第四节第一类曲面积分.ppt

第四节 一 对面积的曲面积分的概念与性质 二 对面积的曲面积分的计算法 第一类 对面积 曲面积分 第十一章 所谓曲面光滑 曲面上各点处都有切平面 且当点在曲面上连续移动时 切平面也连续转动 若 的密度是均匀的 即 则 一 第一类 对面积 曲面积分的概念与性质 引例 设光滑曲面形构件具有连续面密度 求质 量M 若曲面为不均匀的 则类似求平面薄板质量的思想 采用 大化小 常代变 近似和 求极限 分割 用一组曲线网将 分成n个小曲面 近似并作和 求质量的近似值 取极限 求质量的精确值 其中 表示n小块曲面的直径的最大值 曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者 定义 设曲面 是光滑的 f x y z 在 上有界 首先 用任意一组曲线网将 分成n个小曲面 直径分别为 其次 在每个小曲面 并取 若 上任意取一点 作乘积 并作和 存在 且与 的分法及点 的取法无关 则称该极限为f x y z 在 上对面积的曲面积分 或第一类曲面积分 其中f x y z 叫做被积 曲面形构件的质量为 曲面面积为 函数 叫做积分曲面 即 几点说明 对面积的曲面积分具有以下两个主要特征 积分和是在曲面 上作出的 积分和中的微元素是小块曲面的面积 则对面积的曲面积分存在 对积分域的可加性 则有 不等式性质 在光滑曲面 上连续 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 积分的存在性 若 是分片光滑的 例如分成两 片光滑曲面 若在 上 及 定理 设有光滑曲面 f x y z 在 上连续 存在 且有 二 对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 计算的关键是曲面积元素dS 即 第一类曲面积分的计算分解为二重积分的计算 曲面积元素 设光滑曲面 则面积S可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设dA对应在D上的投影为d 称为面积元素 则 根据面积元素公式得曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 2 确定 在xoy面上的投影区域 3 将曲面方程 及 代入 中即可 1 确定 的方程 一投 二代 三换 若光滑曲面 说明 1 如果曲面方程为 3 若曲面为参数方程 只要求出在参数意义下dS 的表达式 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分 2 若 是xoy面上的一个闭区域D时 则 例1 计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部 解 思考 若 是球面 被平行平面z h截 出的上下两部分 则 例2 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面 解 设 上的部分 则 与 原式 分别表示 在平面 在前3个曲面上被积函数为0 例3 设 计算 解 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分 它在xoy面上的 投影域为 则 思考 若例3中被积函数改为 计算结果如何 解 依对称性求曲面积分 例4 计算 为抛物面 为第一卦限部分曲面 例5 解 平面 及 所围成的空间立体的表面 解 1 2 例5 平面 及 所围成的空间立体的表面 对称性 解 3 显然 关于xoz面对称 被积函数关于y为偶函数 所以 为位于xoz面右边的半片 即 例5 平面 及 所围成的空间立体的表面 解 例5 及 所围成的空间立体的表面 平面 3 若不利用对称性 如何计算 例6 解 方法1 关于三个坐标面均对称 而被积函数关于x y z均是偶函数 所以 例6 解 方法2坐标轮换性 的方程关于x y z对称 故 重要技巧 利用曲面方程化简被积函数 例6 解 例7 计算 其中 是球面 利用对称性可知 解 显然球心为 半径为 利用重心公式 例8 计算 其中 是介于平面 之间的圆柱面 分析 若将曲面分为前后 或左右 则 解 取曲面面积元素 两片 则计算较繁 内容小结 1 定义 2 计算 设 则 曲面的其他两种情况类似 注意利用球面坐标 柱面坐标 对称性 重心公式 简化计算的技巧 例1 设 一卦限中的部分 则有 2000考研 备用题1 已知曲面壳 求此曲面壳在平面z 1以上