极坐标与参数方程讲义.doc

rqO图1M自选模块：坐标系与参数方程2、极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。注：极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或（，），(Z)极点的极径为0，而极角任意取3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：rqa=raxOM图1qrcos2a=rqaxOM图2rqqrcos2a-=axOM图3rqqrsin2a=axOM图4rqqrsin2a-=axOM图5rq),(ja)cos(2jqr-=aaxOM图64、简单曲线的极坐标方程圆的极坐标方程以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图1）以为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；（如图2）以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图4）直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是和. （如图1）过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图2）过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是. 化为直角坐标方程为.（如图4）5、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆的参数方程为 （为参数）；（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；（3）抛物线参数方程 为参数，）；参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（4）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.t的几何意义：PM的数量。8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。例1、已知：直线，过极点O任作一直线与直线交于Q、R两点。 （1）若，且O在QR之间，求直线的极坐标方程； （2）点P是直线上的任意一点，且满足|OP|2=|OQ|OR|，求点P的轨迹方程。学#科#网 例2、在极坐标系中，O为极点，P（p,）为直线上任意一点。（1）过点O作OP的垂线交l于点M，求三角形OPM面积的最小值；（2）当时，设以OP为直径的圆交直线l于点N，直线l上点Q满足POQ=2PON，求点Q的极径。 例3、在直角坐标系中，已知曲线C：，点(1)若曲线上的点到点的最近距离恰好是，求的取值范围。（2）设过点的直线交抛物线于M、N两点，是否存在这样的点，使得为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。例4、已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