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文档简介

12命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.(3)写一个命题的其他三种命题时,需注意:对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提;对于有多个并列条件的命题,应把其中一个作为大前提3充要条件(1)集合与充要条件(2)充分条件与必要条件的两个特征对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“pq”“qp”传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”)诊断自测1概念思辨(1)“x22x31”是“x0”的充分不必要条件. ()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A11P6练习)命题“若x,y都是偶数,则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数,则x与y不都是偶数B若xy是偶数,则x与y都不是偶数C若xy不是偶数,则x与y不都是偶数D若xy不是偶数,则x与y都不是偶数答案C解析若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若xy不是偶数,则x与y不都是偶数”故选C.(2)(选修A11P12A组T3)x23x20是x1的_条件答案充分不必要解析若x23x20则x1且x2,此时充分性成立,当x2时,满足x1,但此时x23x20成立,即必要性不成立,即x23x20是x1的充分不必要条件3小题热身(1)(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4 S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析解法一:数列an是公差为d的等差数列,S44a16d,S55a110d,S66a115d,S4S610a121d,2S510a120d.若d0,则21d20d,10a121d10a120d,即S4S62S5.若S4S62S5,则10a121d10a120d,即21d20d,d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.解法二:S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0,“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.(2)(2017山东潍坊高三期末)命题“若x5,则x28x150”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析原命题“若x5,则x28x150”为真命题,又当x28x150时,x3或5.故其逆命题:“若x28x150,则x5”为假命题又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题故选B.题型1四种命题的关系及真假判断已知:命题“若函数f(x)exmx在(0,)上是增函数,则m1”,则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)exmx在(0,)上是减函数,则m1”,是真命题B逆命题是“若m1,则函数f(x)exmx在(0,)上是增函数”,是假命题C逆否命题是“若m1,则函数f(x)exmx在(0,)上是减函数”, 是真命题D逆否命题是“若m1, 则函数f(x)exmx在(0,)上不是增函数”,是真命题本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断答案D解析由f(x)exmx在(0,)上是增函数,则f(x)exm0恒成立,m1.因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m1,则函数f(x)exmx在(0,)上不是增函数”是真命题故选D.(2018黄梅期末)给出下列命题:命题“若b24acb0,则0”的逆否命题;“若m1,则mx22(m1)x(m3)0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为_分清原命题的条件与结论写出所要命题,进行判断答案解析命题“若b24acb0,则0”是真命题,它的逆否命题也是真命题;命题“若m1,则mx22(m1)x(m3)0的解集为R”的逆命题是“若mx22(m1)x(m3)0的解集为R,则m1”是假命题,不等式的解集为R时,的解集为,逆命题是假命题;真命题有.方法技巧四种命题关系及真假判断的方法1由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变例如典例2.2判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例3根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假例如冲关针对训练2.冲关针对训练1(2018陕西模拟)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A真,假,真 B假,假,真C真,真,假 D假,假,假答案B解析先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1abi(a,bR),则z2abi,则|z1|z2|,原命题为真,故逆否命题为真;再证逆命题为假:取z11,z2i,满足|z1|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,逆命题为假,故否命题也为假故选B.2(2017沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有_(填序号)命题“若xy1,则x,y互为倒数”的逆命题;命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题;命题“若ABB,则AB”的逆否命题答案解析对于,命题“若xy1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy1”,它是真命题;对于,命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”,它是真命题;对于,命题“若ABB,则AB”是假命题,它的逆否命题也是假命题;综上,正确的命题是.