2018版高中数学第三章直线与方程3.33.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学案新人教A版.docx

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离目标定位1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.自 主 预 习1.点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.2.两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.(2)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.即 时 自 测1.判断题(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.()(2)点P(x0，y0)到x轴的距离dy0；到y轴的距离dx0.()(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离.()(4)运用两平行线间的距离公式时，要求的l1与l2两直线中x，y的系数必须分别对应相等.()提示(2)点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|；到y轴的距离d|x0|.2.点(1，1)到直线xy10的距离是()A. B. C. D.解析d.答案A3.两条平行直线xy20与xy30的距离等于()A. B. C.5 D.解析d.故选A.答案A4.点P(m，1)到直线l：2xy10的距离d1，则实数m的值等于_.解析由已知1，即|m|，m.答案类型一点到直线的距离【例1】 求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4.解(1)把方程yx写成3x4y10，由点到直线的距离公式得d.(2)法一把方程y6写成0xy60，由点到直线的距离公式得d8.法二因为直线y6平行于x轴，所以d|6(2)|8.(3)因为直线x4平行于y轴，所以d|43|1.规律方法1.求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式.2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.3.几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|；(2)点P0(x0，y0)到直线xb的距离d|x0b|.【训练1】 若点(a，2)到直线l：yx3的距离是1，则a_.解析直线l：yx3可变形为xy30.由点(a，2)到直线l的距离为1，得1，解得a5.答案5类型二两平行线间的距离【例2】 求两平行线l1：2xy10与l2：4x2y30之间的距离.解法一在直线l1：2xy10上任取一点，不妨取点P(0，1)，则点P到直线l2：4x2y30的距离为d.l1与l2间的距离为.法二将直线l2的方程化为：2xy0.又l1的方程为：2xy10，C11，C2，又A2，B1，由两平行直线间的距离公式得：d.规律方法1.针对这个类型的题目一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两条平行直线间距离公式d.2.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决.(1)两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；(2)两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|.【训练2】 求与直线l：5x12y60平行且与直线l距离为3的直线方程.解与l平行的直线方程为5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得3，解得b45或b33.所求直线方程为：5x12y450或5x12y330.类型三距离公式的综合应用(互动探究)【例3】 已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点.(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.思路探究探究点一经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有几条？求直线方程时需注意什么？提示有且仅有两条，在解决直线方程的问题时，要注意直线斜率是否存在，以免漏解或错解.探究点二如何求几何最值问题？提示几何最值问题的求法有两种：(1)利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解.(2)利用几何定理，如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等，找出最值.解法一联立得交点P(2，1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0，3，解得k，l的方程为y1(x2)，即4x3y50.而直线斜率不存在时直线x2也符合题意，故所求l的方程为4x3y50或x2.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，即22520，解得2或，l的方程为4x3y50或x2.(2)由解得交点P(2，1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)，dmax|PA|.规律方法1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条.一定要注意直线斜率是否存在.2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.【训练3】 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(3，1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程.解(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d|AB|3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以07 B.a7或a7或3a3，解得a7或a3.答案C3.已知两点A(3，2)和B(1，4)到直线mxy30的距离相等，则m等于()A.0或 B.或6C.或 D.0或解析由题意知直线mxy30与AB平行或过线段AB的中点，则有m或m30，所以m或m6.答案B4.倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为_.解析因为直线斜率为tan 60，可设直线方程为yxb，化为一般式得xyb0.由直线与原点距离为5，得5|b|10.所以b10.所以直线方程为xy100或xy100.答案xy100或xy1005.若点P在直线xy40上，O为原点，则|OP|的最小值是_.解析|OP|的最小值，即为点O到直线xy40的距离.d2.答案26.直线l过原点，且点(2，1)到l的距离为1，求l的方程.解由题意可知，直线l的斜率一定存在.又直线l过原点，设其方程为ykx，即kxy0.由点(2，1)到l的距离为1，得1.解得k0或k.直线l的方程为y0或4x3y0.7.求直线3xy40关于点P(2，1)对称的直线l的方程.解法一设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，1)的对称点为M1(4x，2y)，且M1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100，所以所求直线l的方程为3xy100.法二在直线3xy40上任取两点A(0，4)，B(1，1)，则点A(0，4)关于点P(2，1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，1)关于点P(2，1)对称点为B1(3，1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3xy100.法三直线l与已知直线平行，可设l的方程为3xym0，点P(2，1)到直线3xy40的距离d，由于点P(2，1)到两直线距离相等，所以，解得m10或m4(舍去)，所以直线l的方程为3xy100.能 力 提 升8.已知直线l过点P(3，4)且与点A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为()A.2x3y180B.2xy20C.3x2y180或x2y20D.2x3y180或2xy20解析设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案D9.两平行线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离d满足的条件是()A.0d5 B.0d13C.0d12 D.5d12解析当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|13，所以0d13.答案B10.若直线的被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15，30，45，60，75，其中正确答案的序号是_.(写出所有正确答案的序号)解析两平行线间的距离为d，由图知直线m与l1的夹角为30，l1的倾斜角为45，所以直线m的倾斜角等于304575或453015.答案11.已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1).试求(a2)2(b2)2的取值范围.解由(a2)2(b2)2联想两点间距离公式，设Q(2，2)，又P(a，b)则|PQ|，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值.如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：.当PQAB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A、B两点坐标可得直线AB的方程为xy10.则Q点到直线AB的距离d，(a2)2(b2)213.探 究 创 新12.已知直线l：3xy10及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0).(1)试在l上求一点P，使|AP|CP|