2019版高考数学大复习第十一章坐标系与参数方程第58讲参数方程优选学案.docx

第58讲参数方程考纲要求考情分析命题趋势1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程2017全国卷，222016全国卷，232016江苏卷，21(C)参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查分值：510分1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_任意一点_的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称_参数_，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_普通方程_.2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)；椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)1思维辨析(在括号内“”或“”)(1)参数方程(t1)表示直线()(2)参数方程当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆()(3)直线 (t为参数)的倾斜角为30.()(4)参数方程表示的曲线为椭圆()解析(1)错误t1，xt12，y2t1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分(2)正确当m为参数时，xycos sin 表示直线，当为参数时(xm)2(ym)21表示圆(3)正确方程可化为表示直线其倾斜角为30.(4)错误，x0，y0，方程不表示椭圆2参数方程(t为参数)化为普通方程为_3xy40(x0,2)_.解析x，y4343x，又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程为3xy40(x0,2)3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_(2,1)_.解析由C1得x2y25，且由C2得x1y，联立解得或(舍)4直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_或_.解析直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角为或.5在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解将消去参数t，得2xy30，又消去参数，得1.根据题意可知C1与x轴交点在C2上，则在方程2xy30中，令y0，得x.将代入1，得1，又a0，a.一参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解【例1】 (1)将下列参数方程化为普通方程(t为参数)；(为参数)(2)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解析(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1，当t1时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中或y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin2 1，2x3，所求的普通方程为2xy40(2x3)(2)圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则PCx2，故xPcos 2cos2 ，yPsin 2sin cos (为参数)所以圆的参数方程为(为参数)二参数方程的应用(1)圆的参数方程(为参数)与直线的参数方程(t的参数)在外观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么另外，圆的参数和直线的参数t是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程因此，牢记圆的参数方程，直线参数方程的标准式，是利用参数解决问题的关键(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等(3)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.弦长l|t1t2|；M0为弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|.【例2】 已知曲线C1：(为参数)及曲线C2：(t为参数)(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2，写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由解析(1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0,0)，半径r1.C2的普通方程为xy0.因为圆心到直线xy0的距离为1，所以C1与C2只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为C1：(为参数)，C2：(t为参数)化为普通方程为C1：x24y21，C2：yx，联立消元得2x22x10，其(2)24210，故压缩后C1与C2仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同【例3】 (2018河南郑州一中月考)在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若点B坐标为(0,3)，直线l与曲线C交于两P，Q点，求|BP|BQ|.解析(1)由题意得曲线C的普通方程为1, 直线l的普通方程为2xy30.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入1，得t2t240.设方程t2t240的两个根为t1，t2，所以|BP|BQ|t1t2|.三参数方程与极坐标方程的综合问题涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程【例4】 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：sin22acos (a0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于点M，N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；(2)若，成等比数列，求a的值解析(1)曲线C的直角坐标方程为y22ax(a0)，直线l的普通方程为xy20.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理，得t22(4a)t8(4a)0，(*)8a(4a)0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则t1，t2恰为上述方程的两根，则|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2|.由题设得(t1t2)2|t1t2|，即(t1t2)24t1t2|t1t2|.由(*)得t1t22(4a)，t1t28(4a)0，则有(4a)25(4a)0，得a1或a4.因为a0，所以a1.1将下列参数方程化为普通方程(1)(k为参数)；(2)(为参数)解析(1)两式相除，得k，将其代入x，得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,22设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解析(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，1)，半径为2.由直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，知直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即2，由此解得k，即直线l的斜率的取值范围为.3已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值解析(1)点P的直角坐标为(2,2)，令关于t的方程组无解，所以点P在直线l外(2)直线l的普通方程为xy10，设Q(2cos ，sin )，点Q到直线l的距离为d，则d，所以当sin1时，dmin；当sin1时，dmax.4已知P(x，y)是圆x2y22y0上的动点(1)求2xy的取值范围；(2)若xyc0恒成立，求实数c的取值范围解析方程x2y22y0变形为x2(y1)21，其参数方程为(为参数)(1)2xy2cos sin 1sin()1，其中由sin ，cos 确定，12xy1.(2)若xyc0恒成立，则c(cos sin 1)对一切R恒成立(cos sin 1)的最大值是1，当且仅当c1时，xyc0恒成立错因分析：不清楚直线的参数方程中参数的几何意义，导致解题错误【例1】 已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)P，M两点间的距离；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长解析(1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线l的倾斜角为，tan ，sin ，cos ，直线l的参数方程为(t为参数)(*)直线l与抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，且15248500，设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，得t1t2，t1t2，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得.(2)将t中代入(*)式，得点M的坐标为.(3).【跟踪训练1】 已知直线l：(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解析(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入，得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入，得t25t180，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.课时达标第58讲解密考纲高考中，主要涉及曲线的参数方程、参数方程与普通方程的互化，能写出直线、圆和椭圆的参数方程，常以解答题的形式出现1已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值解析(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1.C1为圆心是(4,3)，半径为1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M.C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|.从而当cos ，sin 时，d取得最小值.2(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解析(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.3在极坐标系中，圆C的圆心为C，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求圆C的极坐标方程；(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|PB|.解析(1)在直角坐标系中，圆心为C(1，)，所以圆C的方程为(x1)2(y)24，即x2y22x2y0，化为极坐标方程得22cos 2sin 0，即4sin.(2)将代入x2y22x2y0，得t24，所以点A，B对应的参数分别为t12，t22.令 t0，得点P对应的参数为t02.所以|PA|PB|t1t0|t2t0|22|22|22(22)4.4已知曲线C的参数方程是(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|，求实数m的值解析(1)由得22得曲线C的普通方程为x2(ym)21.由x1t，得tx1，代入y4t，得y42(x1)，所以直线l的普通方程为y2x2.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d，所以由勾股定理得221，解得m3或m1.5直线l：(t为参数)，圆C：2cos(极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同)(1)求圆心C到直线l的距离；(2)若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值解析(1)把化为普通方程为x2y2a0，把2cos化为直角坐标系中的方程为x2y22x2y0，圆心C(1，1)到直线l的距离为d.(2)由(1)知圆的半径为，弦长的一半为，2