高中数学圆锥曲线完全归纳题型.pdf

选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 第二节第二节第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线 第一部分第一部分第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃五年高考荟萃五年高考荟萃 2009200920092009 年高考题年高考题年高考题年高考题 2009200920092009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线 一一一一 选择题选择题选择题选择题 1 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x 2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 答案 C 2 2009全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭 圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 答案 A 3 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 A 2 B 3 C 5 D 10 解 析 对 于 0A a 则 直 线 方 程 为0 xya 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 答案 C 4 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且BFx 轴 直 线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 解析 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace 答案 D 5 2009 北京理 点P在直线 1l yx 上 若存在过P的直线交抛物线 2 yx 于 A B两点 且 PAAB 则称 点P为 点 那么下列结论中正确的是 A 直线l上的所有点都是 点 B 直线l上仅有有限个点是 点 C 直线l上的所有点都不是 点 D 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 解析解析解析解析 本题主要考查阅读与理解 信息迁移以及学生的学习潜力 考查学生分析问题和解决问题的能力 属于创新 题型 本题采作数形结合法易于求解 如图 设 1A m nP x x 则 2 22Bmxnx 2 A Byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 消去 n 整理得关于 x 的方程 22 41 210 xmxm 1 222 41 4 21 8850mmmm 恒成立 方程 1 恒有实数解 应选 A 答案答案答案答案 A 6 2009 山东卷理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置关系 只有一个公共点 则解 方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 7 2009 山东卷文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为2 4 a yx 它与y轴的交点为 A 0 2 a 所以 OAF 的面积为 1 4 2 42 aa 解得8a 所以抛物线方程为 2 8yx 故选 B 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算 考查数形结合的数 学思想 其中还隐含着分类讨论的思想 因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化 有两种情况 这里加绝对值号可以做到合二为一 8 2009 全国卷 文 双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆 0 3 222 rryx相切 则 r A 3 B 2 C 3 D 6 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解析 本题考查双曲线性质及圆的切线知识 由圆心到渐近线的距离等于 r 可求 r 3 答案 A 9 2009 全国卷 文 已知直线 0 2 kxky与抛物线 C xy8 2 相交 A B 两点 F 为 C 的焦点 若FBFA2 则 k 3 1 3 2 3 2 3 22 解析 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 2 0 由2FAFB 及第二定义知 2 22 BA xx联立方程用根与系数关系可求 k 2 2 3 答案 D 1 2009 安徽卷理 下列曲线中离心率为 6 2 的是 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 答案 11 2009 福建卷文 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参照选项知而应选 D 答案 D 12 2009 安徽卷文 下列曲线中离心率为的 是 A B C D 解析 依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得 6 2 c e a 选 B 答案 B 13 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三 个顶点 则双曲线的离心率为 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 答案 B 14 2009 江西卷理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 解析 因为 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 故选 B 答案 B 15 2009 天津卷文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐近线方程为 xx a b y 2 2 答案 C 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推理能力 16 2009 湖北卷理 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线2ykx 与椭圆至多有一个交 点的充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得A 答案 A 17 2009四川卷文 理 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 答案 C 18 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点P 2 0 如图过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点B为AP的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点B的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选D 