第十二章Laplace变换.doc

第十二章 Laplace变换（20）一、内容摘要1Laplace变换:设函数满足下条件（记为条件A）： （1）和在除掉有限个第一类间断点外连续； （2）时，； （3）总可以找到常数，使得 则称为函数的Laplace变换，而称为的Laplace逆变换。函数和称为Laplace变换的原函数和像函数。2Laplace变换的存在定理： 如果函数满足条件,则它的Lapalace变换在半平面内有意义,且是的解析函数。 3Laplace变换的反演定理： 如果函数是的像, 则当时,在的每一个连续点有而当 有4Laplace变换的性质:（1）线性性质 为任意常数,对任意两个函数有 （2）位移性质 设为任意常数, 则 （3）延迟性质 设, 则 （4）相似性质 设, 则 （5）微分性质 （6）积分性质 （7）卷积性质 ，（8）象的导数定理 （9）象的积分定理 （10乘积定理 ，其中二、习题1填空题（1）求的Laplace反演=_；求的Laplace反演=_（2）,式中为复数，则_；_；_2求下列函数的拉普拉斯变换。（1） （2）（3） （4）3求下列像函数的原函数。（1） （2）（3） （4）4利用拉普拉斯变换计算下列积分：（1） （2）（3）5求解交流RL回路的方程：6求解常微分方程：7求解半无界弦振动的问题：8设有一单位长度均匀杆，侧面绝热，两端温度为零度.若初始温度为，求杆内的温度分布。9求下面半无界弦振动问题有界的解。 10求下列无穷级数之和。（1） （2）三、参考答案1填空题(1) ，(2) ，,2解：（1）由位移性质有： （2）根据拉普拉斯变换的定义，有： ， 。若 取为正整数，则 ，若取 ，则有： （3）先求出 的像函数， ，再用平移定理即可得：= （4）设，利用下列公式：。因为，于是3解：（1）用部分分式方法可得=，其中各项的拉普拉斯变换为，用导数的反演公式可得，=（2）用部分分式方法可得：（3）用卷积定理：（4）先用导数的反演公式，得到，再用延迟性质，得到：4解：（1）利用公式可以得到：（2）不妨设，否则与本题（1）一样，结果只是多出一个符号函数。作变换将换成，利用含参积分拉氏变换得结果即得：（3）仍然设，否则结果中的t应换成。5解：对方程进行Laplace变换可得：从变换后的方程容易解出 ，再利用卷积定理进行反演即得：其中6解: 设，对方程进行Laplace变换：由初值条件可得： 从中可解得：7解：对方程和边界条件（关于变量t）进行Laplace变换，并记，且考虑到初始条件有：这个常微分方程定解问题的解为：由延迟定理马上有：故8解: 设为杆内温度分布，则满足如下定解问题对（1）（3）关于时间变量作Laplace变换,并记的像函数为可得即 （4）是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程通解为 利用边界条件（5）得，故取Laplace逆变换可得.9解：对（1）（3）关于时间变量作Laplace变换得 或者 解之可得 由于有界，故结合初始条件可得 (4)对（4）取Laplace逆变换可得 (5)由于 = = (6)利用Laplace变换的延迟性质其中为阶跃函数