6讲分布函数及概率密度.ppt

概率论与数理统计第六讲 主讲教师 张冬梅博士副教授 浙江工业大学理学院 2 3随机变量及其分布 随机变量的分布函数 概率密度 几种常见连续型随机变量分布 2 3 1随机变量的分布函数 定义1 设X 是一个随机变量 称函数F x P X x x 为随机变量X的分布函数 性质 1 a b 总有F a F b 单调非减性 2 F x 是一个右连续函数 3 x R 总有0 F x 1 有界性 且 证明 仅证 1 因 a X b X b X a P a X b P X b P X a F b F a 又 因P a X b 0 故F a F b 注意 一个重要公式 P a X b F b F a 即随机变量落在区间 a b 上的概率可以通过分布函数来计算 设离散型随机变量X的概率分布为pk P X xk k 1 2 X的分布函数为 离散型随机变量的分布函数 X的分布函数为 例 故离散型随机变量的分布函数F x 在X xk k 1 2 处有跳跃值pk P X xk 如下图所示 连续型随机变量所有可能取值充满若干个区间 可用 概率分布函数 和 概率密度函数 表示随机变量的概率分布 2 3 2连续型随机变量的概率密度 概率密度函数 定义1 若存在非负可积函数f x 使随机变量X取值于任一区间 a b 的概率可表示成 则称X为连续型随机变量 f x 为X的概率密度函数 简称概率密度或密度 这两条性质是判定函数f x 是否为概率密度函数的充要条件 概率密度函数的性质 f x 与x轴所围面积等于1 3 对f x 的进一步理解 X的概率密度函数f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间 x x x 上的概率与区间长度 x之比的极限 如果把概率理解为质量 f x 相当于物理学中的线密度 注意 概率密度函数f x 在点a处取值 不是事件 X a 的概率 但是 该值越大 X在a点附近取值的概率越大 若不计高阶无穷小 有 表示随机变量X取值于 x x x 上的概率近似等于f x x f x x在连续型随机变量中所起的作用与pk P X xk 在离散型随机变量中所起的作用类似 4 约定 连续型随机变量取任意指定值的概率为0 即 因为 由此得 对连续型随机变量X 有 由P X a 0 可推出 而 X a 并非不可能事件 可见 由P A 0 不能推出A 并非必然事件 由P B 1 不能推出B 分布函数与概率密度函数之间的关系 2 3 3常见的连续型随机变量 正态分布 均匀分布 指数分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布是十九世纪初 由高斯 Gauss 给出并推广的一种分布 高斯分布 1 正态分布 红色曲线近似于正态分布的概率密度曲线 I 正态分布的定义 定义 若随机变量X的概率密度函数为 记作 f x 所确定的曲线叫作正态曲线 Normal 其中 和 都是常数 任意 0 则称X服从参数为 和 的正态分布 II 正态分布的图形特点 特点 两头低 中间高 左右对称 关于X 对称的钟形曲线 并在x 处达到最大值 正态分布的图形特点 决定了图形的中心位置 决定了图形峰的陡峭程度 这说明 曲线f x 向左右伸展时 越来越贴近x轴 即f x 以x轴为渐近线 当x 时 f x 0 求导的方法可以证明 为f x 的两个拐点的横坐标 x III 正态分布的分布函数 IV 标准正态分布 称N 0 1 为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用来表示 附录 依据 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 根据定理1 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 定理1 附录 P289 附有标准正态分布函数数值表 可以解决一般正态分布的概率计算问题 V 正态分布表 表中给出的是x 0时 x 的取值 若X N 0 1 服从N 0 1 解 设车门高度为h 按设计要求 P X h 0 01 或P X h 0 99 求满足上式的最小的h 例1 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设某地区成年男性身高 单位 cm X N 170 7 692 问车门高度应如何确定 因为X N 170 7 692 求满足P X h 0 99的最小h 故 当汽车门高度为188厘米时 可使男子与车门碰头机会不超过0 01 若随机变量X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 X U a b 2 均匀分布 Uniform 注 也记作X U a b 若X U a b 则对于满足a c d b的c和d 总有 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命服从指数分布 定义 若随机变量X具有概率密度 3 指数分布 则称X服从参数为 的指数分布 记成X E 例2 设某电子管的使用寿命X 单位 小时 服从参数 0 0002的指数分布 求电子管使用寿命超过3000小时的概率 解 2 3 4连续型随机变量的分布函数 即分布函数是密度函数的变上限积分 由上式 得 在f x 的连续点 有 回忆 若X是连续型随机变量 f x 是X的密度函数 F x 是分布函数 则对任意x R 总有 求连续型随机变量的分布函数 解 求F x 对x 1 有F x 0 对x 1 有F x 1 即 思考 均匀分布的分布函数是什么 随机变量的分布函数