微积分I教学大纲.pdf

微积分 I 教学大纲 肖 滢 编写 公共事业管理专业课程教学大纲 830 目 录 前 言 832 一 课程的性质 目的和任务 832 二 总学时与学分 832 三 课程教学的主要内容及基本要求 832 四 学时分配 832 五 教材与教学参考书 832 第一章 函 数 833 第一节 集 合 833 第二节 实 数 集 834 第三节 函 数 关 系 835 第四节 函数的表示法 835 第五节 反函数和复合函数 836 第六节 函数的几种简单性质 836 第七节 初等函数 837 第八节 函数图形的简单组合与变换 837 第九节 经济学中常用的函数 837 一 需求函数与供给函数 837 二 成本函数 838 三 收益函数与利润函数 838 第二章 极限与连续 839 第一节 数列的极限 839 第二节 函数的极限 840 一 当x 时 函数 f x 的极限 840 二 当 0 xx 时 函数 f x 的极限 841 三 左右极限 单侧极限 841 四 函数极限的局部性质 841 第三节 极限的运算法则 842 第三节 两个重要极限 842 第四节 无穷大量与无穷小量 844 第五节 函数的连续性 845 第三章 导数与微分 848 第一节 导数的概念 848 第二节 导数的基本公式与运算法则 850 第三节 微 分 851 第四章 中值定理 导数的应用 853 第一节 中值定理 853 一 罗尔中值定理 853 二 拉格朗日中值定理 854 三 柯西中值定理 854 第二节 未定式的定值法 罗彼塔法则 855 微积分 I 831 一 0 0 型不定式极限 855 二 型不定式极限 855 三 其他类型不定式极限 855 第三节 函数的增减性 855 第四节 函数的极值 856 第五节 最大值与最小值 极值的应用 857 第六节 曲线的凹向与拐点 857 第七节 函数图形 858 第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用 859 一 函数变化率 边际函数 859 二 成本 859 三 收益 859 四 函数的相对变化率 函数的弹性 弹性分析 860 五 需求函数与供给函数 860 六 需求弹性与供给弹性 861 第五章 不定积分 863 第一节 不定积分的概念 863 一 原函数 863 二 不定积分 864 三 不定积分的几何意义 864 第二节 不定积分的性质 864 第三节 基本积分公式 865 第四节 换元积分法 865 一 第一换元积分法 865 二 第二换元积分法 865 第五节 分部积分法 866 第六节 有理函数的积分 867 公共事业管理专业课程教学大纲 832 前 言 课程名称 微积分 英文名称 Calculus 课程编号 409020023 一 课程的性质 目的和任务 微积分一门重要的基础课 是对数学要求较低的专业 如公共管理专业 学生的一门选修的基础 理论课 它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的 通过一学期的学习 学生将系统地获得微积分的一些最基本的知识 较好的掌握基本概念 基 本运算 基本技巧 为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础 本课程以微积分基本知识为载体 通过知识的学习 使学生潜移默化的接受逻辑思维训练 达 到提高逻辑推理与抽象思维能力 这样能更好的改善学生的综合素质 使他们在今后长期的生活 工作中受益 发挥潜移默化的不可替代的作用 二 总学时与学分 总学时为 45 学分为 3 三 课程教学的主要内容及基本要求 说明 教学要求较高的内容用 理解 掌握 熟悉 等词表述 要求较低的内容用 了 解 会 等词表述 四 学时分配 学 时 安 排 序号 内 容 理论课时 实验或习题课时 小计 1 函数 3 1 4 2 极限与连续 9 2 11 3 导数与微分 7 2 9 4 中值定理 导数的应用8 3 11 5 不定积分 8 2 10 总 计 35 10 45 五 教材与教学参考书 教材 微积分 赵树媛主编 中国人民大学出版社 参考书 1 大学文科高等数学 姚孟臣编 中国人民大学出版社 2 微积分 上 李辉来 孙毅 张旭利主编 清华大学出版社 微积分 I 833 第一章 函 数 教学内容 集合 实数集 函数关系 函数表示法 建立函数关系的例题 函数的几种简单性 质 反函数 复合函数 初等函数 函数图形的简单组合与变换 教学要求 1 理解函数的概念 掌握函数的表示法 会建立简单应用问题的函数关系 2 了解函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 3 理解复合函数 反函数 银函数和分段函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质及其图形 理解初等函数的概念 本章重点 在复习中学函数知识的基础之上加深理解函数的概念 1 掌握由已知函数产生新函数的方法 函数的四则运算 函数的复合 反函数 归纳出初 等函数的概念 2 扩展对于函数种种实例的认识 熟悉基本初等函数的图像 3 结合图像理解函数的几种基本性质 