三角形的形状的判定.doc

三角形的形状的判定浙江奉化江口中学（315504）毛显勇在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。1、复习三角形中有关知识：1.1角的关系：A+B+C=-(A+B)、 或A+B=-C、1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 正弦定理：。 余弦定理：， 。 三角形面积：S=1.4三角形的分类：按角分：锐角，直角，钝角。按边分：等腰，等边。其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。2、三角形形状的判定：在ABC中，三内角A、B、C所对的三边长为a、b、c。2.1若 a=b或cosA=cosB、tanA=tanB、sinA=sinB A=B则三角形是等腰三角形；2.2若 则C是直角，三角形是直角三角形； 0, 则A、B、C都是锐角，三角形是锐角三角形； cosAcosBcosC=0, 则A、B、C中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC0, 则A、B、C中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。2.4若ab=0ab，则三角形是直角三角形。3、举例应用：例1 已知是一个三角形的内角，且sin+cos=，则这个三角形的形状是（ ）A、 锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定解： 001800，且sin+cos=1， 9001800（当001；当=900时，sin+cos=1）。故选B。说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。例2 在ABC中，内角A和B满足cosAcosB=sinAsinB，则ABC的形状是 。解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B（0，） A+B=。故ABC是直角三角形。变式1：若条件为cosAcosBsinAsinB，则ABC的形状是钝角三角形。变式2：若条件为cosAcosBsinAsinB，则ABC的形状不能确定。说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B的范围，从而确定角C的范围，就得解。例3 在ABC中，已知cos2A+cos2B+cos2C=2，试判定其形状。解：在ABC中，cos2A+cos2B+cos2C=+cos2(A+B)=1+(cos2A+cos2B)+cos2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)=1+cos(A+B)2cosAcosB =1-2cosAcosBcosC=2 cosAcosBcosC=-0cosA、cosB、cosC中必有一个小于零 A、B、C中必有一个角是钝角ABC是钝角三角形。推广：由cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC 得cos2A+cos2B+cos2C0，则ABC是锐角三角形。 cos2A+cos2B+cos2C=1cosAcosBcosC=0，则ABC是直角三角形。 cos2A+cos2B+cos2C1cosAcosBcosC62 能构成三角形，且是锐角三角形。故选A。说明：本题是余弦定理的又一变形应用，用来判断类似题既快速又准确。例6 在ABC中，b=asinC且c=asin(900-B)，判定ABC的形状。解： c=asin(900-B)=acosB= ； 又 由条件 综上得ABC是等腰直角三角形。说明：条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一为边或者是角的关系，从而判定三角形的形状。这是判断三角形形状的常用解题思路。例7 如图ABC中，=c，=a，=b，则下列推导中，是假命题的为（ ） A、若ab0，则ABC是钝角三角形B、 若ab=0，则ABC是直角三角形 A C、 若ab=bc，则ABC是等腰三角形 a b D、 若c（a+b+c）=0，则ABC是等边三角形 B c C 解：a+b+c=+=对任意三角形都成立，而c=0恒成立 选项D中的命题是假命题，故选D。说明：本题是一道易错题，很可能会错选A。要注意的是向量a、b的夹角不是内角A，而应是1800-A（求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C也正确，可通过向量a、c在b上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。4、总结1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角函数或三角函数的和差化积、积化和差公式去改变角和三角函数的形状，并还利用向量的数量积等有关知识来解题。5、练习：1）在ABC中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形2）在ABC中，如果sinC=cosA+cosB，那么这个三角形是（ ）A、等腰三角