联系？解惑 区别在于计算概率时的度量有差别，联系在于都是用随机事件的度量值除以整个样本空间的度量值计算概率. 停下来想一想：总结由联合密度函数求边缘密度函数的步骤和方法？解惑 步骤一 分清联合密度函数的非零区域；步骤二 根据步骤一确定要求的边缘随机变量的不同取值范围（因联合密度函数为分域函数的不同而确定）；步骤三 在前两步的基础上进行积分（注意上下限）；步骤四：写出整个实数域上的边缘分布密度. 停下来想一想：在由联合密度函数计算概率时，涉及到三个平面区域：随机向量的取值区域、联合密度函数的非零区域、它们的公共区域，在同一平面正确画出这三个区域非常重要！解惑 关键在于积分区域上下限的确定. 第3.2节 随机向量的联合分布函数停下来想一想：两个随机变量的不独立性如何判断？解惑 对于离散型随机变量的不独立性，只需找到一对值，使得即可. 对于连续型随机变量的不独立性，需找到一对值使得即可.停下来想一想：总结“分布函数法”求随机变量函数密度的步骤和方法！解惑 先利用联合密度函数的定义画出非零的区域；再根据随机变量函数的定义找出对应于不同联合密度函数分域的对应分段；写出随机变量函数不同分段的区间点分别对应的单随机变量对应值；利用联合密度和二重积分得到随机变量函数的分布函数从而得到随机变量函数的密度. 2.易错警示在理解并计算各类不同随机事件概率的过程中，为避免犯各类错误，需注意以下几方面.（1） 二维连续型随机向量不能简单的定义为各分量都是一维连续型随机变量的随机向量. （2）当不独立时，一般（3） 已知二维连续型随机向量的密度函数为分域函数求边缘密度函数时分段积分的上下限确定有如下原则：利用联合密度函数求边缘密度函数时的积分上下限一定为的函数或常数，求时的积分上下限一定为的函数或常数. (4) 二维正态分布=唯一确定边缘分布，反之不成立. 分别服从正态分布并不意味着它们的联合分布为二维正态分布. (5) 一般情况下，(6) 为二维离散型随机向量分量、都是离散型随机变量; 为二维连续型随机向量=分量、都是连续型随机变量; 为二维连续型随机向量分量、都是连续型随机变量.(7) 均匀分布边缘分布、为均匀分布; 联合概率分布=唯一确定边缘分布、; 联合概率分布.3.思想方法释义“特殊一般”是一种重要的思维模型，即从求解特殊问题着手，获得经验和线索，再回到一般问题的讨论中；将一个特殊问题镶嵌到一个一般的框架中而使问题获得解决.由一般到特殊就是在原问题中增加一些条件，使它变成一个特殊问题，一般而言求解也就比较容易了；而一般问题原则上比特殊问题复杂和困难的多，但把问题一般化后能将你带进一个更广阔的天地，这是一个很高级的科学思维方法.二维可以看成是从一维扩展而成，事实上掌握了一维到二维的扩展思路后,依此类推也就掌握了三维及以上的方法，这也是为什么本章只重点讲解了二维的原因. 考虑二维离散型随机向量的分布时关键是找出所有不同数对，并利用一维知识（如条件概率、乘法公式等）求出对应概率，只需注意重合的数对对应概率全部加在一起，概率为零的数对通常不再写出. 而连续型二维随机向量在给出联合密度后求联合分布函数时注意随着联合密度函数的分域不同而进行不同的积分，类似的思路在随机向量函数的分布中同样会用到. 同时在给定联合密度函数求边缘密度函数时也应考虑因联合密度函数为分域函数时边缘密度函数同时化为分段函数. 一些家长告诉他们的孩子，如果他们能拿到大学学位证书，那么会比没有接受高等教育情况下找到一份更好、薪水更高的工作。这些家长的话对吗？大学毕业的工人和只有高中文凭的工人之间的收入分布有差异吗？如果有，又有何差异？在具有相同背景的工人中，男性和女性的收入分布有差异吗？回答这些问题的一种方法是在给定获得的最高学历（高中文凭获学士学位）和性别的条件下，研究收入的分布，是一种条件分布。帮助与提高一、教材(A)类题解答习题3.1（A） 1现有10件产品，其中6件正品，4件次品. 从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下： 试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布. （1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回. 解 （1）依题知所有可能的取值为. 因为 01011所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： （2）类似于（1），可求得所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 01011 2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品. 现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为、，求的联合概率分布和边缘概率分布. 