奇偶性 有界性 单调性和周期性 4 会建立简单实际问题中的函数关系式 本章难点 函数的基本性质 复合函数 分段函数 基本初等函数及其性质 第一节 集 合 集合是教学中一个重要的概念 它在现代数学中起着非常重要的作用 一 集合的概念 1 集合 set 元素 element 2 集合具有确定性 二 表示方法 1 列举 2 描述 3 文氏图 三 全集与空集 1 全集 basic set U 或 具有相对性 2 空集 empty set 区别 0 和 四 子集 subset aAaBAB 有则 性质 1 AA 2 A 3 AB BCAC 若则 五 集合的运算 1 并 union ABx xAxB 或 2 交 intersection AB ABx xAxB 且 3 差 difference of sets ABx xAxB 且 公共事业管理专业课程教学大纲 834 4 补集 complementary set A AA 六 集合的运算律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 4 狄 摩根律 5 无限集合的交与并 6 集合相等的证明思路 七 集合的笛卡尔积 Cartesian product 有序数组 x y ABx yxA yB 第二节 实 数 集 在中学数学课程中 我们知道实数由有理数与无理数两大部分组成 每一个有理数都可用分数 形式 p q p q为整数 0q 表示 也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示 而无限十进 不循环小数则表示一个无理数 实数有如下一些主要性质 一 实数与数轴 1 实数的基本性质 封闭性 有序性 阿基米德性 稠密性 2 数轴 原点 正方向 单位长度 3 实数 每一个实数与数轴上的点是一一对应的 二 绝对值 absolute value 1 定义 2 几何意义 3 性质 伯努利 Bernoulli 不等式 设 h 1 n 为自然数 则有 1 1 n hnh 提示 用数学归纳法证明 均值不等式 设 x1 x2 xn为 n 个实数 则有 1212 1 n nn x xxxxx n LL 即几何平均值不超过算术平均 值 三 区间 interval 1 开区间 open interval 2 闭区间 close interval 3 半开区间 half open interval 4 无限区间 infinite interval 5 区间长 length of an interval 微积分 I 835 四 邻域 neighborhood 设 a 与 是两个实数 且 0 数集 x x a 称为点 a 的 邻域 点 a 叫做这个邻域的中心 the centre of neighborhood 叫做这个邻域的半径 the radius of neighborhood 记作 U a x x a 而 U o a x 0 x a 0 一般来说 需求量随价格上涨而减少 通常需求函数是价格的单调减少函数 1 线性需求函数 Q a bP a 0 b 0 2 二次曲线需求函数 Q a bP cP2 a 0 b 0 c 0 3 指数需求函数 Q Ae bP A 0 b 0 公共事业管理专业课程教学大纲 838 2 供给函数 供应函数 商品价格对商品供给量的影响 S S P 一边 商品供应量随商品价格上涨而增加 因此商品供给函数 S 是商品价格 P 的单调增加函 数 3 需求函数与供给函数密切相关 将两条曲线画在同一坐标系中 其交点 P Q P 为均衡 价格 Q 为均衡数量 二 成本函数 1 在短时间内不发生变化或不明显地随产品数量增加而变化的 称为固定成本 C1 2 随产品数量的变化而直接变化的部分 称为可变成本 C2 是产品数量 q 的函数 C2 C2 q 总成本 C C q C1 C2 q 1 线性总成本 C q C1 cq 2 二次成本 C q a bq cq2 3 三次成本 C q k0 k1q k2q2 k3q3 三 收益函数与利润函数 1 收益函数 1 总收益 销售者售出一定数量商品所得的全部收入 R 2 平均收益 售出一定数量的商品时 平均每售出一个单位商品的收入 也就是销售一 定数量商品时的单位商品的销售价格 r P 商品价格 q 商品量 对销售者来说就是销售的商品量 对消费者来说就是需求量 R R q qP q r R q q P q 2 利润函数 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是总利润 L L q R q C q 平均利润 l L q L q q 盈亏分析 微积分 I 839 第二章 极限与连续 教学内容 数列的极限 函数的极限 变量的极限 无穷大量与无穷小量 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续 教学要求 1 了解数列极限和函数极限 包括左极限与右极限 的概念 2 理解无穷小量的概念和基本性质 掌握无穷小量的比较方法 了解无穷大量的概念及其与 无穷小量的关系 3 了解极限的性质与极限存在的两个准则 掌握极限四则运算法则 掌握两个重要极限的求 解方法 4 