第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答.pdf

中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 应 用 与 建 模 第十五届北京高中数学知识应用竞赛 初赛试题及参考解答 北京数学会普及委员会提供 一 满分 分 在测 量课上 老师交给的任务是 测量楼前旗杆的高度 小王 灵机一动 想出了如下的测 量法 请同学小李当 参照 物 站在旗杆下 在离旗杆 较近的地方 用手机拍下小 李和旗杆的照片 如图所示 然后把照片放在 计算机的屏幕上 量出旗杆有 个小李的高 度 小李的身高为 米 于是得到旗杆的高 度约为 米 你认为这种测量方法如何 如认为正 确 请说明理由以及这种方法的优点 如认为 有问题 请说明问题出在何处 结果偏大还是 偏小 你认为测量中如何做就能减少误差 得到正确的结果 参考解答 这个方法虽然操作简单易行 但却是有问题 的 这样得到的结果 与实际真实的结果相比 偏小 照相者离旗杆越近 误差越大 事实上 从这张照片上 可以看到 同样大小的窗户框 其高度在照片上看 四 层的只有一层的 这符合 近大远小 的视觉规 律 因此旗杆下面的 一人高 和旗杆顶端的 一人高 对应的真实高度是不一样的 小王却把它当成一样的 计算了 而顶端的 一人高 比下端的一人高所对应的 实际尺寸要大 故小王的结果偏小了 减少误差的思路有两种 一是远离旗杆 用长 焦镜头拍照 这时摄影者到旗杆底部和到旗杆顶部的 距离差会缩小 从而减少误差 但也要注意 距离远 了 旗杆和人像也会变小 观察度量长度时的误差也 会变大 二是考虑 近大远小 的变化率 比如可以根 据图片量出 旗杆下端一米对应 毫米 旗杆顶端用 国旗的实际宽度算出一米对应 毫米 可以认为整个 旗杆平均一米等于图中的 毫米 于是用旗杆 在照片上的总长度 毫米 除以 就是旗杆的 真实高度 米 二 满 分 分 人 们 日 常 生 产 的 产 品 大到飞机 汽车 小到锅碗瓢盆 其 表面通常是由一些光滑的曲面拼接而成的 在 不同曲面的衔接处 我们往往也希望它是光滑 的 如何能做到这一点呢 为简单起见 我们只考虑平面上两条光滑 曲线在衔接点是光滑 没有尖角 的 给定平面上两条光滑的曲线 它们在某 一点衔接 请你给出一个标准 即给出定义 用它来说明 在这个衔接点是光滑的 给定平面直角坐标系 在 左侧的 曲线是函数 的图像 其中 是参数 在 右侧的曲线是函数 的图像 其中 是参数 请你选择适当 的参数 即 选择 左右两侧适当的曲 线 使得在 时上述两条曲线衔接 且在衔 接点满足你所给出的光滑标准 参考答案 两条光滑曲线在衔接点是光滑的 就是衔接后 的整条曲线在该点的切线存在 等价于原来的两条曲 线在衔接点的切线重合 即两个函数在该点的导数相 等 在直线 左侧的曲线 的导数是 在 的值都是 和参数值 无 关 在 右侧的曲线 的导数是 在 的值是 根据刚刚给出的定义 为了保证两条曲线衔接后 在衔接点处是光滑的 要求这两个值相等 即要求 解得 选择在直线 右边的曲线为函数 的图像 由于 时的函数值为 所以两条 中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 应 用 与 建 模 曲线的衔接点为 为使左边的曲线 也过点 则选取 满足 解得 三 满分 分 年 月 日 次 列车 长春 北京动车组 经停站 长春 四 平 铁 岭 沈 阳 北 盘 锦 北 北 戴 河 滦 县 北京 上的一位乘客记录下了列车运行全 程的时刻与速度对应表如下 速度单位 千米 小时 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 应 用 与 建 模 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 根据这张数据表 请你回答下列问题 列车运行的总路程大概是多少 借助网络查阅一下具体的数值 如果有误差 请分析一下原因 时间段内列车没有显 示数据 因此数据缺失 请推算一下 此间的平 均速度 画出列车在不同时间运行的速度曲 线 描述列车全程的运行动态 参考解答 设时间为 时刻的速度为 次列车 经停站为长春 四平 铁岭 沈阳北 盘锦北 北戴河 滦县 北京 将这些站分别记作 相邻经停站间的距离分别记为 方法 将总路程分为七段 求出每一段内记录下 的所有 个速度值的和 在用这个和除以 得到商 