相似三角形的性质及应用.doc

快乐学习，尽在中学生在线相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质可以类比全等三角形的性质来研究 全等三角形 相似三角形 1 对应边相等 对应边成比例 2 对应角相等 对应角相等 3 对应中线相等 对应中线的比等于相似比 4 对应角平分线相等 对应角平分线的比等于相似比 5 对应高相等 对应高的比等于相似比 6 周长相等 周长比等于相似比 7 面积相等 面积比等于相似比的平方 目的： 1.掌握相似三角形的性质； 2.能综合运用比例性质、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质等知识。重难点提示： 1.本节的重点是对性质定理的理解和应用。难点是对比例线段，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及性质的综合运用。解决这一难点的关键在于掌握知识的同时，在解题中不断的归纳总结提高。注意，利用相似比解题的根据是相似三角形的性质。求出相似比是解决这类问题的关键，由相似比以及一个三角形的有关元素，可以求出另一个三角形的对应元素。 2.学习本点要注意的问题： （1）相似三角形的性质可以类比全等三角形的一些性质得到。 （2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。要明确它们的两个关系式：面积比=（相似比） ；相似比= 。 二、例题： 例1.如图， ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。 求证：AFE=B 分析：欲证AFE=B，只需AEFACB， BAC=FAE，所以还需证 = 。而图中有双垂直的条件可以利用。 证明： ADBC，ADB=ADC=90， RtABD中，DEAB， AD2=AEAB 同理可证：AD2=AFAC AEAB=AFAC = 又 BAC=FAE AEFACB， AFE=B 说明：本题通过判定三角形相似，得到角等。由相似得角等，是证明角等的又一个方法。同时本题还用到双垂直条件下得等积式的性质。 例2.已知：如图，ABC中，DE/FG/BC，ADDFFB=234 求：SADESDEGFSBCGF 分析：要求题目中的三部分的面积比，必须先求出ADE，AFG和ABC的面积，才能求出两个四边形的面积。由已知DE/FG/BC的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比。题目中未给出具体数值，故应引入参数。 解： ADDFFB=234， 设AD=2k, DF=3k, FB=4k (k0) 则AF=5k, AB=9k, DE/FG ADEAFG. =( )2=( )2= , 同理可得： =( )2= ， 设SADE=4a, 则SAFG=25a, SABC=81a (a0) SDEGF=25a-4a=21a SBCGF=81a-25a=56a SADESDEGFSBCGF=42156 例3.已知：ABCD是梯形，AB/DC，对角线AC，BD交于E，DCE的面积与CEB的面积比为13。 求：DCE的面积与ABD的面积比。 分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的。DCE与CEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而DCE与ABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ADE与BCE的面积相等，这样DCE与ABD的面积比就可求了。 解： SDCESCEB=13,而DCE与CEB是等高三角形， DEEB=13， DC/AB， DCEBAE， SDCESBAE=(DEEB)2=19， ADC与BDC为等底、等高三角形， SADC=SBDC， SADC-SDCE=SBDC-SDCE， SAED=SBEC 设SDCE=k, 则SAED=SBEC=3k, SBAE=9k, SABD=SABE+SADE=12k, SDCESABD=112. 注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方。 例4.在ABC中，AB=4 ，AC=4，BC边上的高AD=2 ，若一个正方形一边在AB上，另二个顶点分别在AC，BC上，求正方形的边长。 分析：题目中没有给出图形，要自己画。由已知两边及第三边上的高，由于高在三角形内和形外两种情况，可以画出两个三角形，那么就引起要分两种情形讨论。 解：已知AB=4 ，AC=4，BC边上的高AD=2 ，画出图形应当有两种情况。 情形一：当AD在三角形内时，如图（1） AB=4 ，AD=2 ，RtABD中，由勾股定理得： BD= = = =6， 同理可得 CD= = =2 BC=BD+DC=6+2=8， (4 )2+42=82 即AB2+AC2=BC2, BAC=90, 正方形的一边在AB上，则作出正方形AEFG，如图（2） 设正方形边长为x, FG/AB, GFCABC, = 即 = , 4x=16 -4 x (4+4 )x=16 x= =6-2 . 情形二：当AD在ABC外部时，如图（3） AB=4 , AD=2 ，RtABD中，由勾股定理得： BD= = =6， 同理可得：CD=2， BC=6-2=4， AC=4， AC=BC， ABC为等腰三角形， 正方形的一边在AB上，则作出正方形DEFG，如图（4），作出ABC底边AB上的高CH，设正方形边长为x， BH=AH= AB=2 ，DH=EH= x, CH= = =2, DG/CH, ADGAHC, = , = , 2 x=4 -x, (2 +1)x=4 , x= = 答：正方形的边长为6-2 或 。 说明：象本题这样的情况，由已知条件自已画出图形时，可能有多种情形，对每种可能的情形要一一加以讨论，这就是分类讨论的思想。在运用分类讨论的思想讨论问题时，要合理分类，做到不重不漏。 例5.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题： （1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值； 考点：等腰三角形；正方形；相似三角形。 评析：本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑。 第一问，思路，作PE QR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积。 第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置。 说明：每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想。 解（1）：作PEQR，E为垂足 PQ=PR， QE=RE= QR=4. PE= =3. 当t=3时，QC=3。设PQ与DC交于点G. PEDC， QCGQEP. =( )2. SQEP= 43=6， S=( )26= (cm2) （2）当t=5时，QC5，B、C两点重合，CR=3，设PR与DC交于G. 