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型 5 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 理解闭区间上连续函数的性质 有界性 最大 值和最小值定理 介值定理 并会应用这些性质 本章重点 1 数列的极限 数列收敛 数列发散 2 极限的概念 函数在某个自变量变化过程中的极限 左右极限的概念 极限的性质 会 用四则运算法则及换元法则求极限 3 两个极限存在准则 夹逼准则和单调有界准则 会用两个重要极限求极限 4 无穷小量 无穷大量以及无穷小量的阶的概念 会用等价无穷小量求极限 5 函数在一点连续和在一个区间上连续的概念以及间断点的概念 并会判别间断点的类型 6 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 介值定理和最大 最小值定理 本章难点 极限的定义 四则运算法则 极限存在准则 两个重要极限及其应用 等价无穷小 量的应用 闭区间上连续函数的性质 第一节 数列的极限 先举一个中国古代有关数列的例子 战国时代哲学家庄周所著的 庄子 天下篇 引用过一句 话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 也就是说一根长为一尺的木棒 每天截去一半 这样的 过程可以无限制地进行下去 随着日子的增长 所能取得的部分的极限为 0 这个例子反映了一类 数列的某种特性 一 数列 1 定义 一个定义在正整数集合上的函数 yn f n 称为整标函数 当自变量 n 按正整数 1 2 3 依次增大的顺序取值时 函数值按相应的顺序排成一串数 f 1 f 2 f n 称为一个 无穷数列 简称数列 sequence of number 2 数列与点列 3 数列的单调与有界 4 数列的上界与下界 二 数列的极限 1 数列极限的 N 定义 设 xn 是一个数列 a 是一个确定的数 若对于0 N 使得nN 时 都有 n xa 的 a 都存在 N 0 使得 n N 时 0 0 nn xaax 4 定理 4 不等式 若数列 xn 与 yn 均收敛 且对正整数 N0 当 n N0时 有 xn yn 则limlim nn nn xy 5 定理 5 迫敛性 若数列 xn 与 yn 均收敛 并且limlim nn nn xya 若存在某自 然数 N 当 n N 时 有 nnn xzy 则lim n n za 6 定理 6 数列收敛的充要条件是其任意子列都收敛并且具有相同的极限 第二节 函数的极限 数列是一个特殊的函数 若将其定义与从自然数n扩充到整个实数域R 则数列 n a就是一般 意义的函数 f x 相应的 仍需考察当x的绝对值无限增大时 函数值的变化趋势 除此之外 还要考察x逐渐趋向点 0 x时 函数值的变化趋势 一 当x 时 函数 f x 的极限 1 定义 设 f 为定义在 a 上的函数 a 是一个定数 若 则称函数 f 当 x 趋于正无穷时极限存在并以 a 为极限 记作 lim x f xa 2 几何意义 当 x M 时 都有 f xa 使得当 0 0 xx 时 f xa 恒成立 则称当 0 xx 时 函数 f x 以常数 a 为极限 记作 0 lim xx f xa 或者 0 f xa xx 2 说明 1 刻画 f x 与常数 a 的接近程度 刻画 x 与 x0的接近程度 2 0 0 xx 不考虑 f x 在 x0处是否有定义 3 几何意义 三 左右极限 单侧极限 1 0 0 xx x 大于 x0而 x 趋于 x0 即 x 从 x0的右侧趋近于 x0 用 0 xx 表示 此 时 a 为函数 f x 在 x0点的右极限 right limit 记作 0 lim xx f xa 0 0 xx 并且则对任意正数 0 rra 4 定理 4 不等式性质 若 0 lim xx f x 与 0 lim xx g x 皆存在 且存在 x0 的某空心邻域 Uo x0 使得 0 o xUx 有 f xg x 则 00 lim lim xxxx f xg x 公共事业管理专业课程教学大纲 842 5 定理 5 迫敛性 若 00 lim lim xxxx f xg xa 且存在 x0 的某空心邻域 Uo x0 使得 0 o xUx 有 f xh xg x 则 0 lim xx h xa 第三节 极限的运算法则 四则运算法则 若极限 0 lim xx f x 与 0 lim xx g x 皆存在 则函数 f xg xf xg x 在 0 xx 时极限 也存在 且 1 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg x 2 000 lim lim lim xxxxxx f xg xf xg x 又若 0 lim 0 xx g x 则 f x g x 在 0 xx 时极限也存在 且 3 0 0 0 lim lim lim xx xx xx f x f x g xg x 更一般的 第三节 两个重要极限 一 极限存在的准则 1 夹逼准则 squeeze rule 即极限的迫敛性 若 00 lim lim xxxx f xg xa 且存在 x0的某空心邻域 Uo x0 使得 0 o xUx 