第三章 n维向量组(1).ppt

第三章n维向量 3 1向量 知识点 向量的概念向量的线性运算向量空间 一 向量的概念 定义 由n个有顺序的数组成的有序数组称为n维向量 数称为向量的分量 或坐标 称为的第j个分量 或坐标 行向量 列向量 也叫行矩阵 也叫列矩阵 二 向量的线性运算 1 几个常用知识点 1 若n维向量的对应分量都相等 即时 称与相等 记作 2 分量都是零的向量称为零向量 记作O 即 3 向量称为向量的负向量 记作2 向量的线性运算 1 向量的加法 定义3 1 2 设 那么向量称为与的和 记为 即 注 由此可知向量的减法 2 向量的数乘定义3 1 3 设为n维向量 向量称为数与向量的乘积 记作向量的加法和数乘统称为向量的线性运算 3 向量的线性运算满足的运算规律例 设 求和 解 三 向量空间 定义3 1 4 设V为n维向量的集合 如果V非空 且V对于向量的加法及数乘运算封闭 则集合V为向量空间 封闭 若 则 若 则定义3 1 5 设有向量空间及 若 则称是的子空间 例 证明集合是一个向量空间 证明 设 则即对于向量的加法和数乘运算封闭 所以是一个向量空间 3 2向量组及其线性组合 知识点向量组的概念向量组的线性组合 即线性表出 一 向量组的概念 定义3 2 1 若干个n维行向量 列向量 所组成的集合称为n维行 列 向量组 例如向量组由此可知 对于矩阵 1 若令 则矩阵A可由行向量组表示成 2 若令则矩阵A可由列向量组表示成 二 向量组的线性组合 1 定义3 2 2 设都是n维向量 如果存在一组数 使得关系式成立 则称向量是向量组的线性组合 并称向量可由向量组线性表示 或线性表出 注 1 向量是向量组的线性组合 和向量可由向量组线性表出是一个意思 2 O向量是任意向量组的线性组合 或者说O向量可由任意向量组线性表出 3 设有n个n维单位向量 组成的向量组称为n维单位向量组 且任意n维向量都可以被该向量组线性表出 有的书上用表示单位向量组 4 向量组中任意向量都可以用这个向量组线性表出 即例 设有四个三维向量试将向量表示为的线性组合 解 设存在一组数 使得关系式成立 则有 即 由克莱姆法则得 所以向量可以表示为向量组的线性组合 且2 如何判断一个向量可由一个向量组线性表出定理3 2 1 设n维向量组为令 若 则向量可由向量组线性表出 命题1 设m维向量组为则向量可由向量组线性表出的充分必要条件是线性方程组 有解 注 定理3 2 1和命题1的区别是 定理3 2 1中向量组是 共有n个向量 且每个向量都是n维 而命题1中向量组是 共有n个向量 但每个向量都是m维 其实 当时 命题1就是定理3 2 1 所以命题1的使用范围更广 定理3 2 2 若向量可由m维向量组线性表出 则矩阵的行经初等行变换可将其化为零行 推论3 2 1 向量组构成的矩阵经初等行变换出现零行的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表出 3 求线性表出的方法已知向量组 如何判断向量能否由向量组线性表出呢 第一步 用向量组构造矩阵 且把原始向量的序号标注在矩阵右侧 第二步 对矩阵A作初等行变换 化为行阶梯形矩阵 且将每次变换的过程标注在右侧 第三步 若最后的行阶梯形矩阵中 标注有的行不是零行 则向量不能被向量组线性表出 若标注有的行是零行 则令标注的表达式为零 通过移项化简 则能用向量组将向量线性表出 例 设向量组问 向量可否由线性表出 解 所以 向量不能由向量组线性表出 同样的题目 我们利用4 1的方法该如何做呢 解 以为列向量构造矩阵A 则有要能被向量组线性表出 即要求非齐次线性方程组有解 而由定理4 1 1知 该方程组有解的充要条件是 3 3向量组的线性相关性 知识点线性相关 线性无关的概念与向量组线性相关有关的结论向量组线性相关的矩阵判别法 一 线性相关与线性无关的概念 1 定义3 3 1 设有n维向量组 若存在不全为0的数 使得 则称向量组线性相关 根据上述定义 线性无关可定义为 设有n维向量组 若只有当时 才有成立 则称向量组线性无关 2 几点说明 1 只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该向量是零向量 只含一个向量的向量组线性无关的充分必要条件 是该向量是非零向量 2 两个向量线性相关的充分必要条件是两向量的各分量对应成比例 两个向量线性无关的充分必要条件是这两个向量至少有两个对应分量不成比例 3 若向量组中有一部分向量 称为部分组或子组 线性相关 则整个向量组线性相关 