由RCGREP， 可求出SRCG= . S=12- = (cm2). 三、练习 1.填空： （1）两个相似三角形，相似比为 ，其中较小三角形的面积是6，则较大三角形面积是_。 （2）两个相似三角形周长的和等于36cm，对应高的比为45，则这两个三角形的周长各是_。 （3）已知梯形两底的长分别为36和60，高为32，则这个梯形两腰延长线的交点到两底的距离分别是_和_。 （4）三角形一边长等于10，平行这边的直线平分三角形的面积，则这条直线夹在其它两边之间的线段的长等于_。 （5）要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的_倍。 （6）梯形ABCD中，AD/BC，AC，BD交于E点，SADESADC=13，则SADESDBC=_。 （7）ABC中，DE/BC，DE交AB，AC于D、E，ADDB=32，则S梯形BCEDSADE=_。 （8）边长为a的等边三角形，被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得梯形一底长为a，另一底长为_。 （9）将三角形的高分成四等分，过分点作底边的平行线将三角形分成四部分，则四部分面积之比为_。 （10）两个相似三角形对应中线的比为 ，它们的面积之差等于10cm2，则这两个三角形的面积各是_和_。 2.已知： 如图，ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且BDE=CDF。求证：SBDF=SCDE 练习参考答案： 1.填空 (1)9(2) 16cm和20cm(3) 48； 80 (4)5 (5)2 (6)16 (7)169(8) a (9)1357 (10)15cm2, 25cm2 2.提示： 作EMBC于M，FNBC于N，易证EBDFCD， 得 = ， CDEM=BDFN， SBDF= BDFN， SCDE= CDEM， SBDF=SCDE。 测试选择题1如图1 所示，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（ ） A、11.25mB、6.6mC、8mD、10.5m 2有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm, 高AD=8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍，问：加工成的铁片的面积为多少平方厘米？（ ）A、18cm2或 (cm2)B、20cm2或18cm2C、16 cm2D、15 cm2 3在ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC= AC，在AB上取一点E，得到ADE。若图中的两个三角形相似，则DE的长是（ ）A、6B、8C、6或 8D、144如图所示， 矩形ABCD中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠使点B落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为（ ）A、13B、 C、 D、 5如图8 所示，ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即图中的S1=S2=S3），并且DE/FG/BC。则DEFGBC=（ ）A、1:2:3B、1: : C、1:3:5D、3:5:76如图所示， BAC=90，ADBC于D，ABE和ACF都是等边三角形，则SABESACF为（ ）A、ABACB、BDDC C、BD2DC2D、AC2AB27如图所示，已知D是ABC中AB边上一点，DE/BC且交AC于E，EF/AB且交BC于F，且SADE=1，SEFC=4，则四边形BFED的面积等于（ ） A、2B、4C、5D、98如图 ，ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于O点，FE的延长线交CB的延长线于G，那么SAOFSCOG为：（ ） A、1：9B、 1：16C、1：25D、1：39如图所示， 将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60至ABCD的位置，则这两个正方形重叠部分的面积。 （ ） A、4B、2- C、2 D、 -1 答案与解析答案：1、C 2、A 3、C 4、C 5、B 6、B 7、B 8、A 9、B解析：1C 分析：本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图2，等腰AOC 等腰BOD , OA=1m , OB = 16m , 高CE = 0.5m , 求高DF。由相似三角形的性质可得OAOB = CEDF，即116 = 0.5DF，解得DF = 8(m)，故选C。 2A 解：本题有如图3和如图4两种情况，如图3，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为xcm, 则长为2xcm, 由HG/BC得AHGABC，得 = = x= (cm) S矩形EFGH=2x2= (cm2)；如图4，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18(cm2). 3C 解：依题意，本题有两种情形： （1）如图5，过D作DE/CB交AB于E，则 = = ，AB=9，AC=12，DC= AC= 12=8， AD=AC-DC=12-8=4, DE= = =6. （2）如图6，作ADE=B，交AB于E，则ADEABC， 有 = = ， DE= = =8， DE的长为6或8。 4C 解：过A作AH/FG交CD于H，则四边形AFGH是平行四边形， AH=FG FGBE， AHBE ABE+BAH=90， BAH+DAH=90， ABE=DAH， BAE=ADH=90， ABEDAH， AB=12，AE= AD= 10=5，AD=10， BE= =13, , AH= . 5B 解： DE/FG， ADEAFG， =( )2 S1=S2 ( )2= , = 同理 = ， DEFGBC=1 。 6B 7B 提示：ADEEFC ，SADESEFC=1：4 AE：EC1：2， AE：AC1：3 SADESABC=1：9 ， SBFED=5 8选择A。 考查了相似三角形的性质和判定，由题意知AEFBEG，即AF=BG， AF= GC，由AF/CG可得AOFCOG， SAOFSCOG=AF2GC2=19。 9选择B 过B点作EF/BC，分别交AB、DC于E、F。 由基本图形知RtKFBRtBEA. 利用AE2+BE2=AB2,AE= AB 求出BE= , KB=2- . 连接AK，则RtABKRtADK, SABK=SADK, S ABKD=2SABK=ABKB=2- . 中考解析：1(杭州市)如图，D是ABC的AB边上的一点，过点D作DEBC交AC于E。已知AD：DB=2：3则SADE：SBCED（ ） （A）2：3（B）4：9（C）4：5（D）4：21 考点：相似三角形的性质 评析：思路：因DEBC，所以ADEABC，又AD:DB=2:3，AD:AB=2:5，其面积比为4:25，则SADE:S四边形BCED=4:21，故选D。 2（河南省）如图，