第四章课件 根轨迹.ppt

4 1根轨迹法的基本概念4 2根轨迹绘制的基本法则4 3广义根轨迹4 4系统性能的分析 第四章线性系统的根轨迹法 本章主要内容 本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法 包括根轨迹的基本概念 绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则 参数根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法 以及利用根轨迹如何分析控制系统的性能等内容 本章重点 掌握控制系统根轨迹所揭示出的系统极 零点对系统性能的影响 熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤 会根据系统的根轨迹分析系统的性能 4 1根轨迹法的基本概念 根轨迹法是分析 设计线性定常控制系统的图解方法 也是经典控制理论中的基本方法之一 1948年 伊凡思 W R Evans 根据闭环系统中开环传递函数和闭环传递函数之间的内在联系 提出了求解闭环特征方程根的比较简便的图解方法 这种方法称为根轨迹法 因为根轨迹法直观形象 所以在控制工程中获得了广泛应用 一 根轨迹概念 根轨迹 根轨迹是开环系统某一参数 如根轨迹增益 从零变化到无穷时 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹 设系统如图示 二 根轨迹与系统性能 1 稳定性稳定性主要是考察根轨迹是否进入右半平面 2 稳态性能系统属于 型系统 根轨迹上的K值就是静态速度误差系数 3 动态性能 三 闭环零 极点与开环零 极点之间的关系 前向通路的传递函数为 反馈通路的传递函数为 系统的开环传递函数为 式中 系统闭环传递函数为 由开环传递函数和闭环传递函数的表达式比较 可以得出以下结论 1 闭环系统的根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益 2 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成 3 闭环极点与开环零点 开环极点以及根轨迹增益均有关 根轨迹法的基本思路是 1 在已知系统开环零 极点分布的情况下 通过图解法绘制出系统的根轨迹 2 分析系统性能随参数的变化趋势 3 在根轨迹上确定出满足系统要求的闭环极点位置 补充闭环零点 4 再利用闭环主导极点的概念 对系统控制性能进行定性分析和定量估算 四 根轨迹方程 系统的闭环传递函数为 系统的闭环特征方程为 或写作 将开环传递函数代入可得 根轨迹方程可以用以下两个方程描述 相角条件模值条件 例1设开环传递函数为 其零 极点分布如图所示 判断s平面上某点是否是根轨迹上的点 4 2根轨迹绘制的基本法则 一 绘制根轨迹的基本法则法则1根轨迹的起点和终点 根轨迹起于开环极点 终于开环零点 证明 系统的闭环特征方程为根轨迹的起点 当根轨迹的终点 当 例2系统开环传递函数为 法则2根轨迹的分支数 对称性和连续性 根轨迹的分支数等于系统特征方程的阶数 根轨迹连续并且对称于实轴 证明 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时 闭环特征方程式的根在s平面上变化的轨迹 因此 根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致 即根轨迹分支数等于系统的阶数 实际系统都存在惯性 反映在传递函数上必有n m 所以一般讲 根轨迹分支数就等于开环极点数 实际系统的特征方程都是实系数方程 依代数定理特征根必为实根或共轭复根 实根位于复平面的实轴上 共轭复根对称于实轴 因此根轨迹必然对称于实轴 特征方程中的某些系数是根轨迹增益的函数 根轨迹增益从零连续变化到无穷时 特征方程的系数是连续变化的 因而特征根的变化也必然是连续的 故根轨迹具有连续性 法则3根轨迹的渐近线 当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时 有n m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为的一组渐近线趋向于无穷远处 且有 证明 根轨迹方程式可写成如下形式 式中左端用二项式定理展开 并取线性项近似有 将代入 利用棣美弗定理可写成 令实部和虚部分别相等 有 从两个方程中解出 也可以写为 这就是渐近线方程 为渐近线斜率 为渐近线与实轴的交点 证毕 例3系统开环传递函数为 试根据已知的基本法则 确定绘制根轨迹的有关数据 解 1 2 有4条根轨迹的分支 且对称于实轴 3 有n m 3条根轨迹渐近线趋于无穷远处其渐近线与实轴的交点及交角为 法则4实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域 若其右边开环实数零 极点个数之和为奇数 则该区域必是根轨迹 证明 设s0为实轴上的某一测试点 j是各个开环零点到s0点向量的相角 i是各个开环极点到s0点向量的相角 由图可见 s0点右边开环实数零极点到s0点的向量相角均为 