第一节 映射与函数.doc

第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合1、集合、集合（简称集）：指具有某种特定性质的事物的总体.、元素（简称元）：指组成这个集合的事物.例如，一个书柜中的书 、一间教室里的学生 、全体实数.注、集合用大写的拉丁字母A,B,C表示.、元素用小写的拉丁字母a,b,c表示.、a属于A（aA）是指：a是集合A的元素 .a不属于A（aA或aA）是指：a不是集合A的元素.、有限集是指：一个集合只含有有限个元素 .无限集是指不是有限集的集合.、表示集合的方法：、列举法：把集合的全体元素一一列举出来表示.例如，由元素a ,a ,a 组合的集合的A，可表示成Aa ,a ,a .、描述法：若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可以表示示Mx|x具有性质P.例如，集合B的方程x10的解集，就可表示成Bx|x10.、数集的字母的右上角标上“*”：表示该数集内排除0的集.标上“+”：表示该数集内排除0与负数的集.注 习惯上，、全体非负整数（自然数）的集合，记作N；即N0,1,2,n,；、全体正整数集合为，N 1,2,3,n,.、全体整数的集合记作Z；即Z,n,2,1,0,1,2,n,.、全体有理数集合记作Q；即Q |pZ，qN且p与q互质.、全体实数的集合，记作R.、排除数0的实数集，记作R*.、全体正实数集，记作R.、A是B的子集（A B或B A）：指集合A的元素都是集合B的元素.、集合A与集合B相等（AB）：指集合A与集合B互为子集，即A B且B A.例如，设A1,2， Bx|x3x20,则AB.、A是B的真子集（A B）：是指A B且A B.例如，N Z Q R.、空集（）：指不含任何元素的集合.例如，x|xR且x10是空集，因为适合条件x10的实数是不存在的.注 规定空集是任何集合A的子集，即 A.2、集合的运算、设A,B是两个集合.、并集（简称并）：由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即ABx|xA或xB.、交集（简称交）：由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即ABx|xA且xB.、差集（简称差）：由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集，记作AB，即ABx|xA且xB.、全集或基本集：研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，我们称集合I为全集或基本集.、余集或补集：所研究的其他集合A都是I的子集，称IA为A的余集或补集，记作A .例如，在实数集R中，集合Ax|0x1的余集就是Ax|x0或x1.、设A,B,C为任意三个集合，则有下列法则成立 .、交换律： ABBA， ABBA；、结合律： (AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)；、分配律： (AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)；、对偶律： (AB) A B ，(AB) A B .证明：两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集 .证：、因为x(AB) xAB xA且xB xA 且xB xA B ，、所以 (AB) A B ；、反之，因为xA B xA 且xB xA且xB xAB x(AB) ，、所以 A B (AB) .、于是 (AB) A B .注：、以上证明中，符号“ ”表示“推出”（或“蕴含”）.、如果在证明的第一段中，将符号“ ”改用符号“ ”（表示“等价”），则证明的第二段可省略 .、设A,B是任意的两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对(x,y)，把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为AB，即AB(x,y)|xA且yB.例如，RR(x,y)|xR，yR即为xOy面上全体点的集合，RR常记作R. 3、区间和领域、设a和b都是实数，且 ab.、开区间：数集x|axb称为开区间，记作(a,b)，即(a,b)x|axb.注：a和b称为开区间(a,b)的端点，这里a(a,b)，b(a,b).、闭区间：数集x|axb称为闭区间，记作a,b，即a,bx|axb.注：a和b也称为闭区间a,b的端点，这里aa,b，ba,b.、半开区间：a,b)x|axb，(a,bx|axb.a,b)和(a,b都称为半开区间.、有限区间：有限区间是长度为有限的线段.注 区间长度：数ba称为这些区间的长度.、无限区间：无限区间是长度为无限的线段.注 引进记号及，则可类似地表现无限区间.例如，a,)x|xa，(,bx|xb.全体实数集合R也可记作(,)，它也是无限区间.、区间：以后在不需要辩明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单的称它为“区间”，且常用I表示.、领域：、以点a为中心的任何开区间称为点a的领域，记作U(a).、设是任一正数，则开区间(a,a)就是点a的一个领域，这个领域称为点a的领域，记作U(a,)，即U(a,)x|axa.注a、点a称为领域的中心，称为领域的半经.b、由于axa相当于|xa|，因此U(a,)x|xa|.因为|xa|表示点x与点a间的距离，所以U(a,)表示：与点a的距离小于的一切点x的全体.