数值方法 第８章 数值积分.doc

第八章 数值积分 引言如果的原函数为，那么有注意到，但无原函数， 无法求出。对于 令 , 称为求积节点，为求积系数1 NewtonCotes求积公式（I）梯形公式 ,称为求的梯形公式当为其变量的连续函数。梯形公式余项，利用积分中值定理定理 设上可积，并在a, b上不变号，那么存在对于积分余项是的连续函数，在上不变号，因此有 =+（II）Simpson求积公式 作二次Lagrange插值有其中此公式称为Simpson求积公式。 变号，因此不能直接应用积分中值定理。令； = 令是的连续函数。而即在a, b上不变号，由此可利用积分中值定理 例 应用梯形公式和Simpson公式计算积分 解 应用梯形公式 应用Simpson公式 直接计算有例2用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并讨论误差解 计算误差0.019657计算误差1.69536一般情况估计误差要大于实际计算误差计算误差为(III)代数精度用Simpson公式求的近似值要比梯形公式求的近似值更精确，代数精度在一定程度上刻画了这一特性（*）， 求积系数，求积节点定义 如果求积公式对所有准确成立，即，而对于某个次数为的多项式，有，则称求积公式（*）具有m次代数精度。求积公式（*）对是线性的，即由此可知，所有有等价于存在一个 使，等价于，由此引入等价定义。定义 如果则称求积公式（*）至少具有m次代数精度，如果还有，那么称求积公式（*）具有m次代数精度。注意到梯形公式余项当时有求积公式，所以具有3次代数精度。例 确定求积公式中求积系数A，B及节点，使求积公式的代数精度尽可能高。解 令 2h=A+B 三个方程解A，B， ，A=，B=当求积公式代数精度为2（IV）Newton-Cotes求积公式将区间a, b等分为n份， 令 此公式称为Newton-Cotes求积公式，称为Cotes求积系数 对于给定n，可查表，见P.233表8.1对于,Newton-Cotes求积公式余项由下述定理给出。定理 Newton-Cotes求积公式 的余项 分两种情况若n为偶数，那么存在若n为奇数，那么存在由定理看出，n奇数，求积公式代数精度为n. n偶数，求积公式代数精度为n+1.梯形公式n=1，代数精度为1。Simpson，公式,n=2,代数精度为3。例，已有：梯形公式 Simpson Newton-Cotes 实际：同样 Newton-Cotes 可以看出，（V）Newton-Cotes求积公式的数值稳定性 Newton-Cotes求积公式有 令那么有，由此得 设无误差，但有误差，,反映在数值积分中 令 当由此当求积公式数值稳定。当出现负时，将出现数值不稳定，因此求积公式不采用。2复合求积公式用梯形公式 用Simpson求积公式 由此看出，来计算很不准确，如果要得到很准确的值，必须采用高阶的Newton-Cotes求积公式，但当求积公式数值上不稳定。由此可以看出，不能靠提高阶的方法来提高计算精度。基于上述原因，一般把整个积分区间分成若干个子区间（通常是等分），再在每个子区间上采用低阶求积公式，这种方法称为复合求积方法。（I）复合梯形求积公式将区间a, b分为n等分，在每个子区间上采用梯形公式，那么有上述公式称为复合梯形公式令 那么 （1）讨论（1）的余项对上式求和有由于利用 利用 （收敛性）（II）复合Simpson求积公式将区间a, b等分为n个子区间，在每个子区间上采用Simpson公式其中上述公式称为复合Simpson求积公式。令 ，那么设 例 若用复合梯形公式求的近似值，问要将积分区间0，1分成多少份才能保证计算误差？若用复合Simpson求积公式呢？解，复合梯形公式余项 若用复合梯形公式求的近似值，需将0，1分成41等分才能保证计算结果有4位有效数字。用复合Simpson求积公式，取，只需要将0，1分成2等分例 给定积分当要求误差小于10时，用复合梯形求积公式和复合Simpson求积公式计算时所需节点数及步长分别为多少？解 设 ,将区间1，3等分为n等分， 复合梯形公式要使 取复合Simpson公式 取 节点3 Romberg求积公式（I）外推技巧复合梯形求积 a,b分n等分， 如果那么若,用来表示 可以看出， 这种方法称为“外推技巧”。更一般的有定理定理设是Q的两个逼近，并有那么证明用乘（）式的两边，减去（）式就得到（）式。此时记（II）Romberg求积令 由外推得T（j, k）。由两个低阶数值积分外推得到高阶数值积分的算法称为Romberg求积公式。 