s0 2 3 1 1 4 2 3 因为复数共轭零 极点到实轴上的任一点的向量相角之和为2 因此在确定实轴上的根轨迹时 可以不考虑它们的影响 j 0 s0点左边开环实数零极点到s0点的向量相角为0 s0位于根轨迹上的充要条件是下列相角条件成立 式中 2k 1 为奇数 本法得证 因为这些相角中每一个相角都等于 而 与 代表相同角度 于是上式条件可写成 j s0点之右所有开环实数零点到s0点的向量相角和 i s0点之右所有开环实数极点到s0点的向量相角和 z1 z2 z3 p4 p3 p2 j 0 法则5根轨迹的分离点 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点 称为根轨迹的分离点 分离点的坐标d是下列方程的解 分离点的分离角为 1 根轨迹出现分离点说明闭环特征方程有重根出现 2 因为根轨迹对称于实轴 故根轨迹的分离点或位于实轴上 或以共轭复数形式成对出现在复平面中 常见的根轨迹分离点是位于实轴上 3 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间 其中一个可以是无限极点 则在这两个极点之间至少存在一个分离点 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间 其中一个可以是无限零点 则在这两个零点之间也至少有一个分离点 另一种解法 由代数定理可知 如果特征方程有重根出现应满足 设系统的开环传递函数为 系统的特征方程式为 对上式求导 得到 由以上两式消去得到解方程即得分离点 例4控制系统开环传递函数为试概略绘制系统根轨迹 解 将系统开环零 极点标于s平面 如图所示 系统有3条根轨迹分支 且有n m 2条根轨迹趋于无穷远处 1 实轴上的根轨迹 2 确定渐近线 有n m 2条渐近线 4 2 1 3 确定分离点 方法一经整理得 用试探法求得 方法二经整理得 法则6根轨迹的起始角和终止角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角 称为起始角 以表示 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角 称为终止角 以表示 起始角 终止角可根据下式求出 法则7根轨迹与虚轴的交点 若根轨迹与虚轴相交 意味着闭环特征方程出现纯虚根 系统处于临界稳定状态 因此根轨迹与虚轴的交点位置很重要 1 应用劳斯稳定判据确定交点 令劳斯表中第一列中包含的项为零 可以确定出交点上的值 再利用劳斯表中行的系数构成辅助方程 可解出纯虚根数值 即交点处的 值 2 在闭环特征方程中令 然后分别令方程的实部和虚部为0 从中求得交点的坐标值及其相应的值 临界根轨迹增益 例5控制系统开环传递函数为 1 应用劳斯稳定判据确定交点 2 法则8根之和与根轨迹分支的走向 当系统开环传递函数的分子 分母阶次差 n m 大于等于2时 系统闭环极点之和等于系统开环极点之和 证明 系统的开环传递函数为其中系统的闭环特征方程为 由上式可知 由于闭环极点之和等于开环极点之和为一常数 因此当增大时 某些根轨迹分支 闭环极点 向左移动 而另一些根轨迹分支 闭环极点 必须向右移动 才能维持闭环极点之和为常数 用以判断根轨迹在s平面上的走向 根据以上绘制根轨迹的八个法则 不难绘制出系统的根轨迹 具体绘制某一系统根轨迹时 这八条法则并不一定全部用到 要根据具体情况确定应选用的法则 二 自动控制系统的根轨迹 1 二阶系统 例6设一单位反馈二阶系统的开环传递函数为 根轨迹绘制如下 1 开环极点 起点 2 实轴上的根轨迹 3 渐近线 4 分离点 系统根轨迹如图示 若希望系统的阻尼比 试确定闭环传递函数 做一条射线交于根轨迹的R点 R点对应的此时系统的开环传递函数为 闭环传递函数为 2 开环具有零点的二阶系统一般情况下 在原开环传递函数零极点的左边增加零点会使原根轨迹向左半部移动 举例说明如下 例7设系统的开环传递函数为 根轨迹绘制如下 1 开环零极点 2 实轴上的根轨迹 3 分离点 整理后根轨迹如图所示 与无零点根轨迹比较可见根轨迹向左半平面弯曲和移动 可以证明该根轨迹在复平面内是圆 3 三阶系统一般情况下 在原开环传递函数零极点的左边增加极点会使原根轨迹向右半部移动 举例说明如下 例8系统的开环传递函数为根轨迹绘制如下 1 开环极点 2 实轴上的根轨迹 3 渐近线 4 分离点 整理后 5 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹如图所示 增加极点后会使原根轨迹向右半平面移动 根轨迹示例1 根轨迹示例2 j 0 三 闭环极点的确定 例9某单位反馈系统开环传递函数为 1 试概略绘制系统根轨迹 2 求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点 3 用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环根轨迹增益的范围 4 计算阻尼比的值以及相应的闭环极点 解系统开环传递函数 1 概略绘制系统根轨迹 开环极点 起点 实轴上的根轨迹 渐近线 分离点 根轨迹与虚轴的交点 