两条直线的位置关系.doc

【本讲教育信息】一. 教学内容： 两条直线的位置关系二. 教学目标：1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。2. 掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标，认识两直线交点与二元一次方程组的关系；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3. 理解两点间距离公式的推导，熟练掌握两点间距离公式。4. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到直线距离公式求解两平行线距离。5. 体会判断两直线相交中的数形结合思想.本周知识要点：一、两条直线的平行与垂直1、斜率存在时两直线的平行与垂直。（1）条直线平行（不重合）的情形两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即（2）两条直线垂直的情形如果两条直线的斜率分别是和，若它们互相垂直，那么；反之也成立。即（和均存在）由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二元一次方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交于一点，那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我们想要在已知两直线方程的前提下求出交点，又应如何求呢?这一交点是否与两直线方程有着一定的关系呢?二、两条直线是否相交的判断设两条直线和的一般式方程为：，：。如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点。因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为或（为任意常数） 方程组的解一组无数组无解两条直线的公共点一个无数个零个两条直线的位置关系相交重合平行三、两点间距离公式初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值。现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离。如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1QM1M2x2x1QP2N1N2y2y1由勾股定理，可得P1P22P1Q2QP22x2x12y2y12（x2x1）2（y2y1）2由此得到平面内P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式中点坐标公式对于平面上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）线段P1P2中点是M，则四、点到直线距离公式1. 如何计算平行四边形的面积呢？1. 一般地，已知直线:AxByC0（A）外一点，如何求点到直线的距离？解：设A0，B0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，PPSRS由三角形面积公式可知：RSPRPS所以可证明，当A0或B0时，以上公式仍适用。点到直线的距离为：2. 两平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为又 即，d【典型例题】例1. 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标。（1）：27 ，：421；（2）：2640 ， ：；（3）：（1）3 ， ：（1）2.解：（1）解方程组 两直线交点为（）所以两条直线相交（2）2640， 320方程组有无数组解 两直线重合.（3） 方程组无解.例2. 求满足下列条件的方程：（1）经过两条直线23100和3420的交点，且垂直于直线3240；（2）经过两条直线280和210的交点，且平行于直线4370；（3）经过直线23和320的交点，且垂直于第一条直线.解：（1）解方程组又.2（2），即2320 （2）解方程组又 2（3），即4360 （3）解方程组又 ，5（1），即2110.例3. 求证：不论为什么实数，直线都通过一定点解：，（x21）（x5）0，则直线都通过直线210与50的交点。由方程组，解得9，4，即过点（9，4）所以直线经过定点（9，4）。例4. 已知点A的坐标为（4，4），直线的方程为320，求：（1）点A关于直线的对称点A的坐标；（2）直线关于点A的对称直线的方程.解：（1）设点A的坐标为（，）.因为点A与A关于直线对称，所以AA，且AA的中点在上，而直线的斜率是3，所以。又因为。再因为直线的方程为320，AA的中点坐标是（），所以320 由和，解得2，6.所以A点的坐标为（2，6）。（2）关于点A对称的两直线与互相平行，于是可设的方程为3c0.在直线上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点为M（，），于是M点在上，且MM的中点为点A，由此得，即：8，6.于是有M（8，6），因为M点在上，所以3（8）6C0，C18 故直线的方程为3180 例：求原点到下列直线的距离：（1）32260；（2） 解：（1） （2）原点在直线上，d0补充：例1. ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22（|AD|2|DC|2）。证明：取线段所在的直线为x轴，点D为原点（O），建立直角坐标系，设点A的坐标为（b，c），点C的坐标为（a，0），则点 B的坐标为（a， 0），可得：|AB|2（ab）2c2，|AC|2（ab）2c2，|AD|2b2c2，|OC|2a2。所以|AB|2|AC|22（a2b2c2）|AO|2|OC|2a2b2c2所以|AB|2|AC|22（|AD|2|DC|2）【模拟试题】一、选择题1. 以A（1，3）和B（5，1）为端点的垂直平分线方程是（）A. 3xy80 B. 3xy40C. 2xy60 D. 3xy802. 如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则系数a等于（）A. 3 B. 6 C. D. 3. 直线（3a）x（2a1）y70和（2a1）x（a5）y60互相垂直，则a等于（）A. B. 1 C. D. 4. 点（0，5）到直线y2x的距离是（）A. B. C. D. 5. 点（a，）关于直线yx1的对称点是（）A. （1，a） B. （，a1）C. （1，a1） D. （1，a1）6. 经过两直线x3y100和y3x的交点，且与原点距离为1的直线方程是（）A. 3x4y50或x1 B. 4x3y50或x1C. 3x4y50或x1 D. 4x3y50或x17. 下列说法中，正确的是（ ）A. 若直线l1与l2的斜率相等，则l1l2B. 若直线l1与l2互相平行，则它们的斜率相等C. 直线l1与l2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l1与l2一定相交D. 若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1l28. 若直线l1:ax（1a）y3与直线l2:（a1）x（2a3）y2互相垂直，则a的值为（ ）A. 3 B.1 C.0或 D.1或39. 过点（3，4）且与两点（4，2）、（2，2）等距离的直线方程是（ ）A. 2x3y180和2xy20 B.3x2y180和x2y20C. 2x3y180和2xy20 D.3x2y180和2xy2010. 点（0，4）关于直线4x5y210的对称点是（ ）A.（8，6） B.（6，8） C.（8，6） D.（8，6）11. 如果直线axbyc0和直线L关于直线yx对称，那么L的方程是（ ）A. B. C. D. 12. 对于直线axya0（a0），以下正确的是（ ）A. 恒过定点，且斜率与纵截距相等 B. 恒过定点，且横截距恒为定值C. 恒过定点且与x轴平行的直线 D. 恒过定点且与x轴垂直的直线二、填空题13. 已知直线1：（2a）x3y2a0，2：，则当a时，1与2相交；当a时，1与2垂直；当a时，1与2平行；当a时，1与2重合。14. 直线xy20关于直线x3y70的对称直线方程（一般形式）是.15. 已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过两直线l1:3xy10和l2:xy30的交点，则直线l的方程为 .三、解