高数导数和积分大全ppt课件.ppt

一 基本初等函数导数公式 第一节求导法则 二 函数的和 差 积 商的求导法则 定理1 的和 差 积 商 除分母 为0的点外 都在点可导 且 例 三 复合函数的求导法则 定理 即因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 链式法则 例 例2 复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形 例如 关键 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 理论推广 例3 解 练习 求下列函数的导数 第二节定积分 一 定积分的定义 定积分仅与被积函数及积分区间有关 而与积分 变量用什么字母表示无关 即 性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和的积分等于它们积分的代数和 二 定积分的简单性质 性质3若在区间 a b 上f x k 则性质4定积分的区间可加性若c是 a b 内的任一点 则 当a b c的相对位置任意时 例如 则有 则积分上限函数 定理1 若 三 牛顿 莱布尼兹公式 定理1证明了连续函数的原函数是存在的 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 牛顿 莱布尼兹公式 定理2 函数 则 例1 计算 解 例2 设求 解 例3 其中 解 四 定积分的换元法和 分部积分法 定理 定积分的换元公式 设函数f x 在区间 a b 上连续 函数在上单值且有连续导数 当时 有 且则 例1 计算 解 令 则 原式 且 例2 计算 解 令 则 原式 且 例3 证 1 若 2 若 偶倍奇零 定理 定积分的分部积分公式 设函数u x v x 在 a b 上有连续导数 则 例4 计算 解 原式 第三节广义积分 反常积分 引例 曲线 和直线 及x轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义1 设 若 存在 则称此极限为f x 在区间的广义积分 记作 类似地 若 则定义 第三节广义积分 反常积分 则定义 c为任意取定的常数 引入记号 则有类似牛 莱公式的计算表达式 例1 计算广义积分 解 例2 计算广义积分 解 第五节二重积分 其中D是积分区域 定理设 在矩形区域 上可积 且对每个 积分 存在 则累次积分 也存在 且 特别当 在矩形区域 连续时 有 例1计算 其中 解 区域 定理设 在X 区域D上连续 y1 x y2 x 在 a b 连续 则 称为X 型区域 区域 则 称为Y 型区域 若D为Y 型区域 若积分域较复杂 可将它分成若干 X 型域或Y 型域 则 例2 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 例3 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 及直线 这是Y 区域 画出积分区域的图形 先对x后对y积分 解法2 D也是X 型区域 显然解法1比解法2好 例4 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 画积分区域图形 因为 则 若先对x积分 的原函数不能用初等函数表示 因此 改用另一种顺序的累次积分 于是有 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 若积分区域为X 型 则 若积分区域为Y