、去心领域：点a的领域去掉中心a后，称为点a的去心领域，记作U(a,)，即U(a,)x|0|xa|.注 a、这里0|xa|就表示xa.b、为了方便，有时把开区间(a,a)称为a的左领域，把开区间(a,a)称为a的右领域.、两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域.例如，a,bc,d(x,y)|xa,b，yc,d，即为xOy平面上的一个矩形区域，这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间a,b和闭区间c,d.二、映射1、映射概念【定义】 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：XY.注、y称为元素x（在映射f下）的像，记作f(x)，即yf(x).、元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像.、集合X称为映射f的定义域，记作D ，即D X.、X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作R 或f(x)，即R f(x)f(x)|xX.补充：、构成一个映射必须具备以下三个要素：、集合X，即定义域D X；、集合Y，即值域的范围：R Y；、对应法则f，使对每个xX，有唯一确定的yf(x)与之对应.、对每个xX，元素x的象y是唯一的；而对每个yR ，元素y的原像不一定是唯一的.、映射f的值域R 是Y的一个子集，即R Y，不一定R Y.【例1】设f：RR，对每个xR，f(x)x.、显然，f是一个映射，f的定义域D R，值域R y|y0，它是R的一个真子集.、对于R 中的元素y，除y0外，它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.【例2】设X(x,y)|xy1，Y(x,0)|x|1，f：XY，对每个(x,y)X，有唯一确定的(x,0)Y与之对应.、显然f是一个映射，f的定义域D X，值域R Y.、在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间1,1上.【例3】设f: , 1,1，对每个x , ，f(x)sin x.这f是一个映射，其定义域D , ，值域R 1，1.、设f是从集合X到集合Y的映射.、映射或满射：若R Y，即Y中任一元素y都是X中某到Y上的映射或满射.、单射：若对X中任意两个不同元素x x ，它们的像f(x )f(x )，则称f为X到Y的单射.、一 一映射（或双射）：若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射（或双射）.注 上面【例1】中的映射，既非/单射，又非满射；【例2】的映射不是单射，是满射；【例3】的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射.2、逆映射与复合映射、逆映射：设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yR，有唯一的xX，是合f(x)y .于是我们可以定义一个R 到X的新映射g，即g：R X ，对每个yR ，规定g(y)x，这x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射，记作f ，其定义域D R ，值域R X.注 按上述定义，只有单射才存在逆映射.所以，在【例1】、【例2】、【例3】中，只有【例3】中的映射f才存在逆映射f ，这个f 就是反正弦函数的主值f (x)arcsin x，x1,1，其定义域D 1,1，值域R , .、复合映射：设有两个映射g：XY，f：Y Z，其中Y Y .则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xX映成fg(x)Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f g，即f g：XZ，(f g)(x)fg(x)，xX . 注：由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R 必须包含在f的定义域内，即R D .否则，不能构成复合映射 .由此可知道，映射g和f的复合是有顺序的，f g有意义并不表示g f也有意义 .即使f g与g f都有意义，复合映射f g与g f也未必相同 .【例4】设有映射g：R1,1，对每个xR，g(x)sin x，映射f:1,10,1，对每个u1,1，f(u) 1u.则映射g和f构成的复合映射f g：R0,1，对每个xR，有(f g)(x)fg(x)f(sin x) 1sinx|cos x|.三、函数1、函数概念【定义】设数集D R为定义在D上的函数，通常简记为yf(x)，xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D ，即D D .补充、函数定义中，对每个xD，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即yf(x).、因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系.、函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作R 或f(D)，即R f(D)y|yf(x)，xD.