2019版高考数学大复习函数导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性优选学案.docx

第6讲函数的奇偶性与周期性考纲要求考情分析命题趋势1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.2017全国卷，142017山东卷，142016天津卷，62015广东卷，31.对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般2函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大.分值：5分1偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做奇函数2奇、偶函数的图象特点偶函数的图象关于_y轴_对称，奇函数的图象关于_原点_对称3函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇4函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个_非零常数_T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_f(xT)f(x)_，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_最小_正周期5函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)；(2)若f(xa)，则T2a(a0)；(3)若f(xa)，则T2a(a0)6函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且周期T2(ba)(不一定是最小正周期，下同)(2)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性【例1】 (1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(C)Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列各函数的奇偶性f(x)(x1)；f(x)；f(x)解析(1)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数故选C(2)由得定义域为(1,1，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数二函数奇偶性的应用与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：由f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)(C)A3B1C1D3(2)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，flg(log210)5，则flg(lg 2)(C)A5B1C3D4解析(1)用“x”代替“x”，得f(x)g(x)(x)3(x)21，化简得f(x)g(x)x3x21，令x1，得f(1)g(1)1.故选C(2)f(x)ax3bsin x4，f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4，得f(x)f(x)8.又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2)，flg(log210)flg(lg 2)5，又由式，知flg(lg 2)flg(lg 2)8，5flg(lg 2)8，flg(lg 2)3.三函数的周期性函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ，且k0)也是函数的周期【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)(C)A337B338C339D2 018解析由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 018)f(1)f(2)336112336339.四函数性质的综合应用函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解【例4】 (1)已知定义域为(1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a3)f(9a2)0，则实数a的取值范围是(A)A(2，3)B(3，)C(2，4)D(2,3)(2)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 017)f(2 018)_1_.解析(1)由f(a3)f(9a2)0，得f(a3)f(9a2)又奇函数满足f(x)f(x)，得f(a3)f(a29)f(x)是定义域为(1,1)的减函数，解得2a0，即x1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)(D)A6B6C4D4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3xm，所以f(0)1m0m1，则f(log35)f(log35)(3log351)4.3已知定义在R上的偶函数f(x)，在x0时，f(x)exln(x1)，若f(a)f(a1)，则a的取值范围是(B)A(，1)BCD(1，)解析根据题中所给的函数解析式，可知函数在0，)上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在(，0)上是减函数，所以f(a)f(a1)等价于|a|a1|，解得a.故选B4(2016四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0，所以不是奇函数，所以B项错；对于C项，f(x)2x2xf(x)，f(x)是偶函数，所以C项错；对于D项，f(x)x31定义域为R，但图象不过原点，所以f(x)是非奇非偶函数，所以D项错只有A项满足定义域关于原点对称，并且f(x)f(x)，是奇函数2已知f(x)3ax2bx5ab是偶函数，且其定义域为6a1，a，则ab(A)AB1C1D7解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a1a0，所以a.又因为f(x)为偶函数，所以3a(x)2bx5ab3ax2bx5ab，得b0，所以ab.故选A3已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 019)(A)A2B2C98D98解析因为f(x4)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 019)f(50443)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2122，即f(2 019)2.4已知函数yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)lg x，则f(D)ABClg 2Dlg 2解析因为当x0时，f(x)lg x，所以flg2，则ff(2)，因为函数yf(x)是奇函数，所以ff(2)lg 2.5已知偶函数yf(x)满足f(x5)f(x5)，且0x5时，f(x)x24x，则f(2 018)(B)A3B4C4D12解析f(x5)f(x5)，f(x10)f(x)，f(x)为周期函数，且周期为10，f(2 018)f(202102)f(2)f(2)22424.故选B6已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x时恒成立，则实数a的取值范围是(D)A2,1B5,0C5,1D2,0解析因为f(x)是偶函数，在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x时恒成立，则ax1|x2|，即x2ax12x.由ax12x，得ax1x，a1，而1在x1时取得最小值0，故a0.同理，x2ax1时，a2，所以a的取值范围是2,0二、填空题7(2018河南豫西南部分示范性高中期中)已知奇函数f(x)则实数a_4_.解析因为函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，则f(1)f(1)，所以421(21a)，解得a4.8设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_.解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m)，等价于f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数所以解得1m.9(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_6_.解析f(x4)f(x2)，f(x)的周期为6，91915361，f(919)f(1)又f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.三、解答题10若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)，求f(x)的表达式解析在f(x)g(x)中用x代替x，得f(x)g(x).又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)，联立方程两式相减得f(x).11已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1,1上的解析式解析(1)f(x)是周期为2的奇函数，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由题意知，f(0)0.当x(1,0)时，x(0,1)由f(x)是奇函数，得f(x)f(x).综上，在1,1上，f(x)12函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解析(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x