有 00 0 0 00 0 0 limlim n i i nm ij i ij m xxxx j ij j j a x f x f xa x g xb x g x b x 0 0 lim n i i i m x j j j a x b x n m a nm b 0 nm 0 0 00 lim nn ii ii xx ii f xa xf xa x 则 微积分 I 843 f xh xg x 则lim n h xa 在研究比较复杂的数列极限问题时 通常分作两步走 第一 考察索给的数列是否有极限 极 限的存在性问题 第二 若数列有极限 则考虑如何计算此极限 极限值的计算问题 这是极 限理论的两个基本问题 在实际应用上 第一个问题解决后 即使一时求不出极限值 但因为n充 分大时 n a能充分接近于其极限a 故可用 n a作为a的近似值 2 定理 单调有界数列必有极限 单调递增有上界数列有极限 单调递减有下界数列有极限 步骤 1 判断数列的单调性 2 证明数列是有界的 3 求极限 利用极限存在的两个准则 可得到如下两个重要极限 进而可求得其它一些函数的极限 二 两个重要极限 1 0 sin lim1 x x x 注意 1 0 0 型 2 一般形式 0 sin lim1 f x f x f x 3 sin lim0 x x x 2 1 lim 1 n n e n O D A B C 公共事业管理专业课程教学大纲 844 1 0 lim 1 x x xe 1 lim 1 x x e x 注意 1 1 型 2 解题应注意使用凑指数幂 使得底数的第二项与指数互为倒数 同时注意变化趋势 第四节 无穷大量与无穷小量 一 无穷小量 1 定义 若在自变量 x 的某个变化过程中lim 0f x 则称函数 f x 为 x 在该变化过程中 的无穷小量 infinitesimal 2 注意 谈到无穷小量时必须指明自变量的变化过程 3 无穷小量的性质 定理 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量 推论 1 常量与无穷小量的乘积为无穷小量 推论 2 有极限的量与无穷小量的乘积为无穷小量 定理 2 在某个自变量的变化过程中lim f xA 的充要条件是lim f xAx x 是在该自变量变化过程中的无穷小量 4 无穷小量阶的比较 无穷小量是以零为极限的变量 但收敛于零的速度有快有慢 为此 考察两个无穷小量的比以 便对他们的收敛速度作出判断 设 0 xx 时 均为无穷小量 1 若 0 lim0 xx 则称 0 xx 时 为比 高阶无穷小量 或称 为比 低阶无穷小量 infinitesimal of lower order 记作 o 2 若 0 lim0 xx c 则称 0 xx 时 与 为同阶无穷小量 infinitesimal of the same order 记作 O 3 若 0 lim1 xx 则称 0 xx 时 与 为等价无穷小量 equivalent infinitesi mal 记作 定理 设 0 xx 1 若 0 lim xx h xA 则 0 lim xx h xA 2 若 0 lim xx h x A 则 0 lim xx h x A 微积分 I 845 二 无穷大量 1 定义 设函数 f x 在 x0的某个去心邻域内有定义 如果对于任意给定的无论多么大的正数 M 都存在正数 当 0 0 xx 则称函数 f x 当 0 xx 时为无 穷大量 infinity 记作 0 lim xx f x 或者 0 f xxx 2 说明 1 无穷大量不是很大的数 而是具有非正常极限的函数 2 若 f x 为 0 xx 时的无穷大量 则 f x 为 U x0 上的无界函数 反之 无界函数不一定 是无穷大量 3 定义 如果 f x 当 0 xx 或 0 xx 时为无穷大量 则称直线 x x0为曲线 y f x 的铅 直渐近线 vertical asymptote 三 无穷大量与无穷小量的关系 定理 当 0 xx 时 若 f x 为无穷大量 则 1 f x 为无穷小量 若 f x 为无穷小量时 且在 x0的某去心邻域内 f x 0 则 1 f x 为无穷大量 第五节 函数的连续性 自然界中有多现象 如气温的变化 河水的流动 植物的生长等等 都是连续变动的 这种现 象在函数关系上的反映 就是函数的连续性 从直观来看 能比不理智地一笔画出函数的图型 就 说该函数是连续的 连续函数是微积分学中着重讨论的一类函数 从几何形象上粗略地说 如果函数是连续的 那 么它的图像是一条连绵不断的曲线 当然我们不能满足于这种直观的认识 需要给出它的精确定义 一 连续函数的概念 1 定义 设函数 f x 在点 x0的某邻域内有定义 若 0 0 lim xx f xf x 则称函数 f x 在点 x0 连续 2 说明 1 f x 在 x0处有定义 2 0 lim xx f x 存在 3 0 0 lim xx f xf x 4 f x 在 x0处连续和当 0 xx 时有极限是有区别的 3 极限的 定义 0 0 lim xx f xf x 00 0 0 xxstf xf x 0 3 定理 四则运算 若函数 f x g x 都在点 x0连续 则 f x g x f x g x f x g