注意、需要指出，按照上述定义，记号f和f(x)的含义是有区别的：前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“f(x)，xD”或“yf(x)，xD”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数f.、表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“F”、“”等.相应的，函数可记作yg(x)，yF(x)，y(x)等.有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作yy(x).但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们.、函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域D 及对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也想同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.、函数的定义域通常按以下两种情形来确定：、一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定.例如，在自由落体运动中，设物体下过的时间为t，下落的距离为s，开始下落的时刻t0，落地的时刻tT，则s与t之间的函数关系是s gt，t0,T.这个函数的定义域就是区间0,T；、另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然数定义域.在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用“yf(x)”表达，而不必再表出D .例如，函数y 1x的定义域是闭区间1,1，函数y 的定义域是开区间(1,1).、在函数的定义中，对每个xD，对应的函数值y总是唯一的.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个xD，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，那么对于这样的对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这种法则确定了一个多值函数.例如，设变量x和y之间的对应法则由方程xyr给出.显然，对每个xr,r，由方程xyr可确定出对应的y值，当xr或r时，对应y0一个值；当x取(r,r)内任一个值时，对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.、对于多值函数，如果我们附加一些条件，使得在附加条件之下，按照这个法则，对每个xD，总有唯一确定的实数值y与之对应，那么这就确定了一个函数.我们称这样得到的函数为多值函数的单值分支.例如，在由方程xyr给出的对应法则中，附加“y0”的条件，即以“xyr且y0”作为对应法则，就可得到一个单值分支yy (x) rx；附加“y0”的条件，即以“xyr且y0”作为对应法则，就可得到另一个单值分支yy (x) rx.、表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面上的点集P(x,y)|yf(x)，xD称为函数yf(x)，xD的图形（图13）.图中的R 表示函数yf(x)的值域.【例5】函数y2的定义域D(,)，值域W|2|，它的图形是一条平行于x轴的直线，如图14所示.【例6】函数y|x|的定义域D(,)，值域R 0,，它的图形如图15所示.这函数称为绝对值函数.【例7】、函数 1，x0，ysgn x 0，x0， 1，x0称为符号函数，它的定义域D(,)，值域R 1,0,1，它的图形如图16所示.、对于任何实数x，下列关系成立：xsgn x|x|.【例8】、设x为任一实数不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x.、例如， 0， 21，3，11，3.54.把x看作变量，则函数yx的定义域D(,)，值域R Z.它的图形如图17所示，这图形称为阶梯图形曲线.在x为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1.、这函数称为取整函数.注 在例6和例7中看到，有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.【例9】、函数yf(x)是一个分段函数.它的定义域D0,).、当x0,1时，对应的函数值f(x)2 x；当x(1,)时，对应的函数值f(x)1x.、例如， 0,1，所以f( )2 2；10,1，所以f(1)2 12；3(1,)，所以f(3)134.这个函数的图形如图18所示.补充 用几个式子来表示一个（不是几个！）函数，不仅与函数定义并无矛盾，而且有现实意义.在自然科学和工程技术中，经常会遇到分段函数的情形.例如,在等温过程中，气体压强p与体积V的函数关系，当V不太小时依从玻意耳定律；当V相当小时，函数关系就要用范德瓦耳斯方程来表示，即P其中k、都是常量.2、函数的几种特性(1)、函数的有界性、设函数f(x)的定义域为D，数集X D.如果存在数K ，使得f(x)K 对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有上界，、而K 称为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在K ，使得f(x)K 对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有下界，、而K 称为函数f(x)在X上的一个下界.