题型2充分条件与必要条件的判定角度1利用定义判断充分、必要条件(2018赣中南五校联考)已知,均为第一象限角,那么是sinsin的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件利用定义结合代特殊值法进行判断答案D解析由,均为第一象限角,可取2,有,但sinsin,即不是sinsin的充分条件;又由,均为第一象限角,可取,2,有sinsin成立,但不是sinsin的必要条件,综上所述,是sinsin的既不充分也不必要条件故选D.角度2等价转化法判断充分、必要条件(2018阳山模拟)“a1或b2”是“ab3”的()A必要不充分条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D充分不必要条件用等价转化法答案A解析由题意得:命题“若a1或b2,则ab3”与命题“若ab3,则a1且b2”互为逆否命题判断命题“若a1或b2,则ab3”的真假只要判断命题“若ab3,则a1且b2”的真假即可因为命题“若ab3,则a1且b2”显然是假命题所以命题“若a1或b2,则ab3”是假命题,a1或b2推不出ab3.同理“若a1且b2,则ab3”是真命题,命题“若ab3,则a1或b2”是真命题ab3a1或b2.“a1或b2”是“ab3”的必要不充分条件故选A.角度3集合法判断充分、必要条件(2017天津高考)设R,则“”是“sin”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件集合法答案A解析0,sin,kZ,kZ,“”是“sin”的充分而不必要条件故选A.角度4探求结论成立的充分、必要条件(2018延安质检)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0aC.a1用数形结合法,集合法答案A解析因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合,可得a0或a1.观察选项,根据集合间关系a|a1故选A.方法技巧充分条件和必要条件的三种判断方法1定义法:可按照以下三个步骤进行(1)确定条件p是什么,结论q是什么;(2)尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;(3)确定条件p和结论q的关系见角度1典例2等价转化法:对于含否定形式的命题,如綈p是綈q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件见角度2典例3集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断设Ax|p(x),Bx|q(x),若AB,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若AB,则p是q的充要条件见角度3典例冲关针对训练1(2018石家庄模拟)命题p:|x|1,命题q:x2x60,则綈p是綈q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由|x|1得1x1,由x2x60得3x2,即p:1x1,q:3x2,则p是q的充分不必要条件,故答案为綈p是綈q的必要不充分条件故选B.2(2016四川高考)设p:实数x,y满足(x1)2(y1)22,q:实数x,y满足则p是q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析如图作出p,q表示的区域,其中M及其内部为p表示的区域,ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件故选A.题型3充分、必要条件的应用(2018石家庄模拟)设命题p:|4x3|1;命题q:x2(2a1)xa(a1)0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是_本题用集合法答案解析设Ax|4x3|1,Bx|x2(2a1)xa(a1)0解|4x3|1,得x1,故Ax1;解x2(2a1)xa(a1)0,得axa1,故Bx|axa1所以綈p所对应的集合为RAx1,綈q所对应的集合为RBx|xa1由綈p是綈q的必要不充分条件,知RBRA,所以解得0a.故所求实数a的取值范围是.条件探究将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,则a的取值范围是什么?解设Ax|4x3|1,Bx|x2(2a1)xa(a1)0,解|4x3|1,得x1,故Ax;解x2(2a1)xa(a1)0,得axa1,故Bx|axa1由p是q的充分不必要条件,知AB,所以解得0a.故所求实数a的取值范围是.方法技巧根据充要条件求解参数范围的常用方法充分、必要条件的应用,一般体现在参数范围的求解上,其常用方法和注意事项为:1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解见典例2求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象冲关针对训练已知p:|xa|0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为_答案1,6解析綈p是綈q的充分不必要条件,q是p的充分不必要条件对于p,|xa|4,a4xa4,对于q,2x0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为_答案9,)解析解法一:由2,得2x10,綈p对应的集合为x|x10或x10或x0),得1mx1m(m0),綈q对应的集合为x|xm1或x0,设Bx|xm1或x0綈p是綈q的必要而不充分的条件,BA,且不能同时取得等号解得m9,实数m的取值范围为9,)解法二:綈p是綈q必要而不充分条件,q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,由x22x1m20(m0),得1mx1m(m0)q对应的集合为x|1mx1m,m0,设Mx|1mx1m,m0,又由2,得2x10,p对应的集合为x|2x10设Nx|2x10,由p是q的充分而不必要条件知NM,且不能同时取等号,解得m9.