x 在点 x0也连续 4 定理 若函数 f x 在点 x0连续 g u 在点 u0连续 且 u0 f x0 则复合函数 g f x 在点 x0 连续 000 0 lim lim lim xxxxxx g f xgf xg fxg f x 5 定理 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数 任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续函数 6 定理 若函数 f x 在 a b 上严格递增 递减 且连续 则其反函数 f 1 x 在相应的定义域上连 续 微积分 I 847 四 闭区间上连续函数的性质 如果函数在闭区间I上每一点都连续 那么从前面一些定理知道它在这区间上每一点的某邻域 内都具有某些性质 现在来研究连续函数在区间上具有的整体性质 即从研究局部性质转到讨论整 体性质 1 最值定理 1 定义 设函数 f x 在区间 I 上有定义 如果存在 0 xI 使得xI 都有 0 f xf x 或 0 f xf x 则称 f x 为函数 f x 在区间 I 上上的最大值 或最小值 最大最小值是在整 个定义区间上的 2 定理 若函数 f x 在闭区间 a b 上连续 则它在 a b 上必存在最大值和最小值 也就是 说 一定存在 x1 x2 a b 使得对一切 x a b 都有 12 f xf xf x 注意 闭区间 函数 f x 连续 这两个条件缺一不可 3 推论 有界性定理 若函数 f x 在闭区间 a b 上连续 则它在 a b 上有界 2 介值定理 1 定理 若函数 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 则对于 f a 与 f b 之间的任何数 u 在开区间 a b 内至少存在一点 使得 f u 2 几何意义 闭区间 a b 上连续函数 y f x 与直线 y u u 介于 f a 与 f b 之间 至少有 一个交点 注意 闭区间 函数 f x 连续 这两个条件缺一不可 3 推论 零点定理或根值定理 若函数 f x 在闭区间 a b 上连续 且 f a 与 f b 异号 则在开区间 a b 内至少存在一点 使得 f 0 4 推论 闭区间上的连续函数必能取得它的最大值与最小值之间的一切值 公共事业管理专业课程教学大纲 848 第三章 导数与微分 教学内容 引出导数概念的例题 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分 教学要求 1 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系 了解导数的几何意义 2 掌握基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则 会求分段函 数的导数 会求反函数与隐函数的导数 了解对数求导法 3 了解高阶导数的概念 会求简单函数的高阶导数 4 了解微分的概念 导数与微分之间的关系 以及一阶微分形式的不变性 会求函数的微分 本章重点 1 导数和微分的概念 导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系 2 导数的四则运算法则和复合函数的求导法 基本初等函数的导数公式及初等函数的导数的 求法 3 函数的高阶导数 4 隐函数 反函数的导数 对数求导法 函数的微分 本章难点 导数与微分的概念 导数的几何意义 导数的四则运算 复合函数求导法 高阶导 数 隐含数 反函数及取对数求导法 微积分的主要内容是微分学与积分学 从本章开始 我们将介绍一元函数微分学 导数的思想 最初是法国数学家费马 Fermat 为解决极大 极小问题而引入的 但导数作为微分学中最主要概 念 却是英国数学家牛顿 Newton 和德国数学家莱布尼茨 Leibniz 分别在研究力学与几何学 过程中建立的 在解决一些实际问题时 不仅需要了解变量之间的函数关系 有时还要借助极限工具来研究变 量变化快慢的程度 例如物体运动的速度 城市人口增长的速度 国民经济发展的速度等等 这些 问题的解决 有待于导数概念的引进 才能很好地说明这些量的变化情况 下面我们以速度问题和曲线切线斜率问题为背景引入导数概念 第一节 导数的概念 一 若干实际问题 1 瞬时速度问题 已知自由落体的运动方程为 s gt2 2 t 0 T 试讨论落体在时刻 t0 0 t0意味着切线与 x 轴正向的夹角为锐角 0fx 意味着切线与 x 轴正向的夹 角为钝角 0fx 表明切线与 x 轴平行 切线方程为 000 yf xfxxx 5 左 右导数 1 定义 设函数 y f x 在点 x 的某个邻域内有定义 若 0 00 lim x f xxf x x 存在 则 公共事业管理专业课程教学大纲 850 称之为 f x 在点 x 处的左导数 记作 0 fx 若 0 00 lim x f xxf x x 存在 则称之为 f x 在点 x 处的右导数 记作 0 fx 000 fxAfxfxA 三 可导与连续的关系 1 定理 若函数在点 x x0处可导 则函数在 x x0处连续 2 注意 1 定理的逆命题不成立 2 