演绎与化归精品教案免费.doc

第七章 演绎与化归一、演绎与化归内容概括本章主要内容有一下方面： 公理方法以及公理方法的作用和意义； 化归方法的含义、化归方法的基本原则和实现化归的常用途径。下面就这些方面进行具体分析：1公理方法以及公理方法的作用和意义公理化方法总是与演绎推理联系在一起。 演绎推理演绎推理是以一个一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法，即一般到特殊的推理方法。三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。我们看下面的推理：例 偶数能被2整除。（1） 是偶数。（2） 能被2整除。（结论）这是一个三段论，它包含有三个概念：被2整除、 、偶数。结论中作谓项的“被2整除”是大项，作主项的“ ”是小项，结论中不出现而在前提中出现两次的“偶数”是中项，大项“被2整除”包含于前提（1），（1）是大前提。小项“ ”包含于前提（2），（2）是小前提。小项、大项、中项若分别用字母S、P、M 表示，那末三段论的一般形式可表示为：三段论在实际应用中，人们常常把不言自明的部分略去。这种在表达中把某一个众所周知的命题略去，而仅在思维中存在着的三段论叫做省略三段论。如例2 因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除。这是省略了大前提“各位数字之和能被3整除的数都能被3整除”的三段论。 例4 等底同高的两个三角形的面积相等，而ABC和AMN是等底同高的三角形。这是省略了结论的三段论。演绎推理的前提蕴涵着结论，它的前提与结论之间存在有必然性的联系。因此，当它的前提为真时，结论必然为真。这是演绎推理的根本特点。演绎推理的“前提为真，结论必真”这一根本特点，决定了它是建立任何一门数学学科的主要工具。数学科学就是一门演绎的科学。任何一门数学学科的理论，都是由一组基本概念和关系（公理）出发，不断形成新的概念，确立新的关系。并通过演绎推理，按照逻辑顺序，由上述基本概念、关系和公理推出新的判断和推论，逐步建立起学科理论体系。 公理方法公理方法就是从初始概念和公理出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。由初始概念、公理、定义、逻辑规则、定理等构成的演绎体系叫做公理体系。公理方法是构成公理体系的方法，公理体系是由公理方法得到的数学理论体系。人的各种认识都是由概念、命题、理论等思维形式表述出来的。我们对概念的认识是对它作出思维中的“规定”，即通过定义来认识它们的，但一个理论表述体系中的第一个概念往往是这个体系中最抽象的概念，它往往是无法定义的。因为如果对一个理论体系中的每一个概念都下定义，必将出现循环定义，而这在逻辑上是不允许的。在许多数学理论体系中都用“集合”作为不定义的概念，利用集合概念定义出其他所有概念。对多数数学分支来说，集合都是一个最抽象的概念，它具有最少的规定性。例如自然数就是用集合来定义的。数学理论体系中的命题也有类似的情况，一个数学理论体系中必然要有在本体系内不加证明的命题（公理），以它们为依据，渐次证明出其他所有的命题（定理）。如果要求一个数学理论体系的每一个命题都给以证明，那必然会引起循环论证。在公理体系中，所有的命题都以一定的次序在体系中占有一定的位置；每一个命题都是由在它之前的某些命题通过演绎推理得到的，而那些作为演绎前提的命题则是它前面的命题的结论。这样一直追溯到不证明的公理（初始命题）为止。当然在体系中，上述过程采用了提出命题和证明命题的形式，推理的前提作为证明的论据。体系中的公理是关于初始概念的命题，由于初时概念是体系中最抽象的概念，所以公理也就是体系中最一般的命题。公理体系中的其他命题（定理）都可以由公理（借助于新概念的定义）演绎出来，说明了它们实质上是作为特殊的东西“包含”于公理之中，就是说，公理体系是一个表述由一般到个别的认识过程的体系。 具体的公理体系现实的公理体系古希腊欧几里得的几何原本是人们所建立的第一个公理体系，由于它具有特定的研究对象，其公理以人们的直观经验为基础（反映为认为公理是自明的），所以称为具体的公理体系。几何原本贯彻了两条逻辑要求。第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。几何原本是以“点”、“直线”、“平面”，“在上”等为初始概念的，但字面上却也给出了定义。（I）点是没有部分的。（II）线是只有长度而没有宽度的。（III）面是只有长度和宽度的。不过在其内容展开时即命题的证明中并没有利用这些“定义”，即没有前节所说的那样，把它们作为公理来使用，因此，实际上它们是不定义的初始概念。给出了这三个定义，说明欧几里得并没有弄清一个公理体系里必须有不定义的概念。定义上的另一个问题是有的定义用了前面没有定义的概念，例如，圆的直径定义：“圆的直径是过圆心而两端终止在圆周上的任意直线，且把圆二等分”，其中“圆周”是没有定义过的。 