、如果存在正数M，使得|f(x)|M对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有界.、如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M，总存在x X，使|f(x )|M，那么函数f(x)在X上无界.例如，、就函数f(x)sin x在(,)内来说，数1是它的一个上界，数1是它的一个下界（当然，大于1的任何数也是它的上界，小于1的任何数也是它的下界）.、又|sin x|1对任一实数x都成立，故函数f(x)sin x在(,)内是有界的.这里M1（当然也可以取大于1的任何数作为M而使|f(x)|M对任一实数x都成立）.、又如、函数f(x) 在开区间(0,1)内没有上界，但有下界，例如1就是它的一个下界.、函数f(x) 在开区间(0,1)内是无界的，因为不存在这样的正数M，使| |M对于(0,1)内的一切x都成立（x接近于0时，不存在确定的正数K ，使 K 成立）.、但是f(x) 在区间(1,2)内是有界的，例如可取M1而使| |1对于一切x(1,2)都成立.、容易证明，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.(2)、函数的单调性、设函数f(x)的定义域为D，区间I D.如果对于区间I上任意两点x 及x ，当x x 时，恒有f(x )f(x )，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的（图19）；、如果对于区间I上任意两点x 及x ，当x x 时，恒有f(x )f(x )，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的（图110）.、单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.例如，函数f(x)x在区间0,)上是单调增加的，在区间(,0上是单调减少的；在区间(,)内函数f(x)x不是单调的（图111）.又例如，函数f(x)x在区间(,)内是单调增加的（图112）.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称.、如果对于任一xD，f(x)f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数.、如果对于任一xD，f(x)f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.例如，f(x)x是偶函数，因为f(x)(x)xf(x).又例如，f(x)x是奇函数，因为f(x)(x)xf(x).、偶函数的图形关于y轴是对称的.因为若f(x)是偶函数，则f(x)f(x)，所以如果A(x,f(x)是图形上的点，则与它关于y轴对称的点A(x,f(x)也在图形上（图113）.、奇函数的图形关于原点是对称的.因为若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，所以如果A(x,f(x)是图形上的点，则与它关于原点对称的点A(x,f(x)也在图形上（图114）.补充 函数ysin x是奇函数.函数ycos x是偶函数.函数ysin xcos x既非奇函数，也非偶函数.(4)、函数的周期性、设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l，使得对于任一xD有(xl)D，且f(xl)f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.例如，函数sin x，cos x都是以2为周期的周期函数；函数tan x是以为周期的周期函数.、图115表示周期为l的一个周期函数.在每个长度为l的区间上，函数图形有相同的形状.、并非每个周期函数都有最小正周期.下面的函数就属于这种情形.【例10】狄利克雷函数D(x)容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.3、反函数与复合函数、作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念.设函数f：Df(D)是单射，则它存在逆映射f ：f(D)D，称此映射f. 为函数f的反函数.补充 按此定义，对每个yf(D)，有唯一的xD，使得f(x)y，于是有f (y)x.这就是说，反函数f 的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.例如，、函数yx，xR是单射，所以它的反函数存在，其反函数为xy ，yR.、由于习惯上自变量用x表示，因变量用y表示，于是yx，xR的反函数通常写作yx ，xR.、一般的，yf(x)，xD的反函数记成yf (x),xf(D).、若f是定义在D上的单调函数，则f：Df(D)是单射，于是f的反函数f 必定存在，而且容易证明f 也是f(D)上的单调函数.证明 事实上，不防设f在D上单调增加，现在来证明f 在f(D)上也是单调增加的.、任取y ，y f(D)，且y y .按函数f的定义，对y ，在D内存在唯一的原像x ，使得f(x )y ，于是f (y )x ；对y ，在D内存在唯一的原像x ，使得f(x )y ，于是f (y )x .、如果x x ，则由f(x)单调增加，必有y y ；如果x x ，则显然有y y .