证明(二).doc

星期_ 班级_ 姓名_1.你能证明它们吗知识点一：三角形全等的判定及性质（1） 性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)议一议1. 如图:已知在ABC和DEF 中AC=DF,AB=DE,C=F=100,则ABC和DEF会全等吗?若能请证明;若不能请说明理由.其它条件不变若B=E=70知识点二：等腰三角形的判定、性质及推论性质定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.例1 如图,在ABC中, AB=AC. 求证: B=C. 例2 如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求证:ABD是等腰三角形(2)求ABD的度数等腰三角形还具有如下性质：（1） 等腰三角形两底角的平分线相等（2） 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等（3） 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半（4） 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高（5） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴有一条，即底边上的中线所在的直线例3 如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分线. 求证:BD=CE.例4 如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.练一练1. 如图,ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:EBO=DCO BEO=CDO BE=CD OB=OC(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)(2)选择的1小题的一种情形,证明ABC是等腰三角形.BAEDCBAEDC知识点三：等边三角形的判定及性质定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60判定定理:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 有三条边相等的三角形是等边三角形. 三个角都相等的三角形是等边三角形例5 已知:如图,ABC是等边三角形,DEBC,分别交AB,AC于点D,E.求证: ADE是等边三角形. BECDA12例6 已知:如图,ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的DEF,DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论. BECDAF13知识点四：反证法 先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，所以假设不成立,原命题成立，这种证明方法称为反证法 例7 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于605有一个角是30的直角三角形的性质:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。重要思想：如何证明“线段的倍、分”问题 转化“线段相等”问题ACB 300300300ABC例8 如图,在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 探索：BD与AB的关系？ACBD300课堂练习一、 填空题1.在等腰三角形中顶角为40时底角等于_，一个底角为50，则顶角等于_.2.由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_，大角对_.3.等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为_.4、如图，点F、C在线段BE上，且1=2，BC=EF，若要使ABCDEF，则还须补充一个条件 . (第4题图) (第5题图) (第7题图)5、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若B=20，则C= . 6、在ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则ADC的度数是 度.7、如图，在RtABC中，B=90，A=40，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则BCD的度数为 . 二、选择题1、两个直角三角形全等的条件是（ ）A、一锐角对应相等 B、两锐角对应相等 C、一条边对应相等 D、两条边对应相等2、如图，由1=2，BC=DC，AC=EC，得ABCEDC的根据是（ ）A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ）A、4 B、10 C、4或10 D、以上答案都不对4、如图，EAAB，BCAB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DEAC；(3)CAB=30；(4)EAF=ADE。其中结论正确的是（ ）A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4)5、如图，ABC中，ACB=90，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60的角的个数为（ ）A、2 B、3 C、4 D、5(第2题图) (第4题图) (第5题图)三、解答题1、已知：如图，A=D=90，AC=BD.求证：OB=OC2、已知：如图，ABAC，CEAB于E，BDAC于D，求证：BDCE. 3、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE CD求证：BD DE4. 已知:如图,在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求证:BD=AB/4. ACBD300 5.已知：如图，在ABC中,高线BD和CE相交于H，BHC=120,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。ACDEBH13?1202直角三角形知识点一：勾股定理(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(3)含30角的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.(4)判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理注意：每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理例1.在ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm ，求证：AB=AC 例2.判断如下命题的真假w 如果两个角是对顶角,那么它们相等,w 如果两个角相等,那么它们是对顶角;w 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,w 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;w 三角形中相等的边所对的角相等,w 三角形中相等的角所对的边相等.例3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）.四边形是多边形；（2）.两直线平行，同旁内角互补；（3）.如果ab=0，那么a=0，b=0；例4. 已知：ABC中， C=600，AB=14，AC=10，AD是BC边上的高，求BC的长例5已知：在ABC中， C=900， AD是BC边上的中线，DEAB，垂足为E，求证：AC2=AE2-BE2课堂练习一、 填空题1.RtABC中，C=90，如图（1），若b=5，c=13，则a=_；若a=8，b=6，则c=_.2.等边ABC，AD为它的高线，如图（2）所示，若它的边长为2，则它的周长为_，AD=_，BDADAB=_. （1） （2） （3）3.如图（3），正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=_；若AC=2，则AB=_；ACAB=_.4.已知：如图（1），AEBC，DFBC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则_（HL）. （1） （2）（3）5.已知：如图（2），BE，CF为ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=_.6.已知：如图（3），AB=CD，DEAC于E，BFAC于F，且DE=BF，D=60，则A=（_）.7.在RtABC中，C=90，B=30，b=10，则c=_.8.在RtABC中，C=90，A=30，则abc=_.9、已知等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则该等腰三角形的周长为 cm.