答案--如何证明圆的切线.doc

.圆的切线证明一、连半径，证垂直要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径1、如图，已知AB为O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30求证：DC是O的切线思路：要想证明DC是O的切线，只要我们连接OC，证明OCD90即可证明：连接OC，BCAB为O的直径，ACB90CAB30，BCABOBBDOB，BCODOCD90DC是O的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线本题在证明OCD90时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求OCD902、如图，已知是ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB求证：DE是O的切线证明：连接OC，则OA=OC，所以CAO=ACO， 因为AC平分EAB，所以EAC=CAO=AC，所以AECO，又AEDE， 所以CODE，所以DE是O的切线3、已知O中，AB是直径，过B点作O的切线，连结CO，若ADOC交O于D，求证：CD是O的切线。 点悟：要证CD是O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。 证明：连结OD。 ADOC， COBA及CODODA OAOD，ODAOAD COBCOD CO为公用边，ODOB COBCOD，即BODC BC是切线，AB是直径， B90，ODC90， CD是O的切线。二、作垂直；证半径如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径1、如图所示，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D。 求证：AC与O相切。证明:连接OD，作OEAC，垂足为EAB=AC,OB=OCAO为BAC角平分线，DAO=EAOO与AB相切于点D，BDO=CEO=90AO=AOADOAEO，所以OE=ODOD是O的半径，OE是O的半径O与AC 边相切2、已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明：连结OA，OB，作OECD于E，延长DO交CA延长线于F.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.三、角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）1、如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD，求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连结EC.AD是BAC的平分线， DAB=DAC. PA=PD， 2=1+DAC. 2=B+DAB， 1=B. 又B=E， 1=E AE是O的直径， ACEC，E+EAC=900. 1+EAC=900. 即OAPA. PA与O相切.证明二：延长AD交O于E，连结OA，OE. AD是BAC的平分线， BE=CE， OEBC. E+BDE=900. OA=OE， E=1. PA=PD， PAD=PDA. 又PDA=BDE, 1+PAD=900 即OAPA. PA与O相2、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.（1）求证：DE是O的切线；（2）若=,求的值。3、如图，AB为O的直径，C为O上一点，BAC的平分线交O于点D，过D点作EFBC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。（1）求证：EF为O的切线；（2）若sinABC=,CF=1,求O的半径及EF的长。4、如图，AB为O的直径，AD平分BAC交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，FB是O的切线交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若DE=3，O的半径为5，求BF的长.5、在ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分ABC交AE于点M,经过B、M两点的O交BC于点G，交AB于点F,FB恰为O的直径.（1）求证：AE与O相切；（2）当BC=4，cosC=时，求O的半径。（1）连接OM,则OMB=OBM=MBE 又AEBC OMB+BME=MBE+BME=90 AE与O相切（2）由AE与O相切, AEBCOMBC AOMABE BC=4,cosC=， BE=2，AB=6，即 ，四、平行证相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行）1、已知是ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB求证：DE是O的切线证明：连接OC，则OA=OC， CAO=ACO，AC平分EAB，EAC=CAO=AC，AECO，又AEDE，CODE，DE是O的切线2、已知：如图，中，以为直径的交于点，于点（1）求证：是的切线；（2）若，求的值（1）证明：，又，又于，是的切线3、如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延长线于点E.（1）求证：BCA=BAD；（2）求DE的长；（3）求证:BE是O的切线。解：（1）证明：BD=BA，BDA=BAD。BCA=BDA（圆周角定理），BCA=BAD。（2）BDE=CAB（圆周角定理），BED=CBA=90，BEDCBA，。BD=BA =12，BC=5，根据勾股定理得：AC=13。，解得：。（3）证明：连接OB，OD， 在ABO和DBO中，ABODBO（SSS）。DBO=ABO。ABO=OAB=BDC，DBO=BDC。OBED。BEED，EBBO。OBBE。OB是O的半径，BE是O的切线。4、如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（2）若O的半径为3，AD= 4 ，求AC的长试题分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到OAC=OCA，然后利用角平分线的性质可以证明DAC=OCA，接着利用平行线的判定即可得到OCAD，然后就得到OCCD，由此即可证明直线CD与O相切于C点；（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到ACB=90，又DAC=OAC，由此可以得到ADCACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题（1）证明：连接OCOA=OC OAC=OCA AC平分DAB DAC=OAC DAC=OCA OCADADCD OCCD 直线CD与O相切于点C；（2）连接BC，则ACB=90DAC=OAC，ADC=ACB=90， ADCACB， AC2=ADAB，O的半径为3，AD=4， AB=6， AC=25、如图，AB是O的直径，BCAB于点B，连接OC交O于点E，弦AD/OC,弦DFAB于点G。 （1）求证：点E是弧BD的中点； （2）求证：CD是O的切线； （3）若sinBAD=,O的半径为5，求DF的长。6、在等腰ABC中，AB=AC,O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D,DEAC交AC于E.（1）求证DE时是O的切线；（2）若O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=,求O的半径长。7、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD,连结AC,过点D作DEAC,垂足为E.(1).求证：AB=AC(2).求证:DE为O的切线.(3).若O的半径为5，BAC=60，求DE的长. 五、角度转化证切线（中线证直角、角度转化证直角、一条边上的中线等于这条边的一半）1、已知O中，AB是直径，过B点作O的切线，连结CO，若ADOC交O于D，求证：CD是O的切线。 点悟：要证CD是O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。 证明：连结OD。 ADOC， COBA及CODODA OAOD，ODAOAD COBCOD CO为公用边，ODOB COBCOD，即BODC BC是切线，AB是直径， B90，ODC90， CD是O的切线。 点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。2、如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.证明一：连结OD. AB=AC， B=C.OB=OD，1=B.D 1=C. ODAC. DMAC，DMOD. DM与O相切证明二：连结OD，AD.AB是O的直径，ADBC.又AB=AC, 1=2. DMAC，2+4=900COA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，3、如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BP=OB，P在AB的延长线上.求证：PC是O的切线证明：连结OC、BC. OA=OC， A=1=300.BOC=A+1=600. 又OC=OB，OBC是等边三角形.DOB=BC.OB=BP， OB=BC=BP. OCCP. PC是O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.4、如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=ODOP.求证：PC是O的切线.证明：连结OC OA2=ODOP，OA=OC， OC2=ODOP， . 又1=1， OCPODC. OCP=ODC. CDAB， OCP=900. PC是O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的5、已知：如图，A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD=45，OC=2，求弦AD、CD的长6、如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且AB=AD=AO.(1).求证BD是O的切线。(2).若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为8，cosBFA=，求ACF的面积。六、90角证相切（证明半径与直线的两角加和为90，证明半径垂直直线），1、如图1，B、C是O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切线吗？为什么？解：AC是O的切线理由：连接OC，OC=OB，OCB=BCOD是BOC的外角，COD=OCB+B=2BACD=2B，ACD=CODCDAB 于D，DCO+COD=90DCO+ACD=90即OCACC为 O上的点，AC是O的切线2、ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F，求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CF