解 依题知、所有可能的取值分别为及，故 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为： 01201203001 3. 设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）常数； （2）关于、的边缘概率密度； （3）； （4）； （5）.解 （1）由联合概率密度分的性质知即， 求得. （2）当时，有; 当时，有.所以关于的边缘概率密度为,同理可得关于的边缘概率密度为 （3） .（4）积分区域如图3-4阴影部分 1 x o y y=-0.5x+0.5 0.5 图3-4 概率函数的积分区域 x o y y=x （5）积分区域如图3-5阴影部分 图3-5 积分区域 4设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）关于、的边缘概率密度； （2）. 解 （1）当时，有； 当时，有.所以关于的边缘概率密度为,同理可得关于的边缘概率密度为（2）由条件概率的定义知，而； ；于是.习题 3.2（A）1.设随机变量与相互独立同分布，且，则( ). （A） （B） （C） （D）解 由与相互独立同分布知的联合概率分布为 0101 1 于是有2.设随机变量相互独立同分布，且，求行列式的分布列.解 ，而、的概率分布分别为：010.840.16010.840.16由于相互独立，所以与也独立同分布，故的概率分布为 -1 0 1 0.1344 0.7312 0.1344 即3. 设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分布，且 求与的联合概率分布.解 依题的概率分布为 ； ； ； .即 010014. 求习题3.1第4题中的联合分布函数.解 当时，有；当时，有 ；当时，有；当时，有； 当时，有.所以的联合分布函数为 5设二维随机向量的联合概率密度求的联合分布函数.解 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有.所以的联合分布函数为6. 设随机变量与相互独立，其概率密度函数分别为 求：（1）常数； （2）随机变量的概率密度函数.解 (1) .（2）因与相互独立，故的联合概率密度为于是当时，有；当时，有 ；当时，有 ；利用分布函数法求得的概率密度函数为7. 设的联合分布函数求：（1）常数； （2）的联合概率密度； （3）的边缘分布函数和边缘概率密度； （4），； （5）判断与的独立性.解 （1）依分布函数的性质知 ；解得，.(2) ; (3) 依联合分布函数的性质知 ， ;所以的边缘概率密度分别为 ， .(4) ， (5) 因为，所以与相互独立.8. 设某仪器由两个部件构成，用、分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知的联合分布函数试求：（1）求的两个边缘分布函数； （2）求联合概率密度与边缘概率密度； （3）与是否独立； （4）两个部件寿命都超过100小时的概率. 解 （1）当时，有 ； 当时，有.所以关于的边缘分布函数为类似地关于的边缘分布函数为(2) 当时，有所以联合概率密度为相应地其边缘概率密度分别为 (3) 因为，所以与相互独立. (4) 所求事件的概率为9. 设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求： （1）联合概率密度与边缘概率密度； （2）； （3）在取值的概率.解（1）依题知 所以联合概率密度当时，有所以联合分布函数 （2）； （3）10. 对随机变量，有， 求，.解 依题得11. 的联合概率密度，求概率密度函数.解 当时，有当时，有当时，有.所以的概率密度函数为12. 设二维随机变量的概率密度则 _ .解 .习题3.3（A）1. 设二维离散型随机向量的联合分布列 1 2 310.10.30.220.20.10.1试求给定条件下的分布列.解 故类似可得，.2. 设二维连续型随机向量的联合密度函数求条件密度函数解 3. 设二维连续型随机向量的联合密度函数求条件密度函数解 如图3.6所示，当时，有 x o 1图3-6非零密度函数的对应区域当时，有由此得这是均匀分布其中4. 设随机变量与相互独立，且.试证明在已知的条件下，服从二项分布，其中解 因为独立泊松变量的和仍为泊松变量，即，所以即在的条件下，服从二项分布，其中5. 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从泊松分布,每个顾客购买某种物品的概率为,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立,试证明进入商店的顾客购买这种物品的人数服从参数为的泊松分布.