、这两种情形都与假设y y 不符，故必有x x ，即f (y )f (y ).这就证明了f 在f(D)上是单调增加的.、相对于反函数yf (x)来说，原来的函数yf(x)称为直接函数.补充、把直接函数yf(x)和它的反函数yf (x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线yx是对称的（图116）.、这是因为如果P(a,b)是yf(x)图形上的点，则有bf(a).按反函数的定义，有af (b)，故Q(b,a)是yf (x)图形上的点；反之，若Q(b,a)是yf (x)图形上的点，则P(a,b)是yf(x)图形上的点.、而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线yx对称的.、复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述.设函数yf(u)的定义域为D ，设函数ug(x)的定义域为D ，且其值域R D ，则由下式确定的函数yfg(x)，xD 称为由函数ug(x)与函数yf(u)构成的复合函数，它的定义域为D ，变量u称为中间变量.补充、函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数，通常记为f g，即(f g)(x)fg(x).、与复合映射一样，g与f能构成复合函数f g的条件是：函数g的值域R 必须含在函数f的定义域D 内，即R D. 否则，不能构成复合函数.例如，yf(u)arcsin u的定义域为1,1，ug(x)sin x的定义域为R，且g(R) 1,1，故g与f可构成复合函数.yarcsin sin x，xR；又如，yf(u) u的定义域为D 0,)，ug(x)tan x的值域为R (,)，显然R D ，故g与f不能构成复合函数.、但是，如果将函数g限制在它的定义域的一个子集Dx|kx(k ),kZ上，令g*(x)tan x，xD，那么R g*(D) D ，g*与f就可以构成复合函数(f g*)(x) tan x，xD.、习惯上为了简便起见，仍称函数 tan x是由函数utan x与函数y u构成的复合函数.这里函数utan x应理解成：utan x，xD.以后，我们采取这种习惯说法.例如，我们称函数ux1与函数yln u构成复合函数ln (x1)，它的定义域不是ux1的自然定义域R，而是R的一个子集D(1,).、有时也会遇到两个以上函数所构成的复合函数，只要它们顺次满足构成复合函数的条件.例如，函数y u，ucot v，v 可构成复合函数y cot ，这里u及v都是中间变量，复合函数的定义域是Dx|2kx(2k1)，kZ，而不是v 的自然定义域R，D是R的一个非空子集.4、函数的运算设函数f(x)，g(x)的定义域依次为D ，D ，DD D ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：、和（差）fg：(fg)(x)f(x)g(x)，xD；、积fg：(fg)(x)f(x)g(x)，xD；、商 ：( )(x) ，xDx|g(x)0，xD.【例11】设函数f(x)的定义域为(l,l)，证明必存在(l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)g(x)h(x).证 、先分析如下：假若这样的g(x)、h(x)存在，使得f(x)g(x)h(x)， (1)且g(x)g(x)，h(x)h(x).、于是有f(x)g(x)h(x)g(x)h(x). (2)、利用(1)、(2)式，就可以作出g(x)、h(x).这就启发我们作如下证明：作g(x) f(x)f(x)，h(x) f(x)f(x).、则g(x)h(x)f(x)，g(x) f(x)f(x)g(x)，h(x) f(x)f(x)h(x).证毕.5、初等函数、在初等数学中已经讲过下面几类函数：、幂函数：yx （R是常数），指数函数：ya （a0且a1），、对数函数：ylog x（a0且a1，特别当ae使，记为yln x），、三角函数：如ysin x，ycos x，ytan x等，、反三角函数：如yarcsin x，yarccos x，yarctan x等.以上这五类函数统称为基本初等函数.、由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如y 1x，ysin x，y cot 等都是初等函数.第二节 数列的极限一、数列极限的定义1、【引例】、设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A ；再作内接正十二边形，其面积记为A ；再作内接正二十四边形，其面积记为A ；循此下去，每次边数加倍，一般的把内接正62 边形的面积记为A （nN ）.、这样就得到一系列内接正多边形的面积：A, A ,A ,A ,它们构成一列有次序的数.、当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以A 作为圆面积的近似值也越精确.、但是无论n取得如何大，只要n取定了，A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积.、因此，设想n无限增大（记为n，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.、这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A ,A ,A ,A ,当n时的极限.