二项式定理-计数原理 2012高考一轮数学精品课件.ppt

学案3二项式定理 返回目录 1 二项式定理的内容 a b n 右边的多项式叫做 a b n的 其中的系数 r 0 1 n 叫做展开式的 式中的第r 1项an rbr叫做二项展开式的 记作Tr 1 其中0 r n r N n N 二项展开式 二项式系数 通项 考点分析 2 二项式系数的性质 1 对称性与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 即 2 增减性与最大值由知 当k 时 二项式系数是逐渐的 由对称性知它的后半部分是逐渐的 且在中间取最大值 当n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间的两项相等 且同时取得最大值 3 各二项式系数的和为2n 即 2n 4 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即 返回目录 增大 减小 1 的展开式中x5的系数为 2 若在 1 ax 5的展开式中x3的系数为 80 则a 返回目录 考点一求二次展开式的特定项 分析 由通项公式列方程可得 题型分析 解析 1 二项展开式的通项为令8 5 则r 2 T3 1 2 x5 28x5 x5的系数为28 2 在二项展开式中通项公式Tr 1 ax r ar xr 令r 3 得x3的系数 a3 80 a3 8 a 2 返回目录 评析 1 二项展开式的通项公式反映出展开式在指数 项数 系数等方面的内在联系 因此能运用二项展开式的通项公式求特定项 特定项的系数或指数 2 求指定项的系数主要通过二项式定理的通项公式列方程求得 考查计算能力 返回目录 若 x n展开式的二项式系数之和为64 则展开式的常数项为 A 10B 20C 30D 120 B 由展开式的二项式系数之和为64 得2n 64 得n 6 则展开式中的第r 1项Tr 1 x6 r x 1 r x6 2r 令6 2r 0 得r 3 则展开式中的常数项为T4 20 故应选B 返回目录 对应演练 B 1 2x n的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 分析 根据条件可求出n 再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项 系数最大的项则由不等式组确定 返回目录 考点二增减性与最值问题 解析 T6 2x 5 T7 2x 6 依题意有 25 26 n 8 1 2x 8的展开式中二项式系数最大的项为T5 2x 4 1120 x4 设第r 1项系数最大 则有 2r 2r 1 2r 2r 1 返回目录 2 8 r 1 rr 6r 1 2 8 r r 5 又 r N r 5或r 6 系数最大的项为T6 1792x5 T7 1792x6 返回目录 5 r 6 评析 求二项式系数最大的项 要根据二项式系数的性质 n为奇数时中间两项的二项式系数最大 n为偶数时中间一项的二项式系数最大 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式组的方法 返回目录 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 返回目录 对应演练 1 二项式系数最大的项是第11项 T11 310 2 10 x10y10 610 x10y10 2 设系数绝对值最大的项是第r 1项 320 r 2r 319 r 2r 1 320 r 2r 321 r 2r 1 3 r 1 2 20 r 2 21 r 3r 解得 r 所以r 8 即T9 312 28 x12y8是系数绝对值最大的项 返回目录 于是 化简得 3 由于系数为正的项为奇数项 故可设第2r 1项系数最大 于是 322 2r 22r 2 324 2r 22r 4 322 2r 22r 2 320 2r 22r 10r2 143r 1077 010r2 163r 924 0 解之得r 5 即2 5 1 9项系数最大 T9 312 28 x12y8 返回目录 化简得 设 2 x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 返回目录 考点三利用赋值法求二项式系数和的有关问题 分析 利用二项式系数的性质 解析 1 由 2 x 100展开式中的常数项为 2100 即a0 2100 或令x 0 则展开式可化为a0 2100 2 令x 1 可得a0 a1 a2 a100 2 100 a1 a2 a100 2 100 2100 返回目录 3 令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a100 2 100 与x 1所得到的 联立相减可得a1 a3 a99 4 原式 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a2 a100 a1 a3 a99 a0 a1 a2 a100 a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100 2 100 2 100 1 返回目录 评析 1 求关于展开式中系数和的问题 往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数 如1 1 0 2 一般地 对于多项式g x a bx n a0 a1x anxn g x 的各项的系数和为g 1 g x 的奇数项的系数和为 g 1 g 1 g x 的偶数项的系数和为 g 1 g 1 返回目录 设 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a3x3 a9x9 则 a0 a1 a2 a9 A 29B 49C 39D 59 B 由通项公式可知 1 3x 9的展开式中含x的奇次幂的项的符号均为 即a1 a3 a9均小于零 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a9 因而在 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a9x9中令x 1 便可求出其值 即 a0 a1 a2 a9 1 3 1 9 49 故应选B 返回目录 对应演练 求值 1 2n 2n 1 3 2n 2 32 2 3n 1 3n 2 2 2 2 返回目录 考点四有关二项式的应用 分析 构造二项式 通过赋值法求值 评析 与组合数有关的求值问题 解答过程大体上用两个知识点 二项展开式的逆用 从右往左用 赋值法 解析 1 在二项展开式 a b n an an 1b bn中 令a 2 b 3 得2n 2n 1 3 2n 2 32 2 3n 1 3n 2 3 n 5n 2 原式 1 1 2n 1 1 2n 22n 22n 1 22n 1 2 1 3 22n 1 返回目录 证明 2 1 n 3 其中n N 证明 当n 1时 1 1 2 当n 1时 1 n 1 1 1 2 当n 1时等号成立 1 n 2成立 返回目录 对应演练 1 n 1 1 1 2 2 2 1 n 1 3 n 1 3 2 1