答案 D 19 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率为3的直线交C于AB 两点 若4AFFB 则C的离心率为 A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解析 设双曲线 22 22 1 xy C ab 的右准线为l 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N BDAMD 于 由直线 AB的斜率为3 知直线AB的倾斜角 1 6060 2 BADADAB 由双曲线的第二定义有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 答案 A 20 2009湖南卷文 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 答案 B 21 2009 宁夏海南卷理 双曲线 2 4 x 2 12 y 1的焦点到渐近线的距离为 A 2 3 B 2 C 3 D 1 解析 双曲线 2 4 x 2 12 y 1的焦点 4 0 到渐近线3yx 的距离为 340 2 3 2 d 答案 A 22 2009陕西卷文 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦点在y轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 将方程 22 1mxny 转化为 22 1 11 xy mn 根据椭圆的定义 要使焦点在y轴上必须满足 11 0 0 mn 所以 11 nm 答案 C 23 2009 全国卷 文 设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的渐近线与抛物线 2 1y x 相切 则该双曲线的离心率等 于 A 3 B 2 C 5 D 6 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解 析 由 题 双 曲 线 22 22 00 xy ab ab 1 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 a bx y 代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得 0 2 abxax 因渐近线与抛物线相切 所以04 22 ab 即55 22 eac 故选择C 答案 C 24 2009湖北卷文 已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆 b 0 的焦点 则b A 3 B 5 C 3 D 2 解析 可得双曲线的准线为 2 1 a x c 又因为椭圆焦点为 2 4 0 b 所以有 2 41b 即b 2 3 故 b 3 故 C 答案 C 27 2009天津卷理 设抛物线 2 y 2x的焦点为F 过点M 3 0 的直线与抛物线相交于A B两点 与抛物线的 准线相交于C BF 2 则 BCF与 ACF的面积之比 BCF ACF S S A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 4 2 2 5 x 0 5 A B F C 解析 由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 又3 2 3 2 2 1 BBB yxxBF 由A B M三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x 故2 A x 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S 故选择A 答案 A 28 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动点P到直线 1 l和直线 2 l的 距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 考点定位 本小题考查抛物线的定义 点到直线的距离 综合题 解析1 直线 2 1lx 为抛物线 2 4yx 的准线 由抛物线的定义知 P到 2 l的距离等于P到抛物线的焦点 0 1 F 的距离 故本题化为在抛物线 2 4yx 上找一个点P使得P到点 0 1 F和直线 2 l的距离之和最小 最小值为 0 1 F到 直线 1 4 360lxy 的距离 即2 5 604 min d 故选择A 解析2 如图 由题意可知 22 3 1 06 2 34 d 答案 A 二 填空题 29 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线C的顶点在坐标原点 焦点为F 1 0 直 线l与抛物线C相交于A B两点 若AB的中点为 2 2 则 直 线l的 方 程 为 解析 抛物线的方程为 2 4yx 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有 两式相减得 直线l的方程为y 2 x 2 即y x 答案 y x 30 2009重庆卷文 理 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在一 点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 解析1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解析2 由解析1知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析1 答案 21 1 31 2009北京文 理 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点P在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小为 解析解析解析解析 本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦定理 属于基础知识 基本运算的 考查 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故应填2 120 32 2009广东卷理 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且G上一点到G的两个焦点 的距离之和为12 则椭圆G的方程为 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 答案 1 936 22 yx 33 2009四川卷文 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 解析 焦点F 1 0 准线方程1 x 焦点到准线的距离是 2 答案 2 34 2009湖南卷文 过双曲线C 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的一个焦点作圆 222 xya 的两条切线 切点分别为A B 若120AOB O是坐标原点 则双曲线线C的离心率为 解析 12060302AOBAOFAFOca 2 c e a 答案 2 35 