定积分及应用习题课.doc

第五章 定积分本章知识结构导图 数学家的故事: 莱布尼兹简介 莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716), 是德国最重要的数学家、物理学家、历史学家和哲学家, 一个举世罕见的科学天才, 和牛顿同为微积分的创建人. 生于莱比锡, 卒于汉诺威. 莱布尼兹的父亲在莱比锡大学教授伦理学, 在他六岁时就过世, 留下大量的人文书籍, 早慧的他自习拉丁文与希腊文, 广泛阅读. 1661年进入莱比锡大学学习法律, 又曾到耶拿大学学习几何, 1666年在纽伦堡阿尔多夫大学通过论文论组合的艺术, 获法学博士, 并成为教授, 该论文及后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人1667年, 他投身外交界, 游历欧洲各国, 接触了许多数学界的名流并保持联系, 在巴黎受惠更斯的影响, 决心钻研数学他的主要目标是寻求可获得知识和创造发明的一般方法, 这导致了他一生中的许多发明, 其中最突出的是微积分与牛顿不同, 他主要是从代数的角度, 把微积分作为一种运算的过程与方法; 而牛顿则主要从几何和物理的角度来思考和推理, 把微积分作为研究力学的工具莱布尼茨于1684年发表了第一篇微分学的论文一种求极大极小和切线的新方法是世界上最早的关于微积分的文献, 虽仅6页, 推理也不清晰, 却含有现代的微分学的记号与法则1686年, 他又发表了他的第一篇积分论文, 由于印刷困难, 未用现在积分记号“”, 但在他1675年10月的手稿中用了拉长的“”, 作为积分记号, 同年11月的手稿上出现了微分记号有趣的是, 在莱布尼兹发表了他的第一篇微分学的论文不久, 牛顿公布了他的私人笔记, 并证明至少在莱布尼兹发表论文的10年之前已经运用了微积分的原理牛顿还说: 在莱布尼兹发表真成果的不久前, 他曾在写给莱布兹的信中, 谈起过自己关于微积分的思想但是, 事后证实, 在牛顿给莱布尼兹的信中有关微积分的几行文字, 几乎没有涉及到这一理论的重要之处因此, 他们是各自独立地发明了微积分莱布尼兹思考微积分的问题大约开始于1673年, 其思想和研究成果, 记录在从该年起的数百页笔记本中其中他断言, 作为求和的过程的积分是微分的逆正是由于牛顿在16651666年和莱布尼兹在16731676年独立建立了微积分学的一般方法, 他们被公认为是微积分学的两位创始人莱布尼兹创立的微积分记号对微积分的传播和发展起了重要作用, 并沿用至今莱布尼兹的其他著作包括哲学、法学、历史、语言、生物、地质、物理、外交、神学, 并于1671年制造了第一架可作乘法计算的计算机, 他的多才多艺在历史上少有人能与之相比本章小结 本章主要掌握定积分的概念、意义、性质以及会用牛顿莱布尼兹公式计算定积分.一、定积分的概念、意义与性质1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）2. 几何意义: 是曲线之间与轴所围的面积的代数和; 3. 经济意义: 若是某经济量关于的变化率（边际问题）, 则是在区间中的该经济总量4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到. （1）; （2）; （3）; （4）; （5）.二、定积分的计算1牛顿莱布尼兹公式: 若在上连续, 是的一个原函数, 则.2换元法: 若在连续, 在上有连续的导数, 且单调, 则有3. 分部积分法: 若与在上有连续的导数, 则有.三、定积分的应用1. 求平面区域的面积, 一般有两类公式: 关于积分: 关于积分: 2. 定积分的经济应用, 重点是已知某经济量（如成本、收益、利润）的变化率, 求在生产阶段的经济总量综合练习一、判断题1. 设 在区间 上连续，则函数 在区间 上一定可积；2. ；3. 定积分 在 是收敛的 ；4. 若 在 上连续，则 ；5. 积分 不能用牛顿莱不尼兹公式计算；6. ；7. 若 在 上连续，则 ；8. 设 , 则 ；9. ；10. ；11. 定积分 在 时是收敛的；二、填空题1. _；2. 定积分 = _；3. 若广义积分 ， 其中为常数，则 _；4. 定积分 _ ；5. _； 6. _ ；7. 广义积分 _ ；8. _； 9. 设 在 上连续，则 _ ；10. 若函数 在 上连续， 可导，则 _ ；11. 当 _ 时， 有极值；12. 设 ，则 _ ；13. 若 ，则 _ ；14. _ ；15. _ ；16. _ ；17. 若 ，则 _ ；18. _ .19、由轴所围图形的面积为（ ）二、选择题1. ( )(A) (B) (C) (D) 2. 下列积分可直接使用牛顿莱不尼兹公式的有 ( )(A) (B) (C) (D)3. 设 为连续函数，则 为 ( )(A) 的一个原函数 (B) 的所有原函数(C) 的一个原函数 (D) 的所有原函数4. ，且 ，则 ( )(A) (B) (C) (D) 5. ( )(A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散6下列积分为零的是（ ）; . . . . 7由定积分的几何意义, 定积分（ ）; . . . . 8（ ）. . . . 三、计算题1求下列各函数的导数: （1）（2） 求（3）2求下列各极限: （1）（2）3求下列各定积分: （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） （22）（23） （24）（25） （26）（27） （28）（29） （30）四、解答题1求在区间上的最大值与最小值; 2设, 求; 3设, 求; 4若, 试确定的值; 5若, 试确定的值; 6 证明: （提示: 令）; 7证明: ; 8已知, 求五、求下列曲线所围的平面区域的面积: 1、求在区间 上，由轴与 所围成的图形的面积。2、 求曲线 与直线 围成的图形的面积。3、 求曲线 ， 和 围成的平面图形的面积。4、 求曲线 ， 和 围成平面图形的面积。5、 求曲线 与 围成的图形的面积。6、设平面图形由 , ， 围成，a) 求此平面图形的面积；b) 将上述平面图形绕 x轴旋转，求所形成的旋转体的体积。7、 求由直线 与曲线 所围平面部分的面积；8、求由直线 与曲线 所围平面部分的面积；9、求曲线 与 所围成的图形的面积。六、经济应用题: 1某产品在时刻的变化率为（单位小时）, 求从到4这两个小时的产量; 2已知生产某产品件时的边际收益（元件）, 求: （1）生产此产品件时的总收入; （2）产