5-6-1定积分的应用.ppt

2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 1 第五节定积分的应用 definiteintegral sapplication 一 定积分的几何应用 二 定积分的物理应用 三 定积分的经济应用 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 2 第五节定积分的应用 definiteintegral sapplication一 定积分的几何应用1 问题的提出2 用定积分求平面图形的面积3 用定积分求体积4 平面曲线的弧长5 小结思考题 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 3 回顾 曲边梯形求面积的问题 一 问题的提出 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 4 面积表示为定积分的步骤如下 3 求和 得A的近似值 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 5 4 求极限 得A的精确值 提示 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 6 微元法的一般步骤 1 根据问题的具体情况 选取一个变量例如 x 为 积分变量 并确定它的变化区间 2 设想把区间 分成 n 个小区间 取其中任 一小区间并记为 求出相应于这小区 间的部分量 的近似值 如果 能近似地表示 为 上的一个连续函数在 x 处的值 与 dx 的乘积 就把 称为量 F 的元素且记作 dF 即 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 7 3 以所求量 F 的元素 为被积表达式 在 区间 上作定积分 得 即为所求量 F 的积分表达式 这个方法通常叫做微元法 应用方向 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 功 水压力 引力和平均值等 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 8 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 1 直角坐标系情形 dx dx 二 用定积分求平面图形的面积 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 9 X Y 0 a S a b 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 10 X Y 0 a b S 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 11 X Y 0 a b S y x y f x y g x a b 对x积分 S x 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 13 X Y 0 a b S 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 14 b a y x S x 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 15 解 两曲线的交点 面积元素 选为积分变量 问题 积分变量只能选吗 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 16 解 两曲线的交点 选为积分变量 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 17 于是所求面积 说明 注意两个积分区间上被积函数的形式有什么不同 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 18 解 两曲线的交点 选为积分变量 如选x为积分变量 图形需分成两块 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 19 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 这里对函数的要求是 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 20 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 21 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 1 旋转体的体积 三 用定积分求体积 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 22 旋转体的体积为 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 23 例 5 求星形线 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积 解 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 24 用MATLAB计算符号定积分 格式 int f v a b 命令是对表达式f中指定的符号变量v从a到b的定积分 symsxa int pi a 2 3 x 2 3 3 a a ans 32 105 a 3 pi 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 25 例 6 连接坐标原点 O 及点 的直线 直线 及 x 轴围成一个直角三角形 将它绕 x 轴旋 转构成一个底半径为 r 高为 h 的圆锥体 计算 圆锥体的体积 解 直线方程为 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 26 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 27 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 28 弧微分 弧长 1 直角坐标情形 四 平面曲线的弧长 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 29 例 1 计算曲线 上相应于 x 从 a 到 b 的一段 弧的长度 解 所求弧长为 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 30 曲线弧为 弧长 2 参数方程情形 弧微分 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 31 五 小结思考题 1 元素法的提出 思想 步骤 2 求在直角坐标系下 参数方程形式下 极坐标系下平面图形的面积 3 旋转体的体积 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 32 思考题 1 2 微元法的实质是什么 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 33 思考题1解答 两边同时对求导 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 34 积分得 所以所求曲线为 思考题2解答 微元法的实质仍是 和式 的极限 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 35 求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S 练习1 X Y 0 1 1 s 2020 1 27 河北工业职业技术学院王力加 36 求由曲线与直线围成平面图形的平面图形S 练习2 X