公理的选定也是有缺陷的，例如公设l说过两点有一条直线，但整个公理系统中并没有指明它的唯一性，而证明中却用到了两点连线的唯一性。 在定理的证明方面也有不严格的地方，主要是公理不够用就运用了直观，依赖于图形，例如在三角形内引一直线必与三角形一边相交就没有公理保证，几何原本中是依图形“直观”地认为必有交点的。所有这些缺陷大都是由于过份依赖直观和认为数学直接是世界本质的信念而产生的，这在数学发展之初，是难以避免的，当时许多数学观念就是直接从现实中抽象出来的，因此具有直接符合现实世界的性质。在一定程度上可以说，几何原本所提供的就是一个用绳子来测量现实世界的数学模型，直线相当于拉紧了的绳子，直线上的点相当于绳子上最小的一段，平面相当于两条相交直线张成的部分，而球面就相当于把绳子的一端固定时由另一端生成的曲面。 抽象的公理体系-非欧几何体系随着人类实践的发展，科学不断地发展着，人的智力也不断得到发展。在科学理论的发展中努力排除直观的影响，增添科学的理性成分。在数学中，人们自然要求数学证明的前提公理所满足的条件比“自明”更可靠一些。首先对自明性进行了研究。这种研究指向了“第五公设”（若一直线与两直线相交，且若同侧所交之两内角之和小于两直角，则两直线延长后必交于该侧的一点。），经过2000多年，产生了非欧几何学。先是罗巴切夫斯基几何学，过直线外一点可引无数条直线与该直线不相交；20年后，黎曼建立了另一种过直线外一点不能引出该直线的平行线的新几何学黎曼几何学。为什么从第五公设的试证工作能得出几种新几何学来，改变了欧氏几何唯一正确的局面呢？为了解决有限和无限的矛盾，直观和想象的矛盾，经过人们千余年的努力，由于科学的进步和人类思维能力的发展，终于在19世纪建立了各种几何理论。现仅就前面指出的欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的一些原则差异作一比较（见表7-1-1）。从表中可以看出，罗氏几何与黎曼几何，与我们的直观表象有多大的不同，因此在它们建立后很长时间也没有被人们所接受，直到1868年贝尔特拉米和1870年克莱因在欧氏几何之中建立了非欧几何的模型，把非欧几何解释为欧氏几何（克莱因的模型就是把一个罗氏平面解释为图7-1-1中不包括圆周的圆的内部），非欧几何才得到了公认和较大的发展。20世纪初，爱因斯坦（Einstein A18791955，德国，美国）利用非欧几何作为工具，提出相对论，后来得到了实践的检验，人们才真正承认了非欧几何的真理性。 非欧几何的发现，对于数学、科学以及人类认识的发展都有着重大的意义，这里只谈它对数学公理化方法的意义。 非欧几何的发现促进了公理法的发展，它使人们认识到：（I）在一个数学理论体系内存在着不可判定的命题。（II）公理系统作为一个整体应该满足一定的可以判定的条件，无矛盾性就是最重要的条件。 （III）对公理系统性质的证明可以采用“解释”法，这是对公理方法的一大贡献。解释法的采用扩大了具体的公理体系的论域，对公理体系作不同的解释就能得到不同的论域。虽然非欧几何仍然是与特定的论域如点、线、面等联系在一起的，但不同的解释也使点、线、面等具有了不同的意义。如果进一步抽象化，公理体系不与任何论域相联系那就发展到形式公理体系了。非欧几何在这个问题上是由具体的公理体系向形式公理体系的一种过渡，由于它的公理体系只是作为一个演绎理论的出发点，从欧几里得的直观信念中解放出来了，所以叫做抽象的公理体系。 希尔伯特的形式公理体系完备的公理化体系19世纪在公理法方面取得了突破性的进展，在这个基础上，抽象的公理法进一步向形式化的方向发展。1899年，希尔伯特出版了名著几何基础，解决了公理法的若干理论问题，如公理系统的无矛盾性、独立性和完全性的证明等问题，并且给出了欧氏几何的一个完全的公理系统，包括5组20个公理。 公理方法的作用从欧几里得提出第一个公理体系，在数学中采用了公理法，到现在已有2000多年了。在这漫长的历史年代中，一方面公理法逐渐趋于成熟和完备，不断深入发展，另一方面公理法有了极其广泛的应用，现代数学的各种理论，几乎都是以公理法表述出来的。其他科学中也广泛采用了公理法，例如力学、热力学和化学等等。力学中甚至建立了好几种公理体系，例如牛顿的经典力学是个具体的公理体系，现代理论力学则采用了一个形式的公理体系。公理法在数学以至于其他科学的发展中作出了重要的贡献，发挥了重要的作用：（1）公理法使有关的知识系统化，把它们按某种逻辑顺序构成一个体系，因而使人们便于系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质，也便于理论和实践的结合。（2）公理法是应用演绎推理的基本方法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一种理性证明的手段。实际上，各门科学中的理性证明都离不开演绎推理，而所用的演绎推理与公理法都有一定的联系。（3）公理法的建立和应用要求一门科学的充分成熟：积累了一定数量的基础知识，进行了一定的系统分析和研究，对该门学科知识结构体系有了较深入的理解。因此实现公理化的过程也是深入研究理论体系的过程。