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点F作倾斜角为45 的直线交抛物线于A B两点 若线段AB的 长为8 则p 解 析 由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 2 p yx 联 立 有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 答案 2 36 2009辽宁卷理 以知F是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的动点 则PFPA 的最小 值为 解析 注意到P点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当A P F 三点共线时等号成立 答案 9 37 2009 宁夏海南卷文 已知抛物线C的顶点坐标为原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线C交于A B两点 若 2 2P为AB的中点 则抛物线C的方程为 解析 设抛物线为y2 kx 与y x联立方程组 消去y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 答案 2 4yx 38 2009湖南卷理 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个内角为60 o 则双曲线C 的离心率为 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角分别是 b c b是虚半轴长 c 是焦半距 且一个内角是30 即得tan30 b c 所以3cb 所以2ab 离心率 36 22 c e a 答案 6 2 39 2009年上海卷理 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得4c2 36 4a2 即a2 c2 9 故有b 3 答案 3 三三三三 解答题解答题解答题解答题 40 2009 年广东卷文 本小题满分14分 已知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭圆G上一点到 1 F和 2 F的距离之 和为12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圆心为点 k A 1 求椭圆G的方程 2 求 21F FAk 的面积 3 问是否存在圆 k C包围椭圆G 请说明理由 解解解解 1 设椭圆G的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为c 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求椭圆G的方程为 22 1 369 xy 2 点 K A的坐标为 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF 3 若0k 由012152101206 22 可知点 6 0 在圆 k C外 若0k 的右顶点为 1 0 A 过 1 C的焦点且垂直长轴的弦长为1 I 求椭圆 1 C的方程 II 设点P在抛物线 2 C 2 yxh h R上 2 C在点P处的切线与 1 C交于点 M N 当线段AP的中点与MN 的中点的横坐标相等时 求h的最小值 解解解解 I 由题意得 2 1 2 1 21 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x II 不妨设 2 1122 M x yN xyP t th 则抛物线 2 C在点P处的切线斜率为2 x t yt 直线MN的方程为 2 2ytxth 将 上 式 代 入 椭 圆 1 C的 方 程 中 得 222 4 2 40 xtxth 即 22222 4 14 40txt th xth 因 为 直 线MN与 椭 圆 1 C有 两 个 不 同 的 交 点 所 以 有 422 1 162 2 40thth 设线段MN的中点的横坐标是 3 x 则 2 12 3 2 22 1 xxt th x t 设 线 段PA的 中 点 的 横 坐 标 是 4 x 则 4 1 2 t x 由 题 意 得 34 xx 即 有 2 1 10th t 其 中 的 2 2 1 40 1hh 或3h 当3h 时有 2 20 40hh 不成立 因此1h 当1h 时 代入方程 2 1 10th t 得1t 将1 1ht 代入不等式 422 1 162 2 40thth 成立 因此h 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 的最小值为1 42 2009浙江文 本题满分15分 已知抛物线C 2 2 0 xpy p 上一点 4 A m到其焦点的距离为17 4 I 求p与m的值 II 设抛物线C上一点P的横坐标为 0 t t 过P的直线交C于另一点Q 交x轴于点M 过点Q作PQ的垂线 交C于另一点N 若MN是C的切线 求t的最小值 解解解解 由抛物线方程得其准线方程 2 p y 根据抛物线定义 点 4 mA到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 17 2 4 p 解得 2 1 p 抛物线方程为 yx 2 将 4 mA代入抛物线方程 解得2 m 由题意知 过点 2 ttP的直线PQ斜率存在且不为0 设其为k 则 2 txktylPQ 当 0 2 k ktt xy 则 0 2 k ktt M 联立方程 yx txkty 2 2 整理得 0 2 tktkxx 即 0 tkxtx 解得 tx 或tkx 2 tktkQ 而QPQN 直线NQ斜率为 k 1 1 2 tkx k tkylNQ 联立方程 yx tkx k tky 2 2 1 整理得 0 11 22 tktk k x k x 即 0 1 2 tkktkxkx 0 1 tkxtkkkx 解得 k tkk x 1 或tkx 1 1 2 2 k tkk k tkk N 1 1 1 1 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk KNM 而抛物线在点N处切线斜率 k tkk yk k tkk x 2 2 1 切 MN是抛物线的切线 k tkk ktk ktk2 2 1 1 22 22 整理得021 22 ttkk 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 0 21 4 22 tt 解得 3 2 t 舍去 或 3 2 t 3 2 min t 43 2009北京文 本小题共14分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线C的方程 已知直线0 xym 与双曲线C交于不同的两点A B 且线段AB的中点在圆 22 5xy 上 求m的值 解解解解析析析析 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 解解解解 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 设A B两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段AB的中点为 00 M xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判别式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点 