若整个向量组线性无关 则其任一子组皆线性无关 2 判断线性相关 无关 的方法命题3 2 2 对m维向量组 记下列三结论等价 1 线性相关 2 有非零解 3 或者也可以换个角度 下列三结论等价 1 线性无关 2 只有零解 3 推论1 当时 对n个n维向量 记 下列三结论等价 1 线性相关 无关 2 有非零解 只有零解 3 推论2 当时 则n个m维向量一定线性相关 例3 讨论下列向量组的线性相关性解 1 设因为该向量组是由3个3维向量组成的 即满足推论1 所以 我们只需计算 所以线性相关 2 作初等行变换显然 所以线性无关 例4 若向量组线性无关 则向量组也线性无关 证明 假设线性相关 则存在不全为零的常数 使得成立 即由于不全为0 所以不全为0 设 从而有存在不全为零的常数使得线性相关 与已知矛盾 故假设不成立 原命题为真 四 关于线性组合与线性相关的定理命题3 2 3 向量组线性相关的充分必要条件为向量组中至少有一个向量可以由其余的个向量线性表出 向量组线性无关的充分必要条件为向量组中任一向量都不能由其余的个向量线性表出 命题3 2 4 若向量组线性相关 且线性无关 则可由线性表出 且表出式唯一 定义3 2 3 设有两个向量组 若 A 中每个向量均可由 B 线性表出 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表出 例如 向量组有 故向量组 A 可由向量组 B 线性表出 若向量组 A 和 B 可以相互线性表出 则称向量组 A 等价于向量组 B 向量组等价具有 1 反身性 2 对称性 3 传递性 命题3 2 5 若向量组 A 线性无关 且可由向量组 B 线性表出 则推论1 若向量组 A 可由向量组 B 线性表出 且 则向量组 A 必线性相关 推论2 等价的线性无关向量组所含的向量个数相同 命题3 2 6 如果向量组线性无关 其中那么在每个向量上任意添加任意s个分量得到的维向量组也线性无关 其中 推论 如果维向量组线性相关 其中那么在每个向量上减少s个相应的分量得到的n维向量组也线性相关 其中例5 判断下列向量组是否线性相关 解 1 显然该向量组前三个向量所成子组线性相关 故全组线性相关 据P88 结论3 2 该向量组含零向量 所以线性相关 据P88 结论4 3 取四个向量的前四个分量构成一个新的向量组 设显然 即线性无关 据P89 推论1 由命题3 2 6得原向量组线性无关 3 4向量组的最大无关组与向量组的秩 一 向量组的最大无关组 也叫极大无关组 极大无关子组 1 定义 设向量组为向量组的一个子组 如果 1 线性无关 2 向量组中任意一向量都可以被线性表出则称子组是向量组的最大无关组 或称为极大无关组 极大无关子组 相关结论 1 一个向量组的最大无关组是指它的线性无关子组中含有向量个数最多的一个 2 若一个向量组本身线性无关 则其最大无关组就是它自己 3 全由零向量组成的向量组没有最大无关组 任何一个含非零向量的向量组一定存在最大无关组 4 一个向量组的最大无关组不是唯一的 例 向量组显然 子组线性无关 且中每个向量都可被线性表出 所以是向量组的一个最大无关组 此外 还可验证和也是该向量组的最大无关组 2 最大无关组的性质性质1 向量组与它的任一最大无关组等价 推论 向量组的任意两个最大无关组彼此等价 性质2 一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相同 二 向量组的秩 1 定义 向量组的最大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 记为或者相关结论 1 只含零向量的向量组秩为零 2 n维基本单位向量组是线性无关的 所以它的最大无关组就是它本身 从而有 3 向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是 5 向量组的子组为最大无关组的 的充分必要条件是线性无关 且向量组中任意个向量 只要存在 都线性相关 5 如果向量组的秩为r 则该向量组中任意r个线性无关的子组均是其最大无关组 命题1 若向量组能由向量组线性表出 则命题2 若向量组与向量组等价 则 三 向量组的秩与矩阵的秩的关系定义3 3 3 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩 A的列向量组的秩称为A的列秩 例 设矩阵求A的行秩和列秩 解 首先 易知矩阵A的秩为2 A的行向量为显然线性无关 线性相关 