实数m的取值范围为9,)基础送分 提速狂刷练一、选择题1下列命题中是真命题的是()“若x2y20,则x,y不全为零”的否命题;“正多边形都相似”的逆命题;“若x3是有理数,则x是无理数”的逆否命题ABCD答案B解析对于,其否命题是“若x2y20,则x,y全为零”,这显然是正确的,故为真命题;对于,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故为假命题;对于,原命题为真,故逆否命题也为真因此是真命题的是.故选B.2(2018河南八市联考)命题“若ab,则acbc”的否命题是()A若ab,则acbcB若acbc,则abC若acbc,则abD若ab,则acbc答案A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若ab,则acbc”的否命题是“若ab,则acbc”故选A.3(2018曲阜模拟)已知p:函数f(x)|xa|在(,1)上是单调函数,q:函数g(x)loga(x1)(a0且a1)在(1,)上是增函数,则綈p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析易知p成立a1,q成立a1,所以綈p成立a1,则綈p是q的充要条件故选C.4下列命题正确的是()A若pq为真命题,则pq为真命题B“a0,b0”是“2”的充分必要条件C命题“若x23x20,则x1或x2”的逆否命题为“若x1或x2,则x23x20”D命题p:xR,x2x10,b0,则2,又当a0,b0,b0”是“2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x23x20,则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2,则x23x20”,故C错误,由此可知D正确故选D.5(2018广东广州质检)已知p:x0,exax0,exax0,使得ex1;若函数f(x)(a1)x是减函数,则a11,则a2,则q:a2.故由q可以推出p,由p推不出q,故p是q的必要不充分条件故选B.6(2018合肥模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析设命题a:“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题故p是q的充分条件设命题b:“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的所以命题b是假命题, 即p不是q的必要条件综上所述,p是q的充分不必要条件故选A.7(2017衡水联考)“a0”是“函数f(x)sinxa为奇函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析f(x)的定义域为x|x0,关于原点对称,当a0时,f(x)sinx,f(x)sin(x)sinxf(x),故f(x)为奇函数;反之,当f(x)sinxa为奇函数时,f(x)f(x)0,又f(x)f(x)sin(x)asinxa2a,故a0,所以“a0”是“函数f(x)sinxa为奇函数”的充要条件故选C.8(2018天津模拟)已知f(x)2x3(xR),若|f(x)1|a的必要条件是|x1|0),则a,b之间的关系是()AbBb答案A解析f(x)2x3,且|f(x)1|a,|2x2|a.a2x2a,x.|x1|b,bx1b,b1xb1.|f(x)1|a的必要条件是|x1|0),(b1,b1)解得b.故选A.9(2018江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z(12i)(ai)在复平面内对应的点为M,则“a0”是“点M在第四象限”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析复数z(12i)(ai)a22aiia2(12a)i在复平面内对应的点为M(a2,12a)若a0,则a20,但12a的正负不确定,所以点M是否在第四象限也是不确定的;若点M在第四象限,则解得a,此时可推出a0.所以“a0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件故选B.10(2017湖北七市联考)已知圆C:(x1)2y2r2(r0)设p:0r3,q:圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1,则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析圆C:(x1)2y2r2的圆心(1,0)到直线xy30的距离d2.当r(0,1)时,直线与圆相离,圆上没有到直线的距离为1的点;当r1时,直线与圆相离,圆上只有一个点到直线的距离为1;当r(1,2)时,直线与圆相离,圆上有两个点到直线的距离为1;当r2时,直线与圆相切,圆上有两个点到直线的距离为1;当r(2,3)时,直线与圆相交,圆上有两个点到直线的距离为1.综上,当r(0,3)时,圆上至多有2个点到直线的距离为1,又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0r3,故p是q的充分必要条件故选C.二、填空题11(2017上海模拟)已知集合Ax| log(x2)0,集合Bx|(xa)(xb)0,若“a3”是“AB”的充分条件,则实数b的取值范围是_答案(1,)解析Ax| log(x2)1,Bx|(xa)(xb)1,故b的取值范围为(1,)12已知条件p:xA,且Ax|a1xa1,条件q:xB,且Bx|y若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是_答案(,03,)解析易得Bx|x1或x2,且Ax|a1xa1,由p是q的充分条件,可知AB,故a11或a12,即a0或a3.即所求实数a的取值范围是(,03,)13(2018泰安模拟)设p:实数x满足x24ax3a20,其中a0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是_答案(1,2解析p是q的必要不充分条件

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