定理的逆否命题一定成立 即若函数在点 x x0处不连续 则函数在 x x0处不可导 3 可导函数的导数不一定连续 第二节 导数的基本公式与运算法则 上一节我们由定义出发求出了一些简单函数的导数 对于一般函数的导数 当然也可以按定义 来求 但极为繁琐 下面我们将引入一些求导法则 利用这些法则 能较简便地求出初等函数的导 数 一 四则运算法则 2 1 2 3 u vxuvuv uvu vuv uu vuv vv 设都是 的可导函数 则有 1 011 12 011 1 nn nn nn n f xa xa xaxa fxna xna xa L L 多项式函数的导数为 二 复合函数求导 设 ux 在点 x 可导 yf u 在相应的点 u 可导 则复合函数 yfx 在点 x 可导 且 x dydydu yfux dxdudx 或 三 隐函数求导 对隐函数求导时 只要把 y 看作 x 的函数 利用复合函数求导法 将方程 F x y 0 的两边分别 对 x 求导数 然后解出 yx 即得隐函数的导数 显隐互换求导法 基本思路 对一些利用定义或利用求导法则来计算导数较繁琐的显函数 即可通过转化为隐函 数的形式进行求导 四 对数求导法 先对表达式的两边取自然对数 以便把乘除运算换成加减运算 然后再在等式的两端再对 x 求导 注意 这种方法的适用范围 函数表达式为若干因子连乘积 乘方或商的形式 微积分 I 851 五 反函数求导 设 y f x 为 x g y 的反函数 若 g y 在点 y0的某邻域内连续 严格单调且 g y0 不为零 则 f x 在点 x0 x0 g y0 可导且 0 0 1 fx g y 六 分段函数求导 对于分段函数 其各区间段内导数的求法与一般所讲的导数的求法无异 要特别注意的是分界 点处的导数一定要用 左 右 导数的定义求 即 0 0 0 0 00 0 00 lim limlim xx xx f xf x fx xx f xxf xy fx xx 或者 其中 x0是分界点 七 导数公式 八 综合例题 九 高阶导数 函数 y f x 对 x 的导数 x f 叫一阶导数 x f 仍然是 x 的函数 若 x f 在点 x 处可导 则称此导数为原函数 y f x 的二阶导数 记作 2 2 d y fx dx 或 第三节 微 分 在实际问题中 当需要了解一个变量在某时刻取得一个微小的改变量 从而引起另一个变量的 改变量的大小时 便需要利用微分的概念 先考察一个具体问题 设一边长为x的正方形 它的面积 2 Sx 是x的函数 若边长由 0 x增 加x 相应地正方形面积的增量 222 000 2 Sxxxxxx 它由两部分组成 第一 部分 0 2xx 是x 的线性函数 第二部分 2 x 是较x 高阶的无穷小量 2 xx 由此可见 当给边长 0 x一个微小的增量x 时 由此所引起正方形面积的增量S 可近似地用第一部分 x 的线性函数 0 2xx 来代替 由此所产生的误差是一个较x 高阶的无穷小量 一 微分的概念 1 定义 若函数 f x 在点 x 处有导数 f x 自变量的改变量为 x 当0 x 时 因变量 的改变量 yf xxf x 可写为 yfxxOx 则称 fxx 为 公共事业管理专业课程教学大纲 852 函数 y f x 在点 x 处的微分 或称函数 y f x 在点 x 处可微 记作 dyfx dx 其中dxx 叫做自变量的微分 dyfx dx dy fx dx 2 可导与可微的区别 实质上 微分 dy 既与 x 有关 也与 dx 有关 而 x 与 dx 是互相独立的两个变量 由 dy fx dx 得一元函数的可导性与可微性是等价的 其实 求一元函数的微分实质上就是求 一元函数的导数 二 微分基本公式及其运算法则 1 d f xg xdf xdg x 2 d f xg xg x df xf x dg x 3 2 f xg x df xf x dg x d g xgx 4 复合函数的微分 设有复合函数 yf u ug x 于是按复合函数的求导法则 有 dyfg xg x dx dydy du fg xg x dxdu dx 三 微分形式的不变性 不论x是自变量 还是中间变量 函数 yf x 的微分形式总是 dyfx dx 定理 函数 f x在点 0 x可微当且仅当 f x在点 0 x可导 四 近似计算 增量与微分的关系 00 yf xxf x 0 yfxxxdyx 当0 x 时 0 xydy 即 000 000 f xxf xfxx f xxf xfxx 微积分 I 853 第四章 中值定理 导数的应用 教学内容 中值定理 未定式的定值法 罗彼塔法则 函数的增减性 函数的极值 最大值 与最小值 极值的应用问题 曲线的凹向与拐点 函数图形的做法 变化率及相对变化率在经济中 的应用 边际分析与弹性分析介绍 教学要求 1 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 掌握着两个定理的简单应用 2 会用罗彼塔法则求极限 3 掌握函数单调性的判别方法及简单应用 掌握函数极值 最大值和最小值的求法 含简单 的应用题 4 会用导数判断函数图形的凹向 会求函数图形的拐点和渐近线 5 会做简单函数的图形 6 了解导数的经济意义 边际和弹性的概念 本章重点 