解 由题意知.在进入商店的人数的条件下，购买某种物品的人数的条件分布为二项分布，即由全概率公式有即服从参数为的泊松分布.6. 试证明二维正态分布的条件分布是一维正态分布.解 由边际分布知服从正态分布，服从正态分布，现在来求条件分布. 根据这正是正态密度函数，其均值和方差分别为，.二、教材（B）类题解答习题3.1（B）1. 袋中有1 个红球，2 个黑球与3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.求：（1）； （2）二维随机变量的联合概率分布.解 （1）因为是有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 故两次取球的事件相互独立，由古典概型及独立事件的概率计算可得：0120102001（2）类似（1）可得二维随机变量的联合概率分布为 01201020012. 已知随机变量，的概率分布分别为-10101且，求：（1）和的联合概率分布；（2）.解 （1）因，又根据得，从而. 于是由下表 01-100101可得，.故的联合分布为 01-1000101 (2) 由(1)知.3. 张老师和学生定于本周星期三下午4点至5点在教学办公室答疑，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率. 2060 x o y6020图3-7 两人有机会相遇的示意图 解 记张老师和学生到达办公室的时间分别为4点分与4点分. 依题可假定服从区域上的均匀分布，其联合概率密度为“二人能会面”这一事件（图3-7中所示阴影部分）可表示为，于是 4设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）关于、的边缘概率密度； （2）. 解 （1）当时，有； 当时，有.所以关于的边缘概率密度为 同理当时，有；当时，有. 所以关于的边缘概率密度为（2） .习题 3.2（B）1. 设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，试求（用标准正态分布函数表示）.解 当时，故，当时，有，即2. 随机变量X ,Y独立同分布，且X的分布函数为，求随机变量的分布函数.解 因为X ,Y 独立同分布，故3. 设随机变量 X 与Y 相互独立，X 的概率分布，Y的概率密度记，求（1）； （2）Z 的概率密度.解 (1) 因为X 与Y 相互独立，故(2) 当时，；当时，当时，； 当时，当时，.故Z的概率密度为.4. 设二维随机向量的联合概率密度 求：（1）； (2) 的概率密度.解 （1）（2）当时，故=0当时，故当时，故 当时，故. 综上可知5设随机变量的概率密度，令为二维随机向量的分布函数. 求：(1)的概率密度； (2) .解 (1)由知：当时，；当时，；当时，；当时，. 故（2）6设二维随机向量（）的概率分布 1 01 1 0 0.2 0 0.1 0.2 1 0 0.1 其中为常数，且，记，求：(1) 的值；(2) 的概率分布；(3) .解 （1）由，解得.（2）的所有可能取值为-2，-1，0，1，2（3）7. 设二维随机向量的联合概率分布 0100.410.1已知随机事件与相互独立，求常数解 由，及独立性可知又根据，解方程组得8设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_.解 .9设二维随机变量的概率密度，求：(1) 的边缘概率密度；(2) 的概率密度；(3) 解 (1) ，(2) . 当时，故=0；当时，故；当时，故=0. 于是（）10. 设随机变量与独立，其中的概率分布，而的概率密度为，求随机变量的概率密度.解 设是的分布函数，则由全概率公式知的分布函数为由于与独立，可见由此得的概率密度 11设是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（A）必为某一随机变量的概率密度；（B）必为某一随机变量的概率密度；（C）必为某一随机变量的分布函数；（D）必为某一随机变量的分布函数. 解 =1，故既满足非负性又满足正则性，故选（D），其余三个均不满足正则性.12.假设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量 试求：（1）和的联合概率分布；（2）解 （1）， ， 故和的联合概率分布为 -11-101（2）， ，故.习题3.3（B）1. 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为 (A) (B) (C) (D) 解 因为随机变量服从二维正态分布，故与不相关等价于与独立，故.2. 设二维随机变量的联合概率密度，求条件概率.解 3. 