勒让德方程的解的探索.doc

勒让德方程解的探索*收稿日期：2006-08基金项目：阜阳师范学院自然科学基金资助项目（2005LQ04）作者介绍：张万舟，（1982-）男，阜阳师范学院物理系，教师。研究方向：理论物理。张万舟 倪致祥（阜阳师范学院物理系 阜阳，236041）摘 要：本文给出了探究性方法在数学物理方法课程教学中的一个典型案例。该方法简明直观、具有启发性，有助于培养学生的创新意识与能力。关键词：勒让德方程；勒让德多项式；创新能力分类号：O4110引言勒让德多项式是数学物理问题中最重要的函数集合之一，它在数学物理方程的求解中具有广泛的应用1，比如，求解具有轴对称性的带电体的静电势等等。而在一般数学物理方法教科书中1,2，勒让德多项式通项公式的推导过程通常比较复杂，不方便教与学。在教学研究的过程中，我们发现可以通过对勒让德方程及有界性条件的观察和分析，用试探法得出该本征值问题的本征函数和对应的本征值，再归纳出勒让德多项式的递推公式，在此基础上可以进一步得到通项公式。这种教学方案可以让学生体验创造的过程，培养学生观察能力、分析能力、猜想能力和归纳能力，在教学的实践中取得了良好的效果。1勒让德方程及其边界条件当问题具有轴对称性时，在球坐标下对拉普拉斯方程、热传导方程或者波动方程进行分离变量，都将得到一个关于横向变量q的微分方程 （1）这个方程可以改写为 （2）进行变量变换，令x = cos q ，P(x) = P(cos q) = Q(q) （3）立即得到 （4a）或 （4b）上式称为勒让德方程。因为 q 的变化区域是0到p，故 x 的变化区域是1到-1，而x = 1是方程（4）的奇点。解的有界性条件要求P(x)在x = 1处保持有限，这形成了问题的自然边界条件。按照这个条件，参数 l 不能任意取值，只能取某些特殊的值，即本征值。2、解的探索从形式上看，勒让德方程的系数都是多项式，存在着多项式形式的解。而多项式解必定满足有界性边界条件，因此可以取一个关于x 的l次多项式 (5)来作为勒让德方程的试探解。另一方面，勒让德方程又具有空间反演不变性，存在具有确定宇称的特解。因此当l为奇数时，试探解可取为奇多项式；当l为偶数时，试探解可取为偶多项式。将试探解代入方程（4b），不难得到：l = 0时，l = 0，P0(x) = a0；l = 1时，l = 2，P1(x) = a1x；l = 2时，l = 6，；l = 3时，l = 12，；l = 4时，l = 20，；l = 5时，l = 30，； （6） 3递推公式把上面得到的本征值归纳起来，我们得到l = l (l + 1)， l = 0, 1, 2, (7)要归纳出本征函数的统一公式，首先需要适当选取系数。较简单的选择有2种，一种是取多项式的最高次幂的系数为1，即在（6）中取系数al = 1。这时，我们容易求出相邻勒让德多项式之间的关系为 （8）由此可以归纳出递推公式 （9）第二种选择是取P(1) = 1，即所有系数之和等于1。这时多项式成为P0(x) = 1P1(x) = x （10）上式中各个多项式的最高次幂的系数分别为a0 = 1，a1 = 1，a2 = 3/2，a3 = 5/2，a4 = 35/8，a5 = 63/8，。相应地，相邻勒让德多项式之间的关系为 （11）上式可以简化成 （12）由此可以归纳出 （13）这个递推公式比（9）式更加简单，我们就以第二种选择作为勒让德多项式的标准定义。按照这个定义，我们还可以得到另一个递推公式 （14）4通项公式利用递推公式（13）和起始条件P0(x) = 1，虽然可以得到所有的勒让德多项式，但是并没有给出一个明显的通项公式。为了达到这个目标，我们还需要进一步探索。利用（13）和（14）式，我们容易组合出一个新的递推公式 （15）由此，我们立即可以得到勒让德多项式的通项公式 （16）上式给出了勒让德多项式的统一表示。在此基础上，经过较复杂的变形，我们还可以得到一个更简洁的通项公式 （17）上式称为勒让德多项式的罗巨格公式。5讨论与结论通过以上过程可以看出，如果我们把仅仅知识（通项公式和递推公式）作为目标，则上面的推导效率并不高；如果把能力作为目标，则上面的推导可以使学生得到多方面的启发，具有积极的教学意义。特别是培养学生的合情推理能力3和创新意识方面，更具有重要的作用。参 考 文 献1 梁昆淼，数学物理方法 （第三版），北京：高等教育出版社，1998，237-2432 沈施，数学物理方法，上海：同济大学出版社，2002， 108-1103 美G.波利亚，数学与猜想，北京：科学出版社，2001，1-7The exploration of solving the Legendre equationZhang Wanzhou Ni Zhixiang(Department of physics, Fuyang Normal College, Fuyang 236041)Abstract: In this paper, A typical example of the exploration method in Mathematical Physics Methods is showed. This exploration method is helpful to