二、选择题10.如左下图，在ABC中，ADBC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是A. B.3 C.D.25 11.如右上图，ABBC，DCBC，E是BC上一点，BAE=DEC=60，AB=3，CE=4，则AD等于A.48B.24C.10D.1212.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等13.在RtABC中，ACB=90，AC=CB，CD是斜边AB的中线，若AB=2，则点D到BC的距离为（ ）A.1B.C.2D. 14.等边三角形的高为2，则它的面积是（ ）A.2B.4C.D.4三、解答题1.如下图，已知ABC=ADC=90，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.2.如图1，在ABC中，AB=AC，BDAC，CEAB，O是BD与CE的交点，求证：BO=CO.图1课后作业（一）一、选择题1、如图，ABCAEF，ABAE，BE，则对于结论ACAFFABEAB，EFBC，EABFAC，其中正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、已知等腰三角形的一个角为75，则其顶角为（ ）A.30 B.45 C.60 D.723、等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为（ ）A. B. C. D.4、如图，ABC中，AB=BD=AC，AD=CD，则ADB的度数是（ ）A.36 B.45 C.60 D.72(第1题图) (第4题图) (第5题图)5、如图，ABC中，AB=AC，A=36，CD、BE是ABC的角平分线，CD、BE相交于点O，则图中等腰三角形有（ ）A.6个 B.7个 C.8个 D.9个二、解答题6、如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，求AD、CD的长.7、如图，ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=CD，AD=DE=BE.求A的度数.8. 已知，如图，ABC中，A = 90，AB =AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE = AF，求证：EDFD3线段的垂直平分线(1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.(2)判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(3)三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.例1、在ABC中，ACB=90，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=_例2、在ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则 若BC=10cm则APQ的周长=_cm 若BAC=100则PAQ=_ 课堂练习一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，PA=PB，则直线PP是线段AB的垂直平分线 （1） （2） （3） 右图5.三角形三条边的垂直平分线必交于一点二、填空题1.如右图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=_cm；若PA=10 cm，则PB=_cm；此时，PD=_cm.2.如左下图，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=_cm；AB+BD+DC=_cm；ABC的周长是_cm. 3.如右上图，在RtABC中，C=90,B=15,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=_，AEC=_，AC=_ .三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个等腰三角形 等边三角形 点 角 两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分ACBD.以上结论均不对 3.如右上图，ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4角平分线(1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(2)判定定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.(3)三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.例1 已知:如图,C=900, B=300,AD是RtABC的角平分线. 求证:BD=2CD. ABCD例2 .已知:如图,P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,垂足分别C,D.求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线. BAPDCO2. 尺规作图（基本作图）（1）用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点C、D两点；作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.（2）用尺规作图法作出角平分线：在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD = OE，分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C，作射线OC，OC就是AOB的平分线总结：看到等腰三角形想到三线合一；看到高线、中线合一想到构造等腰三角形；看到30、45、60想到构造直角三角形；看到垂直平分线想到连接端点；看到角平分线想到做边的垂线。看到中点学会构造中位线等。课堂练习一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分BAC，点P在AD上，若PEAB，PFAC，则PE_PF.2.如图（2），PDAB，PEAC，且PD=PE，连接AP，则BAP_CAP.3.如图（3），BAC=60，AP平分BAC，PDAB，PEAC，若AD=，则PE=_.（1） （2） （3）4.AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_.5.如图1，AOB=60，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，则DOC=_.图1 图26.如图2，在ABC中,C=90,AD是角平分线，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_ cm.三、选择题7.如左下图，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm 8.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则ABEACF BDFCDE D在BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有B.只有C.只有和D.，与9.已知，RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，则D到AB的距离为（ ）A.18B.16C.14D.1210.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答题1.已知：如图10，AB=AC，DEAC，求证：DBE是等腰三角形.图102.已知：如图11，在RtABC中，C=90，BAD=BAC，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线，求证：CD=DB.图1课后作业（二）一、 选择题1、ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC边于点D，BDC=75，则A的度数为（ ）A. 35 B. 40 C. 70 D. 1102、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于 （ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 不确定 3、适合条件A =B =C的三角形一定是 （ ）A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形4、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 （ ）A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或225、以下命题中，真命题的是 （ ）A. 两条线只有一个交点 B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形