1 罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理 柯西 Cauchy 中值定理及其应 用 2 罗彼塔 L Hospital 法则求不定式的极限 3 导数判断函数的单调性和求函数的极值 求解较简单的最大值和最小值的应用问题 4 导数判断函数图形的凹向 求拐点 描绘简单函数的图形 包括水平和铅直渐进线 5 导数的经济学应用 本章难点 中值定理 罗彼塔法则的应用 用导数判断函数单调性 极值 凹向和拐点 第一节 中值定理 导数只是反映函数在一点附近的局部特性 但要应用导数来了解函数在区间上的整体性态 还 须借助本节将要介绍的微分学基本定理 中值定理 它是从局部性质推断整体形态的有力工具 一 罗尔中值定理 定理 1 Rolle 中值定理 若函数 f 满足如下条件 f 在闭区间 a b 上连续 f 在开区间 a b 内可导 f a f b 则在 a b 内至少存在一点 使得 0f 几何意义 在每点都有切线的一段曲线上 若两端点的高度相同 则在此曲线上至少存在一条 水平切线 罗尔定理肯定了点 的存在性及其取值范围 却不能肯定点 的确切个数及准确位置 注意 定理中三个条件缺一不可 但也不能认为定理条件不全具备 就一定不存在属于 a b 的 使得 0f 公共事业管理专业课程教学大纲 854 二 拉格朗日中值定理 定理 2 Lagrange 中值定理 若函数 f 满足如下条件 f 在闭区间 a b 上连续 f 在开区间 a b 内可导 则在 a b 内至少存在一点 使得 f bf a f ba 拉格朗日公式 几何意义 如果曲线弧 AB是连续的 除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线 则在曲线弧 AB 上至少有一点 C 在该点处曲线的切线平行于弦 AB 几种变形 可根据不同场合灵活采用 f bf afba ab 01f bf afababa 01 f ahf afah hbah 则 f x 在 a b 内单调增加 如果 xa b 时恒有 0fx 则 f x 在 a b 内单调减少 注意 如果在区间 a b 内 0fx 或 0fx 但等号只在个别点处成立 则函 数 f x 在 a b 内仍是单调增加 或单调减少 的 第四节 函数的极值 函数的极值不仅在实际中有重要的应用 而且也是函数性态的重要特征 下面主要讨论可导函 数极值的判别方法 1 定义 设函数f x 在点x0的某邻域内有定义 如果对该邻域内一切异于x0的x 恒有f x f x0 则称 f x0 是函数 f x 的一个极小值 点 x0 称为函数 f x 的极小值点 2 说明 极值的局部性 极值是曲线增减的局部转折点 3 定理 必要条件 设函数 f x 在点 x0处具有导数 且 x0是极值点 则必有 0 0fx 4 说明 此命题的逆命题不一定成立 极值点还有可能是导数不存在的点 所以 函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点 反之不成立 5 定理 极值的第一充分条件 设函数 f x 在 x0的某邻域 x0 x0 内连续并且可导 但 在点 x0处导数可以不存在 1 如果当 00 xxx 时 0 0fx 而当 00 xx x 时 0 0fx 则函数 f x 在点 x0处取极大值 f x0 2 如果当 00 xxx 时 0 0fx 则 函数 f x 在点 x0处取极小值 f x0 3 如果当 0 o xUx 时 0 fx不变号 则 f x 在 x0处无极值 6 求极值的步骤 1 求出函数 f x 在其定义区间内的所有驻点或导数不存在的点 2 确定 fx在上述各点两侧邻近的符号 3 应用极值的第一充分条件判定上述各点是不是函数 f x 的极值点 是极大值点还是极小 值点 计算出点的函数值 就得到函数 f x 的极值 7 定理 极值的第二充分条件 设函数 f x 在点 x0处具有二阶导数 且 0 0fx 0 0fx 那么 1 若 0 0fx 则 x0是函数的极小值点 微积分 I 857 2 若 0 0fx 则 x0是函数的极大值点 第五节 最大值与最小值 极值的应用 在工农业生产 经济管理和经济核算中 常常要解决在一定条件下 如何使投入最小 产出最 多 成本最低 效益最高 利润最大等问题 这些问题反映在数学上 就是求函数的最大值和最小 值问题 由连续函数在闭区间上的性质我们知道 若函数在闭区间上连续 则该函数再次区间上存在最 大最小值 这给出了函数在闭区间上存在最大 小 值的充分条件 下面将讨论怎样求出这个最大 小 值 1 极值与最值的区别 2 最值可能出现的地方 端点的函数值 区间内使 0fx 及 fx不存在的点的函数值 3 闭区间上求最值的方法 1 求出函数在闭区间上所有驻点和不可导点 设其为有限个 得到可能极值点 x1 x2 xn 2 计算出函数值 f x1 f x2 f xn 以及 f a f b 3 比较 2 中所有函数值的大小 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 4 注意 1 闭区间上单调函数最值为其端点处函数值 2 如果函数在开区间上有且仅有一个极大值 而没有极小值 