具体计算过程 将区间分半， 对区间作等分， 求得 。否则，例，用Romberg积分法求的近似值解 j0 1.85914091 1.7539311 1.71886122 1.7272219 1.7183188 1.71828273 1.7205186 1.7182824 1.7182818 1.7182818积分准确值4 Gauss型求积公式（I）引论Newton-Cotes求积公式 n为偶数 n为奇数 由此可以看出，n为偶数时，Newton-Cotes求积公式的代数精度为n+1，例如，Simpson公式的代数精度为3。当n为奇数时，Newton-Coes求积公式的代数精度为n，例如，梯形公式的代数精度为1。问题：Newton-Cotes求积公式是等距节点，是否同样的节点数，不采用节点等距分布，代数精度会提高？例 (1)试确定节点。取代入（1）有 由（3）得 由（2）得 取求积公式（6）具有代数精度3，（两个节点（）问： n+1个节点，代数精度能有多少？ 要达到最高代数精度，节点应如何分布？（II）Gauss 求积公式 考虑其中n次Lagrange插值多项式是插值基函数 其中令 如果那么有 可以看出，当时，求积公式准确成立， 即此求积公式具有n次代数精度（至少）。下面将讨论，通过节点的选取使求积公式由n次提高则2n+1次，这相当于次多项式时有 （7）利用均差性质（7）相当于n次多项式的内积为零，即正交。如果取为以权函数的n+1次正交多项，那么。现取节点为的零点，那么就是首项 系数为1的以权函数的n+1正交多项式，从而有由于由此可以得出，如果求积的节点取为以权函数的n+1次正交多项式的零点，那么可使求积公式的代数精度达到2n+1次。n+1个节点，代数精度能否再提高？取为a,b上任意个n+1相异节点。令代数精度不能再提高了，定理 插值型求积公式 （8）具有2n+1次代数精度充分必要条件是求积公式的节点是a,b上以为权函数的n+1次正交多项式的零点。证 必要性 设（8）具有2n+1次代数精度，令，对于任意给定的多项式，由于（8）具有2n+1次代数精度，所以有亦即权函数正交。次正交多项式，即是a, b上以权的n+1次正交多项式的零点。充分性，设与任何次数的多项式关于正交，任给定那么，其中利用正交性有 即求积公式具有2n+1次代数精度。定义 具有最高次代数精度2n+1的求积公式称为Gauss型求积公式例子 确定求积公式中的系数及节点。解，具有最高代数精度的求积公式为Gauss求积公式。节点为a,b=0,1上以权函数的两次正交多项式，不妨设的首项系数为1（不改变零点）。设 如果，为0，1上，权的二次正交多项式。由由得 由于二个节点的Gauss求积公式，具有3次代数精度，令 例，确定求积公式中的节点和系数，使其代数精度尽可能高。解，具有2个节点的Gauss求积公式代数精度最高，应是区间-1，1，权函数零点，此时代数精度为3次，令 ； 代数精度为3，应准确成立 （III）Gauss求积公式的余项 如果节点取为a,b，令 并 （IV）Gauss求积公式的稳定性与收敛性定理 Gauss求积公式证，设，任取， 令其中为次Lagrange插值多项式的基函数。 Gauss求积公式代数精度为2n+1而 。 令 其中 定理 设的近似值，那么有证 （）在Gauss求积公式，特别取，那么有 上述定理说明Gauss求积方法在数值计算中是稳定的定理（收剑性）设其中，为Gauss点，为求积系数，上标n表示随n而变化。（V）Gauss-Legendre求积公式设区间a, b=-1,1,在-1，1上取权函数，那么相应的正交多项式为Legendre多项式，设其中Gauss点为Legendre多项式的零点，此求积公式称为Gauss-legendre求积公式 Legendre多项式 例 确定Gauss-Legendre求积公式的节点及系数此求积公式代数精度为3，对于均为等式 例，用2个节点的Gauss-Legendre求积公式计算解 积分准确值梯形公式Simpson对于任意区间a,b上的积分必须用变量替换方法把区间a, b变换到-1，1 Gauss-Legendre求积公式，可查p257表8.4得到。例 用Gauss-Legendre求积公式计算的近似值解 取n=1，两个节点 取，代数精度为5，因此对于 例用二点Gauss-Legendre求积公式计算的近似值，解，作变换 =-0.5773502692 ; =0.5773502692 A0=1 ; A1=1 (1-0.5773502692)2e+(1+0.577350269