00 M xy在圆 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 44 2009北京理 本小题共14分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线C的方程 设直线l是圆 22 2O xy 上动点 0000 0 P xyx y 处的切线 l与双曲线C交于不同的两点 A B 证明 AOB 的大小为定值 解法解法解法解法 1 1 1 1 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切线l与双曲线C交于不同的两点A B 且 2 0 02x 设A B两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx cos OA OB AOB OA OB 且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 的大小为90 解法解法解法解法 2 2 2 2 同解法1 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线l与双曲线C交于不同的两点A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 设A B两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 1212 0OA OBx xy y AOB 的大小为90 22 00 2xy 且 00 0 x y 22 00 02 02xy 的直线交抛物线C于D E两点 ME 2DM 记D和E两点间的距 离为 f m 求 f m关于m的表达式 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 46 2009 山东卷理 本小题满分14分 设椭圆E 22 22 1 xy ab a b 0 过M 2 2 N 6 1 两点 O为坐标原点 I 求椭圆E的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A B 且OAOB 若存在 写出该 圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆E 22 22 1 xy ab a b 0 过M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆E的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A B 且OAOB 设该圆的切线方程 为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因为直线ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径 为 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圆为 22 8 3 xy 此时圆的切线ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为 2 6 3 x 与 椭 圆 22 1 84 xy 的 两 个 交 点 为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy 使得该圆的任意一条切线 与椭圆E恒有两个交点A B 且OAOB 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 当0k 时 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 所以 4 6 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取 当0k 时 4 6 3 AB 当AB的斜率不存在时 两个交点为 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此时 4 6 3 AB 综上 AB 的取值范围为 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命题立意 本题属于探究是否存在的问题 主要考查了椭圆的标准方程的确定 直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置 关系和待定系数法求方程的方法 能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系 47 2009 山东卷文 本小题满分14分 设mR 在平面直角坐标系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 动点 M x y的轨迹为E 1 求轨迹E的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 4 1 m 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A B 且OAOB O为坐 标原点 并求出该圆的方程 3 已知 4 1 m 设直线l与圆C 222 xyR 1 Rm且1 m时 方程表示的是椭圆 当0 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因为直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圆为 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为5 5 2 x 与 2 2 1 4 x y 交于点 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也满足OAOB 综上 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A B 且OAOB 3 当 4 1 m时 轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y 设直线l的方程为ykxt 因为直线l与圆C 222 xyR 1 R ba b y a x 3 3 2 2 求a b的值 C上是否存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有 成立 若存在 求出所有的P的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 解析解析解析解析 本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力 第惊问直接运用点到直线的距离公式惣及椭圆有关关系式计 算 第二问利用向量坐标关系及方程的思想 借助根与系数关系解决问题 注惱特殊情况的处理 解解解解 设 0 cF 当l的斜率为1时 其方程为Ocyx 0 到l的距离为 22 00 c c 故 2 2 2 c 1 c 由 3 3 a c e 得 3 a 22 cab 2 C上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有OBOAOP 成立 由 知C的方程为 2 2x 2 3y 6 设 2211 