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第5章不定积分 5 1原函数与不定积分的概念一 原函数与不定积分通过对求导和微分的学习 我们可以从一个函数y f x 出发 去求它的导数f x 那么 我们能不能从一个函数的导数f x 出发 反过来去求它是哪一个函数 原函数 的导数呢 定义 已知f x 是定义在某区间上的一个函数 如果存在函数F x 使得在该区间上的任何一点x处都有F x f x 那么称函数F x 为函数f x 在该区间上的一个原函数 例1求下列函数的一个原函数 f x 2x f x cosx解 x2 2x x2是函数2x的一个原函数 sinx cosx sinx是函数cosx的一个原函数这里为什么要强调是一个原函数呢 因为一个函数的原函数不是唯一的 例如在上面的 中 还有 x2 1 2x x2 1 2x所以x2 x2 1 x2 1 x2 C C为任意常数 都是函数f x 2x的原函数 定理5 1 设F x 是函数f x 在区间I上的一个原函数 C是一个任意常数 那么 F x C也是f x 在该区间I上的原函数 f x 该在区间I上的全体原函数可以表示为F x C证明 F X C F x C f x F x C也是f x 的原函数 略 这说明函数f x 如果有一个原函数F x 那么它就有无穷多个原函数 它们都可以表示为F x C的形式 定义5 2 函数f x 的全体原函数叫做函数f x 的不定积分 记作 f x dx 其中 叫做积分号 f x 叫做被积函数 x叫做积分变量 求函数f x 的不定积分就是求它的全体原函数 因此 f x dx F x C其中C是任意常数 叫做积分常数 例2求下列不定积分 x5dx sinxdx解 是x5的一个原函数 cosx是sinx的一个原函数 二 不定积分的几何意义设F x 是函数f x 的一个原函数 则曲线y F x 称为f x 的一条积分曲线 曲线y F x C表示把曲线y F x 上下平移所得到的曲线族 因此 不定积分的几何意义是指由f x 的全体积分曲线组成的积分曲线族 例4求斜率为2x且经过点 1 0 的曲线 解 设所求曲线为y f x 则f x 2x 故y x2 C 曲线过点 1 0 以x 1 y 0代入得0 12 C 解得C 1 因此 所求曲线为y x2 1 三 基本积分公式由于积分运算是求导运算的逆运算 所以由基本求导公式反推 可得基本积分公式 dx x C x dx 1 exdx ex C sinxdx cosx C cosxdx sinx C sec2xdx tanx C csc2xdx cotx C 说明 冪函数的积分结果可以这样求 先将被积函数的指数加1 再把指数的倒数放在前面做系数 注意 不能认为arcsinx arccosx 他们之间的关系是arcsinx 2 arccosx 四 不定积分的性质 f x dx f x 该性质表明 如果函数f x 先求不定积分再求导 所得结果仍为f x F x dx F x C该性质表明 如果函数F x 先求导再求不定积分 所得结果与F x 相差一个常数C kf x dx k f x dx k为常数 该性质表明 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的前面 f x g x dx f x dx g x dx该性质表明 两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差 五 基本积分公式的应用例7求 9x2 8x dx解 9x2 8x dx 9x2dx 8xdx 3 3x2dx 4 2xdx 3x3 4x2 C例11求 3xexdx 5 2不定积分的计算一 直接积分法对被积函数进行简单的恒等变形后直接用不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定积分的方法称为直接积分法 运用直接积分法可以求出一些简单函数的不定积分 一 第一换元法 凑微分法 如果被积函数的自变量与积分变量不相同 就不能用直接积分法 例如求 cos2xdx 被积函数的自变量是2x 积分变量是x 这时 我们可以设被积函数的自变量为u 如果能从被积式中分离出一个因子u x 来 那么根据 f u u x dx f u du F u C就可以求出不定积分 这种积分方法叫做凑微分法 讲解例题 例2求 2sin2xdx解 设u 2x 则du 2dx 2sin2xdx sin2x 2dx sinudu cosu C cos2x C注意 最后结果中不能有u 一定要还原成x 解 设u x2 1 则du 2xdx 解 设u x2 则du 2xdx设u cosx 则du sinxdx 当计算熟练后 换元的过程可以省去不写 例求 sin3xcosxdx解 sin3xcosxdx sin3xd sinx sin4x C 二 第二换元积分法例如 求 把其中最难处理的部分换元 令则原式 再反解x u2 1 得dx 2udu 代入这就是第二换元积分法 1 如果被积函数含有 可以用x asint换元 2 如果被积函数含有 可以用x atant换元 3 如果被积函数含有 可以用x asect换元 以下结果可以作为公式使用 tanxdx ln secx C cotdx ln cscx C secxdx ln secx tanx C cscxdx ln cscx cotx C 5 3分部积分法一 分部积分公式考察函数乘积的求导法则 u x v x u x v x u x v x 两边积分得u x v x u x v x dx u x v x dx于是有 u x v x dx u x v x u x v x dx或表示成 u x dv x u x v x v x du x 这一公式称为分部积分公式 二 讲解例题例1求 xexdx解 令u x x v x ex则原式为 u x v x dx的形式 ex ex v x ex 由分部积分公式有 xexdx x ex exdx xex ex C例2求 xcos2xdx解 令u x x v x cos2x 则v x sin2x于是 xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsin2x cos2x C 有时 用分部积分法求不定积分需要连续使用几次分部积分公式才可以求出结果 例5 求 x2e 2xdx解 令u x x2 v x e 2x 则v x 于是 由此可见 作一次分部积分后 被积函数中幂函数的次数可以降低一次 如果所得到的积分式还需要用分部积分法解 那么 可以再用分部积分公式做下去 为了简化运算过程 下面介绍 三 分部积分法的列表解法例如 求 x2sinxdxx2sinx求导 积分2x cosx x2sinxdx x2cosx 2x cosx dx 分部积分法的列表解法 例如 求 x2sinxdxx2sinx 求导 积分 2x cosx x2sinxdx x2cosx 2xcosxdx x2cosx 2xsinx 2sinxdx 求导 积分 sinx x2cosx 2xsinx 2cosx C 求导 积分 cosx 例4 求 xlnxdxxlnx求导 积分1 这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去 把lnx放在左边用分部积分法解 lnxx求导 积分 一般原则 对数函数 反三角函数 幂函数应放在左边 指数函数 三角函数应放在右边 有些单独一个函数的不定积分也要用分部积分法解 例3 求 lnxdxlnx1求导 积分 x xlnx dx xlnx x C 例6求 arcsinxdxarcsinx1求导 积分 x例71求导 积分x 例8求 exsin3xdx解 exsin3xdx exsin3x 3 excos3xdx exsin3x 3excos3x 9 exsin3xdx移项得 exsin3xdx ex si3nx 3cos3x C5 4有理函数积分法一 有理函数的定义有理函数是指分子 分母都是多项式的分式函数 形如 二 真分式的部分分式分解设分子的次数为n 分母的次数为m 当n m时 该分式称为真分式 当n m时 该分式称为假分式 假分式可以写成多项式与真分式的和 这里主要讲解真分式的部分分式分解 例分解成部分分式解 因为分母含有 x 1 的三重因式 所以设 等式右边通分后得比较等式两边分子各项的系数得 1解得 1 3 2 0 23 0 1 1 2这种方法称为待定系数法 几种简单分式的积分法一 二 1 当分子不含一次项时因为分母中p2 4q 0 所以分母可以配方成 x m 2 n2 再进一步 还可以化成 2 当分子含有一次项时 可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分 三 分母可以因式分解的有理函数1 若被积函数是假分式