1246366]2010年优秀模拟试卷分类汇编 第四部分：圆锥曲线.doc

2010年优秀模拟试卷分类汇编第四部分：圆锥曲线1.(2010丹东一模)抛物线上一点到其焦点的距离为5（I）求与的值； （II）若直线与抛物线相交于、两点，、分别是该抛物线在、两点处的切线，、分别是、与该抛物线的准线交点，求证：2.（2010丹东二模）已知抛物线的焦点为F，椭圆C：的离心率为，是它们的一个交点，且 （I）求椭圆C的方程；（II）若直线与椭圆C交于两点A、B，点D满足=0，直线FD的斜率为，试证明3.（2010抚顺模拟）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点为（0，），且离心率等于，过点（0，2）的直线与椭圆相交于，不同两点，点在线段上 （）求椭圆的标准方程；P （）设，试求的取值范围4.（2010沈阳三模）在平面直角坐标系中，已知向量，且满足，动点的轨迹为C（I）求轨迹C的方程，并说明该方程所表示的轨迹的形状；（II）若已知圆O:，当时，过点M作圆O的切线，切点为A、B，求向量的最大值和最小值5.（2010沈阳一模）已知圆C1的方程为,椭圆C2的方程为，其离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径.（）求直线AB的方程和椭圆C2的方程；OBAxyF1 F2 （）如果椭圆C2的左右焦点分别是,椭圆上是否存在点P,使得,如果存在，请求点P的坐标，如果不存在，请说明理由.6.（2010英才苑模拟）已知椭圆的离心率为，右焦点也是抛物线的焦点。 （1）求椭圆方程； （2）若直线与相交于、两点。若,求直线的方程；若动点满足，问动点的轨迹能否与椭圆存在公共点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。7.（2010锦州三模） 设椭圆的焦点分别为、直线交x轴于点A，且 （I）试求椭圆的方程； （II）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值8.（2010锦州二模）已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上.（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.9.（2010长春市质检）已知椭圆：的离心率，点为椭圆的右焦点，点、分别为椭圆长轴的左、右顶点，点为椭圆的上顶点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，当直线交椭圆于，两点时，使点恰为的垂心。若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由10.（2010哈六中一模）已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求直线的方程11.（2010海南五校联考1）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点 （I）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标； （II）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围12.（2010海南五校联考2）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于两点，设，求的最大值13.（2010东北三校一模）如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动. （1）当时，求椭圆的方程； （2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值14.（2010大连一摸）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离O为坐标原点。 （I）求椭圆C的方程； （II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。15.（2010大连双基测试） 已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形。 （1）求椭圆的方程； （2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。16.（2010鞍山一中六模）设四点、均在双曲线的右支上。（1）若=（实数），证明：（是坐标原点）；（2）若=2，是线段的中点，过点分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为、，求四边形的面积的最大值。2010年优秀模拟试卷分类汇编第四部分：圆锥曲线1. 解：（I）根据抛物线定义，解得 （2分），将代入，解得 （4分）（II）带入得， （5分）设，则，由，所以抛物线在处的切线的方程为，即令，得 （6分）同理，得、是方程的两个实根，故，即，从而有 （8分），方法1：， （10分），即 （12分）方法2：， （10分）， （12分）2. 解：（I）设将，根据抛物线定义，（2分），即，椭圆是 （4分）把代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为；（6分）（II）方法1：，点D为线段AB的中点（8分）设，由，得， （10分）， （12分）方法2：，点D为线段AB中点， （8分）设，由，得， （10分）， （12分）方法3：由，得，令，得， （8分）设，点D为线段AB的中点， （10分）设， ， （12分）3. 