、在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.2、数列的定义(1)、数列：如果按照某一法则，对每个nN ，对应着一个确定的实数x ，这些实数x 按照下标n从小到大排列得到的一个序列x ,x ,x ,x ,就叫做数列，简记为列x .(2)、数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项.(3)、数列的一般项：第n项x 叫做数列的一般项.例如, , , ,；2,4,8,2 ,；, , , ,；1,1,1,(1) ,；2, , , ,它们的一般项依次为，2 ， ，(1) ， .注、在几何上，数列x 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x ,x ,x ,x ,(图1-23).、数列x 可看作自变量为正整数n的函数：x =f(n)，nN .当自变量n依次取1,2,3,一切正整数时，对应的函数值就排列成数列x .3、数列极限的定义分析 对数列2, , , , (1)进行分析.、在这数列中，x = =1(1) .两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值|ba|来度量（在数轴上|ba|表示点a与点b之间的距离），|ba|越小，a与b就越相近.、就数列(1)来说，因为|x 1|=|(1) |= ，由此可见，当n越来越大时， 越来越小，从而x 就越来越接近于1.、因为只要n足够大，|x 1|即 可以小于任意给定的正数，所以说，当n无限增大时，x 无限接近于1.、例如给定 ，欲使 100，即从第101项起，都能使不等式|x 1| 成立.、同样的，如果给定 ，则从第10 001项起，都能使不等式|x 1|N时，不等式|x 1|都成立.、这就是数列x = （n=1,2,）当n时无限接近于1这件事的实质.这样的一个数1，叫做数列x = （n1,2,）当n时的极限.【定义】设x 为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式|x a|都成立，那么就称常数a是数列x 的极限，或者称数列x 收敛于a，记为lim x a，或x a（n）.补充、如果不存在这样的常数a，就说数列x 没有极限，或者说数列x 是发散的，习惯上也说lim x 不存在.、上面定义中正数可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式|x a|才能表达出x 与a无限接近的意思.、此外还因注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数有关的，它随着的给定而选定.、我们给“数列x 的极限为a”一个几何解释：、将常数a及数列x ,x ,x ,x ,在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的领域即开区间(a,a)（图124）.、因不等式 |x a|与不等式 ax a等价，所以当nN时，所有的点x 都落在开区间(a,a)内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外.、为了表达方便，引入记号“V”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记号“ ”表示“存在”.于是，“对于任意给定的0”写成“V0”，“存在正整数N”写成“ 正整数N”，数列极限lim x a的定义可表达为：lim x a V0， 正整数N，当nN时，有|x a|.【例1】证明数列2, , , , ，的极限是1.证 、|x a| 1| ,、为了使|x a|小于任意给定的正数（设1），只要 或n .、所以，V0，取N ，则当nN时，就有| 1|，即 lim 1.【例2】已知x ，证明数列x 的极限是0.证、|x a| 0| .、V0（设1），只要 或n 1，不等式|x a|必定成立.、所以，取N 1，则当nN时就有| 0|，即 lim 0.注 、在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列x 的极限时，重要的是对于任意给定的正数，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N.、如果知道|x a|小于某个量（这个量是n的一个函数），那么当这个量小于时，|x a|当然也成立.、若令这个量小于来定出N比较方便的话，就可采用这种方法.例2便是这样做的.【例3】设|q|1，证明等比数列1,q,q,q ,的极限是0.证、 V0（设1），因为|x 0|q 0|q| ，要使|x 0|，只要|q| .、取自然对数，得(n1)ln |q|ln .因|q|1，ln |q|0，故 n1 .、取N1 ，则当nN时，就有|q 0|，即 lim q 0.二、收敛数列的性质【定理1】（极限的唯一性）如果数列x 收敛，那么它的极限唯一.证明 用反证法.、假设同时有x a及x b，且ab.取 .、因为lim x a，故 正整数N ，当nN 时，不等式|x a| (2)都成立.、同理，因为lim x b，故 正整数N ，当nN 时，不等式|x b| (3)都成立.、取NmaxN ,N （这式子表示N是N 和N 中较大的那个数），则当nN时，(2)式及(3)式会同时成立.、但由(2)式有x ，由(3)式有x ，这是不可能的.这矛盾证明了本定理的断言.【例4】证明数列x (1) （n1,2,）是发散的.证、如果这数列收敛，根据定理1它有唯一的极限，设极限为a，即lim x a.、按数列极限的定义，对于 ， 正整数N，当nN时，|x a| 成立；即当nN时，x 都在开区间(a ,a )内.