利用三角函数公式求值.doc

潮阳一中明光学校文科数学学案 张盛武利用三角函数公式求值求值中主要有三类求值问题：（选用公式求值时，要有变角意识：把目标角转化为已知角或特殊角（即把目标角用已知角或特殊角的和、差、倍表示）(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.（1） 知识回顾：1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.2.诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限3.和角、差角公式cos()cos cos sin sin cos()sin()sin()tan()tan() 4.二倍角公式sin 2_；cos 2_；tan 2_.（2） 例题讲解题型一、利用同角三角函数关系求值1、知一可求二例1（1）若sin ，tan 0，则cos _.（2）(2010全国)已知是第二象限的角，tan ，则cos _.2、对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值例2、已知x0，sin xcos x.(1)求sin2xcos2x的值；(2)求的值解由sin xcos x得，12sin xcos x，则2sin xcos x.x0，sin x0，即sin xcos x0.则sin xcos x.(1)sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x).(2)由，得，则tan x.即.3、关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子.例3、已知tan 2，求（1）（2）（3）sin2sin cos 2cos2；变式1、(2011福建)若，且sin2cos 2，则tan 的值等于 ()A. B. C. D.题型二、利用诱导公式求值诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法1、 求特殊角的三角函数例1、（1）tan(1 560)_.（2）cos 300= 2、化简例2、(1)化简：；(2) 已知f(x)，求f的值.3、 给值求值例3、已知cos，求cos的值；变式1、已知cos，则sin_.题型三：利用和角、差角、倍角公式求值例1、求值：；变式1、_.例2、(2011广东)已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值.变式1、设sin ，tan()，则tan()_.变式2、(2011惠州月考)已知tan 、tan 是方程x23x40的两根，且、，则tan()_，的值为_例3、已知0，cos，sin，求sin()的值解：cossin，0，.cos，cos.sin()sinsincoscossin.sin().变式1、(2011广州模拟)已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)由tan2，得2，即1tan 22tan ，tan .(2)tan().题型四、求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.解这类问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角.例1、已知A、B均为钝角且sin A，sin B，求AB的值.解A、B均为钝角且sin A，sin B，cos A，cos B.cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.又A，B，AB2.由，知AB.变式1、已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值(1)tan ，sin sin2sin cos .(2)0，sin ，cos .又0，0.由cos()，得sin().sin sin()sin()cos cos()sin .由得.(或求cos ，得)（3） 巩固练习1、 同角三角函数基本关系1(2011荆州模拟)已知ABC中，则cos A等于 ()A.B.CD2已知tan ，且为第二象限角，则sin 的值等于 ()A.BC.D3(2010全国)记cos(80)k，那么tan 100等于 ()A.BC.D4(2009陕西)若3sin cos 0，则的值为 ()A. B.C. D25(2010福建龙岩一中高三第三次月考)是第一象限角，tan ，则sin 等于()A. B.C D6(2010全国)已知是第二象限的角，tan ，则cos _.7sin21sin22sin23sin289_.8(2010东北育才学校高三第一次模拟考试)若tan 2，则cos2_.9.已知sin cos ，且，则cos sin 的值是_.10.设，sin cos ，则tan _.11.已知，则的值是()A. B. C.2 D.212.若cos 2sin ，则tan 等于()A. B.2 C. D.213.当0x0，tan .方法二sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0且00，cos 0，sin cos ，由，得，tan .(2)，tan ，.16、(2011安阳模拟)已知ABC中，sin Acos A，(1)求sin Acos A；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值解(1)sin Acos A，两边平方得12sin Acos A，sin Acos A.(2)由(1)sin Acos A0，且0A，可知cos A0，cos A0，sin Acos A，由，得sin A，cos A，tan A.17(14分)(2011秦皇岛模拟)已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根(1)求cos3()sin3()的值；(2)求tan()的值解由已知原方程的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.(3分)又，(sin cos )212sin cos ，则a22a10，(6分)从而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.(8分)(1)cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.(11分)(2)tan()tan ()1.(14分)二、诱导公式1.sin cos tan的值是()A. B. C. D.2.cos(2 013)的值为 ()A. B.1 C. D.03(2010全国)cos 300等于 ()A BC. D.4cos()sin()的值是 ()A. BC0D.5.已知f()， 则f的值为 ()A. B. C. D.6._.7(2011许昌月考)已知f()，则f()的值为 ()A.BCD.8设f(x)asin(x)bcos(x)，其中a、b、都是非零实数，若f(2 002)1，则f(2 003)等于 ()A1B0C1D29、在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角解由已知得22得2cos2A1，即cos A.(1)当cos A时，cos B，又A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).(2)当cos A时，cos B.又A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上知，A，B，C.10(12分)已知f().(1)化简f()；(2)若是第三象限角，且cos()，求f()的值解(1)f()cos .(5分)(2)是第三象限角，且cos()sin ，sin ，(8分)cos ，f()cos .(12分)33.11、(12分)化简： (kZ) 解当k为偶数2n (nZ)时，原式1；(6分)当k为奇数2n1 (nZ)时，原式1.当kZ时，原式1.(12分)12、已知sin，则cos的值为_.13、已知cosa (|a|1)，则cossin的值是_.14、(2011清远月考)已知cos()，则sin()_.15、若sin，则cos等于()A. B. C. D.三、和角、差角、倍角1.设sin()，则sin 2等于 ()A. B. C. D.2.若sin，则cos的值为 ()A. B. C. D.3、(1)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值.4.已知sin ，则cos(2)等于 ()A. B. C. D.5.(2011浙江)若0，0，cos，cos，则cos等于 ()A. B. C. D.6.(2011江苏)已知tan2，则的值为_.7.sin ，cos ，其中，则_.8.已知tan()，tan，那么tan等于 ()A. B. C. D.9.已知cos，则_.10.已知cos ，cos()，且0，(1)求tan 2的值；(2)求.解(1)由cos ，0，得sin ，tan 4.于是tan 2.(2)由0，得0.又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin().11、(12分)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，且sin ，求sin 的值解(1)|ab|，a22abb2.2分又a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，a2b21，abcos cos sin sin cos()，4分故cos().6分(2)0，0.cos()，sin().8分又sin ，0，cos .9分故sin sin()sin()cos cos()sin .12分12(12分)(1)已知，且sin()，cos .求sin ；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值解(1)，cos ，sin .(2分)又0，又sin()，cos() ，(4分)sin sin()sin()cos cos()sin .(6分)(2)tan tan()，(8分)tan(2)t