解：（）设椭圆的标准方程为 1分因为它的一个顶点为（0，），所以，由离心率等于，得，解得，所以椭圆的标准方程为4分（）设，若直线与轴重合，则，得，得；1分若直线与轴不重合，则设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得，得， ，2分由得，整理得，将代入得，又点在直线上，所以，2分于是有，因此，由得，所以，综上所述，有 2分4. （I）,即 , 2分当时，解得，表示两条与轴平行的直线，当时，表示中心在坐标原点焦点在轴上的双曲线，当时，表示以原点为圆心，半径为2的圆，当时，表示中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆，当时，表示中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆 7分(少一个扣一分)（II）当时，曲线C的方程为：，设，则 , 8分MA与圆O相切于A,在中，,即 , 10分由，得,当时，取得最小值为,当时，取得最大值为 12分5. 解：() 解法一：若直线斜率不存在，则直线的方程为，由椭圆的对称性可知，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，因此直线斜率存在，1分所以可设AB直线方程为，且设A(x1,y1)、B(x2,y2), 设椭圆方程,2分将AB直线方程为代入到椭圆方程得，即（1），4分，解得，故直线AB的方程为,6分将代入方程（1）得5x240x+1004b2=0. ，得. 7分 =，得，解得b2=9.故所求椭圆方程为. 8分解法二： 设椭圆方程,1分又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则,又,两式相减，得，3分即(x1+x2)(x1x2)+4(y1+y2)(y1y2)=0，.若，直线的方程为，由椭圆的对称性可知，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，所以.因此直线斜率存在,且 =1,故直线AB的方程为, 5分代入椭圆方程，得5x240x+1004b2=0 . 6分 ，得.7分|AB|=, 得，解得b2=9.故所求椭圆方程为. 8分()因为的中点是原点, 所以,所以与共线， 10分，而直线AB的方程为y=x+5,所以直线所在的直线方程为y=x. ，或.所以P点坐标为，. 12分6. 【解析】（1）根据，即，据得，故，所以所求的椭圆方程是。（3分） （2）当直线的斜率为时，检验知。设，根据得得。设直线，代入椭圆方程得，故，得，代入得，即，解得，故直线的方程是。 （8分）问题等价于是不是在椭圆上存在点使得成立。当直线是斜率为时，可以验证不存在这样的点，故设直线方程为。（9分）用的设法，点点的坐标为，若点在椭圆上，则，即，又点在椭圆上，故，上式即，即，由知，代入得，解得，即。（12分）当时，；当时，。故上存在点使成立，即动点的轨迹与椭圆存在公共点，公共点的坐标是。（14分）7. 解：（）由题意， 为的中点 即：椭圆方程为 - (分) （）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时，也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设:，代入消去得： 设所以， 所以，同理所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为 -（12分）8. 解：（）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上解得 -（4分） （）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为由消去设则且 -（8分）由已知，得化简，得 -（10分）整理得直线MN的方程为，因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）-（12分） 9. （1）根据题意得，又 （2）假设存在直线l满足条件F是三角形MPQ的垂心， 8分+得10. （1）短轴长，1分又，所以，所以椭圆的方程为4分（2）设直线的方程为，消去得，6分即 即8分即10分，解得，所以12分11. 解：（I）易知1分联立 5分 （II）显然x=0不满足题设条件，可设l的方程为联立 8分又AOB为锐角 11分综合可知的取值范围是12分12. （1）解：设，则，即，即，所以动点的轨迹的方程 （2）解：设圆的圆心坐标为，则 圆的半径为圆的方程为令，则，整理得， 由解得，不妨设， ， 当时，由得，当且仅当时，等号成立当时，由得，故当时，的最大值为13. 解：（1）当时， ，则设椭圆方程为，则又，所以所以椭圆C2方程为 （2）因为，则，设椭圆方程为由，得 即，得代入抛物线方程得，即,，因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以 此时抛物线方程为，直线方程为：.联立，得，即，所以，代入抛物线方程得，即.设到直线PQ的距离为 ，则 当时，即面积的最大值为. 14. 解：（I）由由右焦点到直线的距离为得：解得所以椭圆C的方程为4分 （II）设，直线AB的方程为与椭圆联立消去y得即整理得所以O到直线AB的距离8分，当且仅当OA=OB时取“=”号。由即弦AB的长度的最小值是12分15. 解：（1）椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，又椭圆经过点，代入可得，,故所求椭圆方程为 3分 （2）首先求出动直线过（0，）点 5分当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：由即两圆相切于点（0，1）,因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T（0，1）就是所求的点。7分证明如下:当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，