则此极大值为函数的最大值 极小值亦然 3 在某些实际问题中 往往可以根据问题的实际意义确定可导函数 f x 的最值一定在定义 区间内部取得 这时 如果 f x 在定义区间内只有唯一的驻点 则不必讨论该驻点是否为极值点 可直接断定该驻点处是函数的最值 第六节 曲线的凹向与拐点 大家已经熟悉函数 2 f xx 和 f xx 的图像 它们的特点是 曲线 2 yx 上任意两点间 的弧段总在这两点连线的下方 而曲线yx 则相反 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方 公共事业管理专业课程教学大纲 858 1 定义 如果在某区间内 曲线弧位于其上任意一点切线的上方 则称曲线在这个区间内是 上凹的 并且它在该区间上满足 12 12 1 22 xx ff xf x 2 对于上凹曲线当自变量由小增大时 对应点处的切线斜率也由小增大 下凹曲线当自变量由小增大时 对应点处的切线斜率也由大变小 3 定理 设函数 f x 在区间 a b 内具有二阶导数 那么 1 如果 xa b 时 恒有 0fx 则曲线 y f x 在 a b 内上凹 2 如果 xa b 时 恒有 0fx 则曲线 y f x 在 a b 内下凹 4 定义 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点 显然 拐点是使得 0fx 或者 fx 不存在的点 5 确定连续曲线 y f x 的凹向和拐点步骤 1 求出 fx在定义区间内所有零点和不存在点 2 确定 fx在上述各点两侧附近的符号 3 根据定理判断各点两侧附近 f x 的凹性 如果凹性相反 则 x0 f x0 为拐点 若相同 则 不是拐点 第七节 函数图形 在中学里 我们所学的描点作图法 首先求出几个点的坐标 然后把它们逐个连接起来 就得 到函数的图像 一般来讲 这样得到的图象比较粗糙 某些弯曲情形常常得不到确切的反映 现在 掌握了微分学这个工具以后 就能在描点的基础上进一步研究函数的性态 再结合周期性 奇偶性 等知识就能比较完善地做出函数的图像 函数作图步骤如下 1 确定函数的定义域 2 确定函数奇偶性 以观察曲线的对称性 3 讨论函数的单调性 并确定极值点 4 讨论函数曲线的凹向 确定拐点 5 讨论函数曲线的渐近线 6 由曲线方程找出一些特殊点 如不连续点 不可导点 与坐标轴的交点 微积分 I 859 第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用 一 函数变化率 边际函数 1 定义 设函数 yf x 可导 导函数 fx也称为边际函数 00 f xxf xy xx 称为 f x在 00 x xx 内的平均变化率 平均变化速度 f x在 0 xx 处的导数 0 fx 称为 f x在点 0 xx 处的变化率 也称为 f x在点 0 xx 处 的边际函数值 变化速度 2 f x在 0 xx 处 当x产生一个单位的改变时 y近似改变 0 fx个单位 000 00 111 x xx xx x xdxdx ydyfx dxfx 二 成本 1 在短时间内不发生变化或不明显地随产品数量增加而变化的 如厂房 设备等 称为固定 成本 记作 C1 2 随产品数量的变化而直接变化的部分 如原材料 能源等 称为可变成本 它是产量的函 数 记作 C2 Q 3 生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入 劳力 原料 设备等 的价格或费用总额 称为总成本 它是由固定成本与可变成本组成 C C Q C1 C2 Q 1 线性成本 C Q C1 cQ 2 二次成本 C Q a bQ cQ2 4 生产一定量产品 平均每单位产品的成本 称为平均成本 12 CC QC Q CC Q QQQ 5 总成本的变化率 称为边际成本 CC Q 边际成本 C Q应表示当已生产了 Q 个单位产品时 再增加一个单位产品时总成本增加的数 量 6 总成本与平均成本和边际成本的关系 三 收益 1 销售者售出一定数量商品所得的全部收入 称为总收益 记作 R R Q 公共事业管理专业课程教学大纲 860 2 售出一定数量的商品时 平均每售出一个单位商品的收入 称为平均收益 也就是销售一 定数量商品时的单位商品的销售价格 R Q R Q Q 3 总收益的变化率 称为边际收益 R Q 它表示销售 Q 个单位产品后 再销售一个单位 的产品所增加的收益 4 若已知需求函数 P P Q 其中 P 为价格 Q 为销售量 则总收益 R Q QP QP Q 边际 收益为 R QP QQP Q 5 生产一定数量的产品的总收入逾总成本只差 称为总利润 L QR QC Q 6 总利润的变化率 称为边际利润 L QR QC Q 它表示若已经生产了 Q 个单位的产品 再多生产一个单位的产品总利润的增加量 7 最大利润原则 L Q取得最大值的必要条件 0L Q L Q取得最大值的充分条件 0L Q 则称该商品的需求量对价格富有弹性 即价格变化 将引起需求量的较大变化 若将其价格提高10 则其需求量下降超过10 因而总收益减少 反之 若将其价格下降10 则其需求量增加将会超过10 因而总收益会增加 即对富有弹性 的商品 减价会使总收益增加