把这个值当做这一段的平均速度 这七段的平均速度分别为 再根据记录中这七段前后的两个时刻得到每一 段行车用时 进而得到这七段的距离分别为 于是 次列车运行的总路程为 千米 方法 积分的思想 将所给相邻两个时刻间作 为一小段时间 用这小段时间末端的速度当作这小段 区间上的平均速度 即设区间 上的平 均速度为 由此计算出 次列车运行的总 路程为 千米 方法 积分的思想 将所给相邻两个时刻间作 为一小段时间 用这小段时间前端的速度当作这小段 区间上的平均速度 即设区间 上的平 均速度为 由此计算出 次列车运行的总路程 为 千米 方法 积分的思想 将所给相邻两个时刻间作 为一小段时间 用区间端点的平均速度当作这小段区 间上的平均速度 即设区间 上的平均 速度为 由此计算出 次列车运行 中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 应 用 与 建 模 的总路程为 千米 网络数据 长春到北京的火车距离为 千 米 距离误差百分比定义为 上述四种算法的距离误差百分比分别为 误差原因分析 数据的误差可能来源于数据缺失 另一个重要原 因是所估计的平均速度的误差使得结果出现较大误 差 速度区间的划分是比较关键的因素 误差可能的原因为平均速度的假设过于粗糙 间 隔大的数据对结果有影响 我们选用第一种距离估算方法 来研究 时间段内的缺失数据 假设缺失数据是导致 总体距离误差的主要因素 列车实际距离为精确的 千米 按照第一种 算法可估算出距离为 千米 多走了 千米 该时间段经历时间为 分钟 用第一种算法估计的 平均速度为 千米 小时 于是知道这段缺失 数据对应的更为准确的平均速度 满足 解得 千米 小时 由此看出在这个时间段内有减速现象更为准确 由第二种估计方法 得此段的平均速度 满足 解得 千米 小时 由第三种估计方法估计此段的平均速度 满足 解得 千米 小时 由第四种估计方法估计此段的平均速度 满足 解得 千米 小时 时间 速度图像如图 列车运行过程中因为有停靠站 共有七段运行过 程 在前三段基本为一个较慢的恒速 千米 小 时 第三 四段运行在较高的速度上 千米 小时 第六段和第七段的大约前四分之一又回到了较慢的 千米 小时 第七段的中间时段 约占第七段的一 半 的速度大约是 千米 小时 第七段的后四分之 一是逐渐减速 图 四 满 分 分 是从密度均匀 薄 厚一致 半径为 的圆形 纸板上剪下来的开角为 的扇形纸板 为对 称轴 已知这块扇形纸板 的重心 位于距离圆心 为 的位置 请你确定弓形纸板 的重心位置 即给出 一个用 和 表示的数学模型 参考解答 由图可知 扇形 是关于 对称的 因此 扇形的重心应位于 上 则重心在距离点 为 的点 处 扇形 可以分为三角形 和弓形 两部分 又知三角形 的重心位于对称轴 上 与点 的距离为 的点 处 显然弓形的重心 也应该在半径 上 设该 点据圆心 点的距离为 根据假设 可知这三个重心的位置应与这个扇形 以及组成它的三角形和弓形的面积有关 有关系 或者有 式中 分别表示三角形和弓形的面积 显 然如果用 表示扇形的面积 应该有 由此 前面的式子就可以改写成 由此解得 中学生数学 年 月上 第 期 高中 网址 电子邮箱 应 用 与 建 模 不难算出 由此可得 代入上面的公式 可以算出 五 满分 分 生物学家认为 正在休息 时的温血动物体内消耗的能量就是为了保持 其体温 体内消耗的能量 与通过心脏的血流 量 成正比 体重与体积成正比 已知一些动 物的体重与脉搏率如表 所示 表 一些动物的体重和脉搏率 动物名体重 克 脉搏率 心跳次数 分钟 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 马 请你根据上面提供的生物学家的认 识 给出血流量与体重关系的数学模型 从表 可以看到 体重 越轻的动物 脉搏率 越高 请通过各量之间的比例关系 建立脉搏率与体重关系的数学模型 根据表 作出动物的体重和脉搏率 的散点图 验证你建立的数学模型 名词解释 血流量 是单位时间流过的血 量 脉博率 是单位时间心跳的次数 假设 心脏每次收缩挤压出来的血量 与 心脏大小成正比 动物的心脏大小与其体积大 小成正比 参考解答 因为动物体温通过身体表面散发热量 表面 积越大 散发的热量越多 为保持体温需要的能量越 大 所以动物体内消耗的能量 与其表面积 成正 比 即 又已知动物体内消耗的能量 与通过其心脏的 血流量 成正比 即 因此得 另一方面 因为体积 与体重 成正比 可表为 而表面