、但这是不可能的，因为n时，x 无休止地一再重复取得1和1这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为1的开区间(a ,a )内.因此这数列发散.补充 下面先介绍数列的有界性概念，然后证明收敛数列的有界性.、 对于数列x ，如果存在着正数M，使得对于一切x 都满足不等式|x |M，则称数列x 是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列x 是无界的.、例如，数列x （n1,2,）是有界的，因为可取M1，而使| |1对于一切正整数n都成立.、数列x 2 （n1,2,）是无界的，因为当n无限增加时，2 可超过任何正数.、数轴上对应于有界数列的点x 都落在闭区间M,M上.【定理2】（收敛数列的有界性）如果数列x 收敛，那么数列x 一定有界.证明、因为数列x 收敛，设lim x a.、根据数列极限的定义，对于1， 正整数N，当nN时，不等式|x a|1都成立.、于是，当nN时，|x |(x a)a|x a|a|1|a|.、取Mmax|x |,|x |,|x |,1|a|，那么数列x 中的一切x 都满足不等式|x |M.这就证明了数列x 是有界的.补充 根据上述定理，如果数列x 无界，那么数列x 一定发散.但是，如果数列x 有界，却不能断定数列x 一定收敛，例如，数列1,1,1,(1) ,有界，但例4证明了这数列是发散的.所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.【定理3】（收敛数列的保号性）如果lim x a，且a0（或a0），那么存在正整数N0，当nN时，都有x 0 （或x0）.证明 就a0的情形证明.、由数列极限的定义，对 0， 正整数N0，当nN时，有|x a| ，、从而x a 0.【推论】如果数列x 从某项起有x 0（或x 0），且lim x a，那么0（或a0）.证明、设数列x 从第N 项起，即当nN 时有x 0.、现在用反正法证明.若lim x a0，则由定理3知， 正整数N 0，当nN 时，有x 0.、取NmaxN ,N ，当nN时，按假定有x 0，按定理3有x 0，这引起矛盾，所以必有a0.补充 、数列x 从某项起有x 0的情形，可以类似地证明.、最后，介绍子数列的概念以及关于收敛的数列与其子数列间关系的一个定理.、在数列x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列x 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列x 的子数列（或子列）.、设在数列x 中，第一次抽取x ，第二次在x 后抽取x ，第三次在x 后抽取x ，这样无休止地抽取下去，得到一个数列x , x , x , ,这个数列x 就是数列x 的一个子数列.注 在子数列x 中，一般项x 是第k项，而x 在原数列x 中却是第n 项.显然，n k.*【定理4】（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列x 收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.证明、设数列x 是数列x 是任一子数列.、由于lim x a，故V0， 正整数N，当nN时0，|x a|成立.、取KN，则当kK时，n n n N.、于是|x a|.这就证明了lim x a.注 由定理4可知，如果数列x 有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列x 是发散的.例如，例4中的数列1,1,1,.,(1) ,.的子数列x 收敛于1，而子数列x 收敛于1，因此数列x (1) （n1,2,.）是发散的.同时这个例子也说明，一个发散的数列也可能有收敛的子数列.第三节 函数的极限一、函数极限的定义分析、因为数列x 可看作自变量为n的函数：x f(n)，nN ，所以，数列x 的极限为a，就是：当自变量n取正整数而无限增大（即n）时，对应的函数值f(n)无限接近于确定的数a.、把数列极限概念中的函数为f(n)而自变量的变化过程为n等特殊性撇开，这样可以引出函数极限的一般概念.、函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.、这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表示为不同的形式.数列极限看作函数f(n)当n时的极限，这里自变量的变化过程是n.、自变量的变化过程为其他情形时函数f(x)的极限：、自变量x任意的接近于有限值x 或者说趋于有限值x （记作xx ）时，对应的函数值f(x)的变化情形；、自变量x的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大（记作x）时，对应的函数值f(x)的变化情形.1、自变量趋于有限值时函数的极限分析、现在考虑自变量x的变化过程为xx .如果在xx 的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当xx 时的极限.当然，这里我们首先假定函数f(x)在点x 的某个去心领域内是有定义的.、在xx 的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于A，就是|f(x)A|能任意小.、如数列极限概念所述，|f(x)A|能任意小这件事可以用|f(x)A|来表达，其中是任意给定的正数.、因为函数值f(x)无限接近于A是在xx 的过程中实