采用公理法还可以发现和补充理论系统中的缺陷和漏洞，从而有利于完善已有的理论与创建新的理论。（4）公理法是表述科学理论一种比较完善的方法，它为各门科学提供了一种思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促进理论的完善和严格化。公理法之所以对于数学以至于科学的发展起如此巨大的作用，是由于它作为一种思想方法，体现了在数学中理论思维由具体到抽象、再由抽象到具体的发展道路。而且公理法表现了人类认识的主观能动性。例如各种非欧几何理论，后来的实践证明，这种超越了当时实践的理论仍然反映了现实世界的某一领域的规律性。这是人的主观能动性的一个重要方面。公理法对数学以致于科学的发展起着重要的作用，具有重大的意义，但公理法并非万能，也有局限性。首先，人们的思维方法不只是演绎方法，还有归纳法、类比法等多种思维方法。人类思维 （包括数学思维）不能离开其他思维方法。其次，一般地说，公理法是一种“总结”的“封闭式”的方法而非“发现”的、“创造性”的方法。通常是在理论较成熟时使用的，在理论提出之初还要使用其他科学方法。现代科学中，除了数学外，只有少数几门科学（如理论力学）实现了公理化。其他科学中，尤其是 发展一个新的学科时，实验、观察、归纳、类比等方法都是不可缺少的。2化归方法的含义、化归方法的基本原则和实现化归的常用途径 化归方法的含义所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。”也许这种比喻有些夸张，但却形象地道出了化归的根本特征：在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。如学生已经掌握了一元二次方程的求根公式和韦达定理，因此，一元二次方程就是一个数学模式，而将双二次方程ax4+bx2+c=0(a0) 通过换元化归为一元二次方程就是将该问题模式化，规范化。化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。化归对象，即把什么东西进行化归；化归目标，即化归到何处去；化归途径，及如何进行化归。上面所举的例子中，双二次方程是化归的对象，一元二次方程是化归的目标，换元是实施化归的方法。实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。教材中的例2 解方程组就是将二元一次方程组化归为一元一次方程解决。在解二元一次方程组时化归方法进一步得到应用，它的思路将二元一次方程化归为一元一次方程，而化归的方法则是代入消元法，解二元一次方程的关键是消元，代入法只是使其化归为一元一次方程的手段。以上几个问题的解决有一个共同的特点，就是通过转化，将待解决的问题归结为一个已解决或容易解决的问题这种求解问题的过程可以用下图表示： 这也可以看作是化归的一般模式。 化归方法的基本原则为了更好地实现有效的化归，在化归过程中应遵循以下几个原则： （1）简单化原则简单化原则是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，通过化归，将其变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。（2）熟悉化原则熟悉化原则是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如，二元方程组化成一元方程组。（3）和谐化原则和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。 化归的途径在运用化归原则解决数学问题时，常体现在以下几方面：（1）分解与组合分解与组合是实现化归的重要途径。所谓分解，就是把一个复杂的问题分成若干个较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。诚然，在许多情况下，“分解”并不能单独解决问题，为了使化归过程的完全实现，还要结合“组合”，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。分解与组合是相辅相成的，也是和谐统一的。其模式可用框图表示如下： 照常规解法可用公式（2）恒等变形我们知道，恒等变换就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方法、因式分解等恒等变换，都起到将复杂（难、未知）的问题化归为简单（易、已知）的问题的作用。利用恒等变换，常常可将超越方程化成代数方程，无理方程化成有理方程，分式方程化成整式方程，高次方程化成低次方程。综上所述，化归在数学中是一个非常基本的思想方法，它有着十分广泛的应用。不仅许多重要数学方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。如几何中空间向平面、曲线向直线的转化；代数中超越式向代数式、高次向低次的转化；分析中无限向有限、多元向一元的转化以及具体与抽象、变与不变的转化和变更问题方法等等。 