yxByxA 1 xkylxl的方程为轴时 设不垂直当 C OBOAOPP 使上的点成立的充要条件是 点的坐标为 2121 yyxxP 且6 3 2 2 21 2 21 yyxx 已知椭圆C 的离心率为 过右焦点F的直线l与C相交于A B 两点 当l的斜率为1时 坐标原点O到l的距离为 OBOAOP 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 整理得 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyxxyxyx 632 632 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxCBA上 即在 又 故 0332 2121 yyxx 将 并化简得代入 632 1 22 yxxky 0636 32 2222 kxkxk 于是 2 2 21 32 6 k k xx 21x x 2 2 32 63 k k 2 2 21 2 21 32 4 2 1 k k xxkyy 代入 解得 2 2 k 此时 2 3 21 xx 于是 2 2121 xxkyy 2 k 即 2 2 3 k P 因此 当2 k时 2 2 2 3 P 022 yxl的方程为 当2 k时 2 2 2 3 P 022 yxl的方程为 当l垂直于x轴时 由 0 2 OBOA知 C上不存在点P使OBOAOP 成立 综上 C上存在点 2 2 2 3 P使OBOAOP 成立 此时l的方程为022 yx 49 2009广东卷理 本小题满分14分 已知曲线 2 C yx 与直线 20l xy 交于两点 AA A xy和 BB B xy 且 AB xx 记曲线C在点A和点B之 间那一段L与线段AB所围成的平面区域 含边界 为D 设点 P s t是L上的任一点 且点P与点A和点B均不 重合 1 若点Q是线段AB的中点 试求线段PQ的中点M的轨迹方程 2 若曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与D有公共点 试求a的最小值 解解解解 1 联立 2 xy 与2 xy得2 1 BA xx 则AB中点 2 5 2 1 Q 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 设线段PQ的中点M坐标为 yx 则 2 2 5 2 2 1 t y s x 即 2 5 2 2 1 2 ytxs 又点P在曲线C上 2 2 1 2 2 5 2 xy化简可得 8 11 2 xxy 又点P是L上的任一点 且不与点A和点B重合 则2 2 1 21 x 即 4 5 4 1 x 中点M的轨迹方程为 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 2 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 即圆E 25 49 2 22 yax 其圆心坐标为 2 aE 半径 5 7 r 由图可知 当20 a时 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与点D有公共点 当0 a时 要使曲线 222 51 240 25 G xaxyya 与点D有公共点 只需圆心E到直线 20l xy 的距 离 5 7 2 2 22 aa d 得0 5 27 上 00 cos sin 0 2 xayb 直线 2 l与直线 00 1 22 1 xy lxy ab 垂直 O为坐标原点 直线OP的倾斜角为 直线 2 l的倾斜角为 I 证明 点P是椭圆 22 22 1 xy ab 与直线 1 l的唯一交点 II 证明 tan tan tan 构成等比数列 解析解析解析解析 本小题主悹考查直线和椭圆的标准方程和参数方程 直线和曲线的几何性质 等比数列等基础知识 考查综合 运用知识分析问题 解决问题的能力 本小题满分 13 分 证明证明证明证明 I 方法一 由 00 22 1 xy xy ab 得 2 2 0 2 0 b yax x a y 代入椭圆 22 22 1 xy ab x y o xA xB D 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 得 2222 2 00 24222 000 21 1 0 b xb xb xx aa ya yy 将 0 0 cos sin xa yb 代入上式 得 222 2 coscos0 xaxa 从而cos xa 因此 方程组 22 22 00 22 1 1 xy ab xy xy ab 有唯一解 0 0 xx yy 即直线 1 l与椭圆有唯一交点P 方法二 显然P是椭圆与 1 l的交点 若Q 111 cos sin 02ab ba 的两个焦点分别为 0 0 0 21 ccFcF 过点 0 2 c a E的直线与椭圆相交于 点A B两点 且 2 2121 BFAFBFAF 求椭圆的离心率 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 直线AB的斜率 设点C与点A关于坐标原点对称 直线BF2上有一点H m n 0 m 在CAF1 的外接圆上 求 m n 的值 解解解解 1 由 2121 BFAFBFAF 得 2 1 1 2 1 2 AF BF EF EF 从而 2 1 2 2 c c a c c a 整理得 22 3ca 故离心率 3 3 a c e 2 由 1 知 2222 2ccab 所以椭圆的方程可以写为 222 632cyx 设直线AB的方程为 2 c a xky 即 3 cxky 由已知设 2211 yxByxA则它们的坐标满足方程组 222 632 3 cyx cxky 消去y整理 得062718 32 222222 cckcxkxk 依题意 3 3 3 3 0 31 48 22 kkc 而 2 222 21 2 2 21 32 627 32 18 k cck xx k k xx 有题设知 点B为线段AE的中点 所以 21 23xcx 联立三式 解得 2 222 2 2 2 1 32 29 32 29 k cck x k cck x 将结果代入韦达定理中解得 3 2 k 3 由 2 知 2 3 0 21 c xx 当 3 2 k时 得A 2 0 c由已知得 2 0 cC 线段 1 AF的垂直平分线l的方程为 2 2 2 2 2c x c y 直线l与x轴的交点 0 2 c是CAF1 的外接圆的圆心 因 此外接圆的方程为 222 2 2 c c y c x 直线BF2的方程为 2cxy 于是点 nmH满足方程组 2 4 9 2 2 22 cmn c n c m 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 由0 m 解得 2 22 3 5c n c m 故 5 22 m n 当 3 2 k时 同理可得 5 22 m n 54 2009 湖北卷理 本小题满分14分 过抛物线 2 2 0 ypx p 的对称轴上一点 00A aa 的直线与抛物线相交于M N两点 自M N向直线 l xa 作垂线 垂足分别为 1 M 1 N 当 2 p a 时 求证 1 AM 1 AN 记 1 AMM 11 AM N 1 ANN 的面积分别为 1 S 2 S 3 S 是否存在 使得对任意的0a 都有 2 212 SS S 成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 解解解解 依题意 可设直线MN的方程为 1122 xmya M x yN x