标准正交基.doc

标准正交基1、 标准正交基的定义及相关概念1、 欧几里得空间：设V实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（），它具有以下性质：（1） (）=();（2） (k)=k();（3） ()=()+();（4） ()=0，当且仅当=0时，()=0;这里，是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间。2、 正交向量组：欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。3、 标准正交基：在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。2、 标准正交基的相关性质1、 正交向量组的性质：（1） 正交向量组是线性无关的。证明：设是一正交向量组，是m个实数，且有： 用与等式两边作内积，得：由，有，从而： 命题得证。（2） 单个非零向量组成的向量组是正交向量组。（3） 在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n个。（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。）2、 标准正交基的性质：（1） 若是一组标准正交基，则：证明：时，由单位向量定义：， 时，由正交向量定义：命题得证。（2） 对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。例如：由于所以是的一组标准正交基。（3） n维欧氏空间中，一组基为标准正交基的充要条件是这组基的度量矩阵为单位矩阵。 因为度量矩阵是正定的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵等同于单位矩阵，这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵，由此可以断言，在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的。（4） 若是一组标准正交基，向量在该基下的坐标为，即：则： 证明： （5） 若是一组标准正交基，且： 则：这个表达式是几何中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式的推广。 3、 标准正交基的求法定理1：n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。证明：设是欧氏空间中的一正交向量组， 对作数学归纳法， 当时，就是一组正交基了。 假设时定理成立，也就是说，可以找到向量，使得成为一组正交基。 现在来看的情形。因为，所以一定有向量不能被线性表出，作向量 这里是待定的系数，用与作内积，得： 取 有 由的选择可知，因此是一正交向量组，根据归纳法假定，可以扩充成一正交基，得证。定理2：对于n维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使 证明：设是一组基，逐个求出向量 首先，取一般的，假定已经求出，它们单位正交，具有性质 下一步求 因为，所以不能被线性表出按定理1证明中的方法，作向量 显然，且 令，就是一单位正交向量组， 同时， 由归纳法原理，得证。定理中的要求， 就相当于由基到基的过渡矩阵是上三角形的。定理 2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程。例：把， ， ， 变成单位正交的向量组。解：先把它们正交化，得：， ， 再单位化，得：， ， 4、 正交矩阵1、 定义：n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果； 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。 最后，根据逆矩阵的性质，由，得，写出来就是：上式是矩阵行与行之间的关系，而是矩阵列与列之间的关系，两者是等价的。2、 正交矩阵的性质：（1） 若A为正交矩阵，则；（2） 若A为正交矩阵，则；（3） 若A为正交矩阵，则也是正交矩阵；（4） 若A为正交矩阵，则；（5） 两个正交矩阵的乘机还是正交矩阵；（6） 若A为正交矩阵，则也是正交矩阵；3、 为正交矩阵的充要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。参考文献：1线性代数(第