静电场：原理与方法.doc

专题17 静电场：原理与方法 在这个专题里，我们探讨有关静电场的一些重要原理以及场强、电势和电荷分布等问题的处理方法。 相对于观察者静止的电荷所产生的电场被我们称为静电场，静电场最重要的外观表现一是对进入电场的任何带电体都产生力的作用；一是当带电体在电场中移动时，电场力做功，说明静电场具有能量。电荷守恒定律、库仑定律、高斯定理、场叠加原理、唯一性原理都是反映静电场这两大表现所具性质的基本规律。 在摩擦起电、接触起电、感应起电或其他方法使物体带电的过程中，正、负电荷总是同时出现且量值一定相等，当两种等量异种电荷相遇发生中和时，物体不再带电，即一种电荷消失时必然有相等量值的异种电荷同时消失。实验证明：对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变原来为零的始终为零，原来为某一量Q的，则始终为Q，此即电荷守恒定律，是物理学中的基本定律之一。在静电场中，它与电场具有能量并遵从能量守恒是相承相容的。许多静力学问题都须依据这一原理来解决。 例1 一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q如果球在第一次与板接触后带电量为q，求球可获得的最大电量。 分析与解 球在第一次与板接触后获得的电量为q，说明有量值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为(Qq)，即球与板这一系统中的总电量是按的比例分配到球上与板上的。那么，当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能向与之接触的球迁移时(此时两者等电势)，球上的电量达到最大，若设为qmax，则应有，故可求得球可获得的最大电量。 点电荷间的库仑定律，是静电学的基本定律，库仑定律给出点电荷间相互作用力与距离平方成反比，它的内涵是很丰富的，它导致静电场是“有源场”即我们熟悉的电场线总是从正电荷(源头)出发、到负电荷(尾闾)终止的结果；它导致静电平衡的导体电荷分布在外表面而内部场强为零；它可以导出下面将做介绍的揭示静电场场强分布规律的高斯定理。 库仑力与万有引力均为平方反比力，点电荷电场与质点引力场的许多性质，具有可类比性。在专题11中我们整理过的关于引力场的各种结论，往往通过平移对称操作，对电场同样适用，常用模型与方法也往往是相通的。如引力场中曾被牛顿证明过的一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，即球壳内引力场处处为零。这个结论平移到一个均匀带电球壳，则球壳内电场强度处处为零；又如，对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心r(R)处质点只受到半径为r的球内质量的万有引力，“引力场强”，而r以外的球壳(即R为外径r为内径的球壳)则对质点无引力的作用。这个结论平移到一个均匀带电、半径为R的实心球，在距球心r(R)处的场强只由半径为r的球内电荷贡献：，而与r以外的球壳所带电荷无关，等等。OqAqBFBFAx 例2 把两个相同的电量为q的点电荷固定在相距为l的地方，在二者中间放上第三个质量为m电量亦为q的点电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动，证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期T。 分析与解 如图171所示，O为等量同种正电荷连线的中点，该点场强为零，则第三个电荷置于该点处于平衡，受扰动后，设其有一位移x，此时电荷受A、B两处点电荷的库仑力方向如图示，以位移方向为正，合力为注意到小幅振动，是小量，则有可见第三个点电荷所受合力为线性变化力且方向总与位移相反，故为简谐运动，周期。场强、电势和电荷分布等问题由于数学计算的困难，能够用初等数学精确求解的只在一些具有很强对称性的情况下。例如点电荷及一对等量同种或异种点电荷形成的电场的场强与电势分布；均匀带电球体内、外各点的场强与电势分布；孤立带电导体球的电荷分布，等等。例3 均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在球面上划出很小一块，它所带电量为q(qQ)。试求球壳的其余部分对它的作用力。分析与解 这个问题中，待求力是带电球壳的内力，且对称分布，宜用微元法求解。如图172所示，A是球面上划出的很小一块面积元，因带电量q，故可视作一点电荷，其在A内、外两侧引起的场强大小相等设为Eq、方向相反。现设球壳其余部分在A处的场强为EA，则A内侧面作为球壳内部，场强应为零，故有EqEqqA 而A外侧，由均匀球壳场强公式，可得 由以上两式可得，则点电荷q在A处所受球壳其余部分对它的力为。bO1例4 一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0，将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图173所示。试求球上感应电荷的电量。分析与解 将带电金属丝环分成许多相同的小面元，每个电荷元所带电量为q1、q2qn，它们在环中心O处形成的电势U0为，则金属丝带电量为。设接地的球上感应电量为Q，由于接地，故整个球为一电势为零的等势体，那么环上电荷及球上感应电荷在球心O1处产生的电势之和应为零，即，得。现在，我们从库仑定律与场的叠加原理导出静电学的另一条基本规律高斯定理我们知道，用电场线描述电场时，电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有条电场线垂直穿过，则，e称为电通量，并以正、负表示电场线从该面穿出或穿入。先考察点电荷q的电场，如图174所示，S为以点电荷q为中心包围点电荷的球面，S为包围点电荷q的任意封闭曲面，若球面半径为r，则球面上各处的场强大小均为，式中，称为真空中的介电常数。显然，从该球面穿出的电通量。根据电场线的性质在电场中没有电荷处的电场线是连续的、不相交的，可以肯定包围点电荷q的任意封闭曲面S上的电通量也是。若如图175所示，电荷q在闭合曲面S之外，由电场线性质可知穿入曲面的电场线条数与穿出该曲面的