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文档简介

3.1.5 复合函数的求导一、基础知识梳理：（一）复习引入：几种常见函数的导数公式函数导数 (C为常数)2和（或差）的导数 (uv)uv3积的导数 (uv)uvuv (Cu)Cu 4商的导数uv=uv-vuv2(v0)（二）讲授新课1复合函数：对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数 u= (x)是自变量x的函数 则称y=f (x) 是自变量 x的复合函数.例如 y(3x2)2由二次函数yu2 和一次函数u3x2“复合”而成的yu2 (3x2)2 像y(3x2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数练习1：指出下列函数是怎样复合而成的2. 复合函数的导数复合函数的求导法则： 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。一般地，设函数uj(x)在点x处有导数uxj(x)，函数yf(u) 在点x的对应点u处有导数yuf (u) ，则复合函数yf(j(x) 在点x处也有导数，且 yx yuux或写作 f x (j(x)f (u) j(x)例1 求y (3x2)2的导数解：法1 y(3x2)2 (9x212x4)18x12 法2 yxyuux函数y (3x2)2又可以看成由yu2 ，u3x2复合而成，其中u称为中间变量由于yu2u，ux3，因而 yxyuux 2u32u32(3x2)318x12例2 求y(2x1)5的导数解：设yu5，u2x1，则 yxyuux (u5)u(2x1) x5u425(2x1)4210(2x1)4例3. 求函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)的导数练习2. 若，求f（1）例4.求 的导数解： 设yu4，u13x，则yxyuux(u4)u(13x)x4u5(3)12u512(13x)5复合求导法则可以推广到两个以上的中间变量例5.求的导数。解析：y=u2，u=sinv，v=2x+yx=yuuvvx练习3. 求y=xtanx的导数.求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导。一般地，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。例6求的导数解：例7 求的导数解法1：解法2：练习4. （安徽高考）求 的导数二课堂小结复合函数的导数：f x (j(x)f (u) j(x)注意：1.准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.2.复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合运用，通过一些初等函数的导数，逐步掌握复合函数的求导法则。三课后作业1 求的导数。2求的导数3求导：（1）（2） （3）（4）4当时，求证：5求证：方程只有一个根
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