令实部虚部分别为0 有系统根轨迹如图所示 2 求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点由于根轨迹与虚轴的交点为 对应的根轨迹增益为 因此当时系统稳定 为系统临界根轨迹增益 根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点 第三个闭环极点可由根之和法则求得 3 用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环根轨迹增益的范围从根轨迹图上可以看出 分离点为对应的值可以由模值条件求出稳定欠阻尼状态的根轨迹增益的范围为 4 计算阻尼比的值以及相应的闭环极点 为了确定满足阻尼比条件时系统的3个闭环极点 首先做出的等阻尼线OA 它与负实轴夹角为等阻尼线OA与根轨迹的交点即为相应的闭环极点 可设相应两个复数闭环极点分别为 闭环特征方程式为 4 3广义根轨迹 一 参数根轨迹除开环根轨迹增益以外的其它参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同 只需要在绘制参数根轨迹之前 引入 等效开环传递函数 将绘制参数根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的形式来处理 绘制常规根轨迹时 系统的特征方程为 式中为系统的开环传递函数 如果选择其它参量为可变参数时 引入等效开环传递函数的概念 将系统的特征方程也化为上式的形式 对进行等效变换 将其写成如下形式 A是除以外系统的其它可变参数 而和为两个与A无关的多项式 因此得到等效开环传递函数为 利用上式绘制的根轨迹 就是参数变化时的参数根轨迹 例10单位反馈系统开环传递函数为 试绘制时的根轨迹 解 系统的闭环特征方程为构造等效开环传递函数以作为可变参数等效开环传递函数有3个开环极点 实轴上的根轨迹 渐近线 分离点 由模值条件得分离点处的a值 与虚轴的交点 将带入闭环特征方程式系统根轨迹如图所示 从根轨迹图中可以看出参数a变化对系统性能的影响 当时 闭环极点落在实轴上 系统阶跃响应为单调过程 当时 离虚轴近的一对复数闭环极点逐渐向虚轴靠近 系统阶跃响应为振荡收敛过程 当时 有闭环极点落在右半s平面 系统不稳定 阶跃响应振荡发散 二 零度根轨迹 在负反馈条件下根轨迹方程为 相角条件为 称相应的常规根轨迹为根轨迹 在正反馈条件下 系统特征方程为 此时根轨迹方程为相角条件为相应绘制的根轨迹称为根轨迹 需要绘制根轨迹的来源有二 一是系统中具有正反馈内回路 二是非最小相角系统中包含s最高次幂的系数为负值的因子 以正反馈内回路为例 系统的根轨迹方程 相角条件 模值条件 与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比 模值条件没有变化 因此零度根轨迹的绘制的法则只要考虑相角条件所引起的某些法则的修改 需要修改的根轨迹绘制法则有 法则3 法则4 法则6 4 4系统性能的分析 本节讨论如何利用根轨迹分析 估算系统性能 同时分析附加开环零 极点对根轨迹及系统性能的影响 一 条件稳定系统的分析参数在一定的范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统 条件稳定系统可以通过根轨迹图来确定系统稳定时参数的取值范围 现举例说明 例12设开环系统传递函数为 试利用根轨迹图讨论使闭环系统稳定时的取值范围 由图可以看出 系统是稳定的系统是不稳定的这种情况称为条件稳定系统 通过根轨迹图的分析可以确定要求系统稳定的参数范围 二 利用闭环主导极点估算系统的性能指标 例13在例9中 在计算阻尼比的值以及相应的闭环极点的情况下 估算此时系统的动态性能指标 解根轨迹如图所示 等阻尼线OA与根轨迹的交点即为相应的闭环极点 在例9中已计算出值以及相应的闭环极点 在所求得的3个闭环极点中 至虚轴的距离与 或 至虚轴的距离之比为 是系统的主导闭环极点 于是 该系统可由主导闭环极点所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标 原系统闭环根轨迹增益为1 因此相应的二阶系统闭环传递函数为 原系统为 型系统 系统的静态速度误差系数计算如下 系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为 三 开环零 极点分布对系统性能的影响 开环零 极点的分布决定着系统根轨迹的形状 如果系统的性能不尽人意 可以通过调整控制器的结构和参数 改变相应系统的开环零 极点的分布 调整根轨迹的形状 改善系统的性能 1 增加开环零点对根轨迹的影响 例14三个单位反馈系统的开环传递函数分别为试分别绘制三个系统的根轨迹 解三个系统的零 极点分布及根轨迹分别如下图所示 从图中可以看出 增加一个开环零点使系统的根轨迹向左偏移 提高了系统的稳定度 有利于改善系统的动态性能 而且 开环负实零点离虚轴越近 这种作用越显著 若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近时 构成偶极子 则二者作用相互抵消 因此 可