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文档简介

2011年硕士生矩阵论试卷 任课教师 .学院专业 学号 姓名 .一、填空题（共26分） 1. （4分）实数域上的矩阵空间的维数为 ，其一组基为 。 2. （4分）可对角化的 4阶实矩阵A的特征多项式是，则A的最小多项式为 。3. （12分）设，则 ， ， ， ， 。 4.（4分）矩阵幂级数绝对收敛，则级数的和是 。 5.（2分） 已知三阶矩阵A的特征值为0,0,1，= 。 二、判断题（每题2分，共10分）1. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相合关系。 （ ）2. 数域P上的两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同。 （ ）3. 设，则相似的充分必要条件是它们对应的特征矩阵有相同的不变因子。 ( )4. n阶单位矩阵I 的从属于任何向量范数的算子范数都为1。 （ ）5. 设有矩阵序列则的充要条件是 . ( ) 三、计算题（共50分）1. (10分) 在中, 设基 (I) ：， ， ，基(II): ， ， ，试求从基(I)到基(II)的过渡矩阵。 2.（10分）在中的多项式为， A 。求的一组基，使 A在这组基下的矩阵为对角阵。3. （10分）在中，试分别用初等旋转变换（Givens变换）和镜像变换（Householder变换）把向量变为与同方向的向量。4. （10分）设，（1）求的Smith标准形；（2）分别写出A的不变因子和初等因子及其Jordan标准形。5. （10分） 设欧氏空间中， 内积。（1）求基的度量矩阵。（2）利用（）中的度量矩阵计算的内积。四、证明题（共14分）1. （7分）设是欧氏空间中的非零向量，定义变换：A=，（1）验证：A 是线性变换；（）证明A是正交变换的充要条件是。2. （7分）设是实数域R上的赋范线性空间。在基（I）：下的坐标为，为中的向量2-范数。（1）证明： 是中的向量范数；（2）设在基（II）：下的
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