化归方法在教学中的应用数学思想方法是数学的重要基础，是数学教学的必要内容。现代数学教育理论认为：数学教育目的不仅是传授知识，更重要的是培养能力和发展学生的思维；考察一个人的数学文化素养，主要表现在用数学思想去观察、分析、处理现实中的数学问题。因此，加强数学中最基本的思想方法化归方法的教学是非常必要的。化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：（1）利用化归方法学习新知识数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法。比如，有理数的定义（引进）是建立在整数（或自然数）的基础上的，有理数运算法则和大小比较的确定，其基本思想是将其化归为整数（自然数）的运算和大小比较，它是借助绝对值来实现有理数向正数转化的。同样，实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，又是建立在有理数运算和大小比较的基础上的，它是借助极限来实现这种转化的。又如，在掌握了三角形内角和的计算之后，要计算多边形的内角和，我们可将这个多边形分割成若干个三角形，这样就把所求的多边形内角和的问题化归为计算三角形内角和的问题。（2）利用化归方法指导解题化归方法主要是作为一种解决问题（而不是发现问题）的方法。化归在解题过程中应遵循的三个原则，在解题中具有思维导向的功能。解题过程是培养学生化归思想方法的一个方面，教学中既要教会学生一些常用的化归方法，更要使学生掌握蕴含于具体方法中的化归策略思想，把待解决的问题置于动态之中，以变化、发展、联系的观点去观察、分析问题，着意对问题进行转化，使它归结为易于解决的问题。（3）利用化归原则理清知识结构运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识网络，做到易懂、易记、易用。例如，在复习初中代数知识的时候，利用化归方法，借助于绝对值概念，可将已有理数运算化归算术数运算，这样，有理数内容就很容易掌握了。又如，用字母代替数则产生代数式。由于字母在代数中的位置不同，从而可得到不同的代数式，根号内含字母的为无理式，根号内不含字母的为有理式，分母中不含字母的有理式为整式，分母中含字母的有理式为分式。整式、分式、无理式都可以应用化归方法通过已学过的简单知识去掌握。利用同类项概念，整式运算可化归为有理数运算；分式通过通分、约分可化为整式运算；无理式在化为最简根式后，则可化归为有理式运算。再如，用等号连结两个代数式就得到方程，若用不等号连结两个代数式就得到不等式。而方程、不等式的求解过程乃是通过移项法则和运用等式、不等式性质，将它们化归为式的运算。由于用等号连结的代数式有整式、分式、无理式，所以也就得到了整式方程、分式方程、无理方程。逆转上述的化归过程，就可得到如下有关数、式、方程的知识结构图。二、学习重点、难点解析重点：公理方法、化归方法及其应用。1公理方法和公理体系解释公理方法始于古希腊欧几里得的几何原本。它从五个公设和五条公理出发，运用演绎方法将当时所知道的几何学知识全部推导出来。这是一个十分伟大的成就。它的意义已不限于数学，它已经成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。几何原本的公理按现代观点来看是不够严格的。希尔伯特在1899年出版的几何基础将公理化思想明确而严格地确立了下来。他对公理化提出了三条逻辑上的要求： 独立性，即各条公理相互独立，不能由一条推出另外一条。 无矛盾性，即各条公理之间没有矛盾，从一条公理推出的结果不能与另一条公理矛盾。 完备性，即通过它能推出该学科已有的全部重要命题。这种对某门学科进行公理化的方法，是人们追求的目标。理论力学、牛顿力学、量子力学都有公理化的工作出现。至于在数学领域内，几何公理，算术公理和集合公理是研究最深刻的。从数学公理发展的三个阶段我们可知，它是一个由个别（欧氏空间）上升到特殊（各种几何空间），再上升到一般（一般意义下的空间）的过程，最后形成了数学中普遍适用的公理化这种科学的方法。由具体的公理方法（个别）到抽象的公理方法（特殊）再到形式化的公理方法，这是一个辩证的发展过程，是一个由低级到高级，由具体到抽象，从依赖直观到完全抽象的发展过程。由最初用公理作为整理经验材料的方法发展为用公理方法作为探求新结果的一种手段，由在几何上单科应用发展为在数学中普遍应用，并逐步推广应用于自然科学中，这就是数学公理方法发展的主要内容。我们用下图来表示这种发展的关系：具体公理体系和形式公理体系的比较2形式化的公理体系解释希尔伯特公理体系是舍弃了一切与推导（演绎推理）无必然联系的东西而形成的公理体系，因而称式的公理体系。在欧氏几何原本的公理体系中，概念直接反映着数学实体的性质，而且那些概念、定义、公理的表述以及定理的论证往往受到直观的束缚，因而欧氏公理体系有时也称为实体公理体系。然而在希氏几何学基础中，不仅在公理的表述或定理的论证上都已摆脱了空间观念的直观成分