所以是A的行向量组的极大无关子组 A的行秩为2 A的列向量为显然线性无关 线性相关 所以是A的列向量组的极大无关子组 A的列秩为2 命题3 3 3 矩阵A的秩等于其列秩 也等于其行秩 结论1 设A和B均为矩阵 则结论2 若乘积矩阵AB存在 则有四 向量组的秩和极大无关子组的求法1 向量组秩的求法 1 已知向量组 以它们为列向量 若是行向量则取转置 构成矩阵 2 初等行变换化A为行阶梯形矩阵 3 例 求下列向量组的秩解 设 所以2 极大无关子组的求法定理 矩阵的初等行 列 变换不改变列 行 向量的线性相关或线性无关的关系 极大无关子组的求法 设有n维列向量组 1 以为列向量构造矩阵 2 对A作初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 3 矩阵B中列向量的极大无关子组即为B的首非零元所在列的向量 从而得出A中列向量的极大无关子组即是B中极大无关子组所在的位置 如是的极大无关子组 则就是的极大无关子组 初等行变换 行最简阶梯形矩阵 例 求下列向量组的秩与极大无关子组 并把其余向量用该极大无关子组线性表出 1 2 解 1 对矩阵进行初等行变换 由最后一个矩阵可知 线性无关 为的一个极大无关子组 且可由线性表出 设根据命题3 2 1知 要求被表出的线性表出式 则只需对线性方程组求解 利用高斯 若尔当消元法由于其增广矩阵分别为 所以得从而有进一步有 相应的也线性无关 为的一个极大无关子组 且有 例 已知向量 1 t为何值时 线性相关 2 当线性相关时 求出此向量组的最大无关组 并把其余向量用最大无关组线性表示 解 三 向量组的线性相关与线性无关 默认为列向量 若向量组中的某个向量可以由其余向量线性表出 则说明向量组内部是有关系的 我们把这种关系称为线性相关 若向量组中的任一向量都不能由其余向量线性表出 则说明向量组内部是没有关系的 我们把这种关系称为线性无关 严格定义如下 1 定义3 2 2 对于向量组 若存在一组不全为零的常数 使得成立 则称 向量组线性相关 否则 称向量组线性无关 对于线性无关的向量组当且仅当系数全为0时 即时 才有一些简单结论 1 只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该向量为零向量 只含一个向量的向量组线性无关的充分必要条件是该向量为非零向量 2 两个向量线性相关的充分必要条件是两向量的各分量对应成比例 即两个向量线性无关的充分必要条件是两向量中至少有两个分量不成比例 3 若向量组中有一部分向量 称为部分组或子组 线性相关 则整个向量组线性相关 若整个向量组线性无关 则其任一子组皆线性无关 4 含有零向量的向量组线性相关 5 n维基本单位向量组线性无关 2 判断线性相关 无关 的方法命题3 2 2 对m维向量组 记下列三结论等价 1 线性相关 2 有非零解 3 或者也可以换个角度 下列三结论等价 1 线性无关 2 只有零解 3 推论1 当时 对n个n维向量 记 下列三结论等价 1 线性相关 无关 2 有非零解 只有零解 3 推论2 当时 则n个m维向量一定线性相关 例3 讨论下列向量组的线性相关性解 1 设因为该向量组是由3个3维向量组成的 即满足推论1 所以 我们只需计算 所以线性相关 2 作初等行变换显然 所以线性无关 例4 若向量组线性无关 则向量组也线性无关 证明 假设线性相关 则存在不全为零的常数 使得成立 即由于不全为0 所以不全为0 设 从而有存在不全为零的常数使得线性相关 与已知矛盾 故假设不成立 原命题为真 四 关于线性组合与线性相关的定理命题3 2 3 向量组线性相关的充分必要条件为向量组中至少有一个向量可以由其余的个向量线性表出 向量组线性无关的充分必要条件为向量组中任一向量都不能由其余的个向量线性表出 命题3 2 4 若向量组线性相关 且线性无关 则可由线性表出 且表出式唯一 定义3 2 3 设有两个向量组 若 A 中每个向量均可由 B 线性表出 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表出 例如 向量组有 故向量组 A 可由向量组 B 线性表出 若向量组 A 和 B 可以相互线性表出 则称向量组 A 等价于向量组 B 向量组等价具有 1 反身性 2 对称性 3 传递性 命题3 2 5 若向量组 A 线性无关 且可由向量组 B 线性表出 则推论1 若向量组 A 可由向量组 B 线性表出 且 则向量组 A 必线性相关 推论2 等价的线性无关向量组所含的向量个数相同 命题3