设二维随机向量的联合密度函数，求常数及条件密度函数.解 方法1 由概率密度函数的性质可知故. 的边缘概率密度为则,.方法2 由得令解得，则故 .4. 设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求:(1) 随机变量和的联合概率密度；(2) 的概率密度；(3) 概率解 （1）由题意知，故（2）当时，；（3）.三.考研连线1基础题题型1 考察条件概率的定义例1 设随机变量服从二维正态，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为(A) (B) (C) (D) 分析 由于服从二维正态，且与不相关，所以与相互独立，从而.本题主要考查了二维正态分布的不相关性与独立性的等价关系，属于最基本的内容. 解 选（A）.因为二维正态的不相关等价于独立，所以条件概率等于非条件概率。题型2 考察随机变量函数的分布及条件概率例2 设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3分析 首先需求出分布函数，因为在求解过程中会涉及离散、连续随机变量混合的情况，通常这类问题会用到条件概率和乘法公式，知道其切入点就容易求解. 解 因为与相互独立，当时，当时，有故只有一个间断点，选(B).题型3 考察边缘密度函数及边缘分布函数的求法例3 设二维随机变量的概率密度为,求（1）条件概率密度 （2）条件概率分析 求边缘密度函数时，要注意积分限的选择. 解 （1） 当时，当时， 当时，. 故 ，故.四.探究与应用汽车保险的理赔问题 “天有不测风云，人有祸福旦夕”，人不能掌握自己的命运，对自然规律的不可预见性是我们面临的一种无奈。当人们遇到不幸的事件时，终究会造成人身伤亡或者财产毁损的结果。面对生活中存在的各种各样的风险事件，保险是人们应对风险的一种有效方式，即人们可以通过进行风险转嫁并取得相应的保障。而随着我国车辆保有量的不断增加，汽车保险的理赔越来越成为大家关心的重要问题。下面就汽车保险理赔中的一些具体问题作一些具体探讨：（1）经调查发现，一项汽车保险，其理赔额（单位：千元）是一随机变量，且具有密度函数如果没有免赔额，此家保险公司每年的汽车理赔案件有10000宗，公司结果出现亏损，为此公司打算设置免赔额，初定为1000元，那么这样设置免赔额后，公司的理赔案件将会大约有多少宗？（2）保险公司的一项理赔损失具有密度函数而处理损失为x的一项理赔需要花费的时间（单位：月）服从区间上的均匀分布，以此计算处理一项理赔的时间在3个月以上的概率有多大？ （3）一项汽车保险规定，如果投保人是事故责任人，则保险公司将赔付投保人的车与另一辆涉案车的损失。若投保人的车与另一辆涉案车的赔付额（单位：万元）分别用和表示，又知服从上的均匀分布，而在已知的条件下，的条件密度为试讨论投保人为事故责任人时，赔付另一车主的金额超过0.5的概率？ 解 （1）首先计算理赔额超过1000元的概率其次，由于没有免赔额时，此家保险公司每年的汽车理赔案件有10000宗，因此当设置理赔额超过1000元时，原来10000宗理赔中能够获得理赔的案件数为 t3 t o242 t=2x图3-9 积分区域 t=x x3y242 t=2x图3-8 积分区域 t=x x t=x图3-8 积分区域 t=2x242o3（2）由于处理损失为x的一项理赔需要花费的时间（单位：月）服从区间上的均匀分布，所以从而由图3-8可知，因此 （3） 类似于（2）的计算方法，可求得投保人为事故责任人时，赔付另一车主的金额超过0.5的概率为0.875（读者自己讨论）.深入探究：学完第4章，读者可进一步研究如何计算车辆保险理赔中平均出险次数、平均理赔额、平均理赔时间？如何科学合理地设计一项汽车保险产品？走进数学蒙特卡罗方法简介 蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯诺伊曼首先提出。数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国数学家布丰（Georges Louis Leclere de Buffon，17071788）提出用投针实验的方法求圆周率。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。以下是对布丰投针试验的详细介绍。公元1777年的一天，法国科学家D布丰（Dbuffon17071788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的. 试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线. 接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平