《高等代数》月测试试题与及答案.doc

高等代数月测试试题与及答案（行列式与线性方程组部分）（2004年12月）一、 （共12分）叙述下列概念或命题：（1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组称为线性相关，如果有数域中不全为零的数，使.注 对如下定义也视为正确：如果向量组（）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注 对如下定义也视为正确：向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，是指：（）线性无关；（）可由线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注 用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、 判断题：（在括号里打“”或“”，共20分）1 （）2若向量组（）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合 （）3在全部（）级排列中，奇排列的个数为 （）4若排列为奇排列，则排列为偶排列 （）5若矩阵的秩是，则的所有高于级的子式（如果有的话）全为零 （）6若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例 （）7当线性方程组无解时，它的导出组也无解 （）8对个未知量个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解 （）9等价向量组的秩相等 （）10齐次线性方程组解的线性组合还是它的解 （）三、（共18分）计算行列式（1） 解 原式注 用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分（2）解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式注 本题也可以从第4行提取公因子，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式（3） （）解 原式注 本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分另外对按第一行（或列）展开者类似给分四、设向量组，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出（10分）解 （5分）故向量组的秩为3，是一个极大线性无关组，并且 （8分）， （10分）注 本题关于极大线性无关组答案中，除不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分五、讨论取什么值时下列线性方程组有解，并求解（10分）解 方程组的增广矩阵为，系数行列式为 （2分）（1） 当且时，方程有唯一解，此时 （3分），故得解为； （5分） （2）当时，增广矩阵，无解；（7分）（3）当时，增广矩阵，有无穷多组解，通解为（为自由未知量），或表成 （10分）注 本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分六、证明题：（每小题10分，共30分）1证明：如果向量组线性无关，而线性相关，则向量可以由线性表示，且表示法唯一（10分）证明 （1）由线性相关，存在不全为零的数，使 （2分）又由线性无关，得（否则，线性相关，矛盾）（4分）于是，； （5分）（2）设，则 ，即，由于线性无关，故，即（）（10分）2证明：若向量线性无关，则也线性无关并说明该结论对4个向量的情形是否成立证明 设，即，（2分）由于线性无关，故有 解之得， （5分）故也线性无关 （6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量线性无关，并不能得到向量线性无关的结论注1 由知，是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量线性无关，则向量也线性无关该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分3设是数域中个互不相同的数，是数域中任一组给定的数求证：（1）存在唯一的数域上的次数不超过的多项式，使，；（2）特别的，求出使，成立的次的多项式证明 （1）将，代入，得 （2分）由于系数行列式， （4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域上的次数不超过的多项式，使，； （5分）（2）由克莱姆定理，故使，成立的次的多项式为 （10分）注 对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出的也给满分七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量两两线性无关，则线性无关并说明在三维几何空间中的意义（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线