数值分析复习题.doc

武汉大学工程硕士研究生数值分析课程复习题一、名词解释：模型误差 绝对误差限 相对误差限 有效数字 算法的数值稳定性矩阵的条件数 求解线性方程组的直接解法 迭代函数 迭代法的局部收敛最小二乘拟合 插值型求积公式 代数精度 求积公式的p阶收敛 差商事后估计 数值解的局部截断误差二、简述题：1、简述数值计算中的误差种类与来源。2、简述数值计算中应如何防止误差的传播。3、简述数值分析研究的对象与特点三、填空题：1、计算方法以 为研究对象，其最基本的立足点是 。2、数和分别作为 的近似值有 ， 位有效数字；3、数a的精确值为71.645。它的两个近似值分别分70和71.65，则这三个近似值的有效位数别分为 和 。4、若，它的近似值为0.65，则的有效数字个数为 。 5、的相对误差限是的相对误差限的 ，的相对误差限是的相误差限的 。6、对于n阶方阵， ， ， 。7、设A、B是任意三个阶方阵，则 ， 8、已知 ,则 = ,Cond= ；9、设，求= ，= 10、为计算积分 ,设计了两种算法：A：； B：数值稳定性较好的是算法 。11、求方程、的根的牛顿迭代格式分别为： 、 、 ；12、对给定的个插值节点的Lagrange插值多项式和Hermite插值多项式的次数分别为 、 次。13、对于给定的个点的牛顿插值多项式的余项为 。14若,则差商 , .15、设，则差商 ， 16、梯形公式有 次代数精度，辛普生公式有 次代数精度。17、复化梯形公式的截断误差为 ，复化辛普生公式的截断误差为 。18、在常微分方程初值问题中，定义为近似值的 。19、对于方程，改进的尤拉法为： 。20、若则的Euler公式是 稳定的，梯形公式是 稳定的。四、基本计算题1、若取来表示的近似值，试估计其相对误差。2、若取2 7182838来表示e的近似值，试估计其相对误差。3、设，求谱半径及条件数4、设， 已知 ， A的三个特征值分别为： , 求范数、谱半径及条件数5、用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 ，其中1），； 2），； 3），； 4），6、设四阶方阵,1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵,使； 2）用以上分解求方程组，其中；3）计算、7、设四阶方阵A= 1）用紧凑格式求单位下三角阵和上三角阵,使；2）用以上分解求方程组，其中3）计算、8、试用迭代法分别求出方程在区间1.9,1和0,2上的根。 9、已知 的一组值：xi0 1 4yi 0 1 2 求二次拉格朗日插值多项式及余项，并求的近似值。10、已知 的一组值：xi1 2 3yi 1 -1 2 求二次拉格朗日插值多项式及余项，并求的近似值。11、已知 的一组值：xi0 1 2yi 1 0.6 0.37 求二次拉格朗日插值多项式及余项。12、已知 的一组值：xi-1 0 1yi 2.7183 1.0000 0.3679 求二次拉格朗日插值多项式及余项。13、求次数不高于3的多项式P3（X），使满足下列插值条件：P3（1）= 2 P3（2）=4 P3（3）=12 （2）=314、已知数据 xi 1 2 3 4 yi 2 1 0 1求形如 的拟合曲线。15、已知数据 xi-2 -1 0 1 2yi01210 求形如 的拟合曲线。16、已知变量的一组数据对点如下1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46试求关于以上数据的形如的拟合曲线，并估计处的函数值。17、已知的一组值 xi2.02.22.42.62.83.03.2f(xi)1.441.271.141.050.970.910.86分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 18、 给定的一组值 xi1.01.21.41.61.82.02.22.42.6f(xi)120-1-3-1132分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 19、已知的一组值xi01.21.41.61.82.02.2f(xi)2542124分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 20已知的一组值xi1.01.21.41.61.82.02.2f(xi)0.850.740.660.590.530.480.44分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 21、用龙贝格积分法求积分的近似值，其中T1=3.00000T2=3.1000000 T4=3.13117647T8=3.13898849 22、用龙贝格积分法求的近似值，其中 23、确定常数，使求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。24、试用改进的欧拉格式（也称预估-校正法）求解下列微分方程初值问题：1） 2） 3） 4） 5） 6）7） 8） （取5位有效数字计算）25、用欧拉预估校正方法求初值问题的解函数在的近似值（取步长，小数点后至少保留四位）.五、综合计算题：1、设常数，分别写出求解方程组的Jacobi迭代格式及Gauss-Seidel迭代格式并给出用Gauss-Seidel迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。2、为求方程在附近的一个根，设将方程改写为一列等价开形式，并建立相应的迭代公式： 1），迭代公式 2），迭代公式3），迭代公式以分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。3、已知一个三次方程为，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造两种不同的收敛迭代格式，再用其中一种收敛迭代格式计算该方程在1.5附近的一个根()。4、方程 在及内各有一个根，1）建立求根的牛顿迭代格式；2）如何选取初值，使牛顿迭代序列收敛到内的根。5、已知数据 i0 1 2xi0 1 3yi1 2 3设，求常数a,b,使得 6、已知数据 i0 1 2 3xi0 1 2 3yi3 2 4 7设，求常数a ,b, 使得 7、确定求积公式 的代数精度，并问是否是Gauss型公式。8、确定常数a,b,c，使迭代式 局部收敛到，并有尽可能高的收敛阶数，并指出这个阶数。六、证明与讨论题1、 设方程组1）分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；2）证明Jacobi迭代格式是收敛的。2、分别写出求解下列方程组的Jacobi迭代格式和松弛迭代格式，并讨论Jacobi迭代格式的收敛性:3、设方程组，其中， 分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。4、已知方程 有一个正根及一个负根，1）估计出含根的区间；2）分别讨论用迭代格式 求这两个根时的收敛性；3）如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式。5、设方程.1)估计含根区间;2)分析迭代格式, .的收敛性;3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问取何值时,迭代收敛.6、 设，求积公式为插值型求积公式, (1)推导出系数 的公式;(2)证明公式的代数精度;(3)证明公式的代数精度不可能大于.7、设求积公式 为高斯型求积公式，1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？2）证明: 对任意次数小于等于的多项式，必有；3）证明：8、证明迭代格式 收敛，并求出9、证明求积公式 的代数精度大于等于的充分必要条件是。其中，是以为插值节点的Lagrange插值基多项式。1