第十四章 网络函数.ppt

第十四章网络函数 内容提要 1 网络函数的定义及性质 2 网络函数的零点和极点 3 零极点与冲激响应 4 零极点与正弦稳态响应 本章重点 1 网络函数的定义 2 零极点与冲激响应 3 零极点与正弦稳态响应 难点 1 零极点与正弦稳态响应的关系 2 零极点的分布与频率响应 第十四章网络函数 14 1拉氏变换 利用拉普拉斯变换将时域t中的微分方程变换为复频域s中的代数方程 求出复频域函数后 再作反变换即可得到电路的解答 1 定义 一个定义在 0 区间的时域函数 其拉普拉斯变换式定义为 式中为复数 则称为的像函数 称为的原函数 用拉氏变换分析电路的方法称为复频域分析法 又称为运算法 由到的变换称为拉普拉斯反变换 定义为 式中c为正的有限常数 可写成为 例14 1求下列函数的像函数 单位阶跃函数 单位冲激函数 指数函数 解 2 拉普拉斯变换的基本定理 线性定理 设则有 微分定理 设则 积分定理 设则 时域位移 延迟 定理 设则 复频域位移定理 设则 一些常用的拉普拉斯变换详见表 14 2拉普拉斯反变换的有理分式展开 电路响应的像函数通常可表示为两个实系数的的多项式之比 即的一个有理分式 式中均为正整数且 把分解成若干简单项之和 而这些简单项可以在拉氏变换表中找到 这种方法称为部分分式展开法 或称为分解定理 上式中当时则为真分式 当时则其中为真分式 展开其分式时要求的根可以是 有个单根即 将上式两边都乘以得 令则有 或由 为 于是有 相应的原函数为 例求的原函数 解 则有 或 2 有共轭复根 此时 则有 且与为共轭复数 设则于是有 例 求的原函数 解 由可得 则有 即 即有 即 3 具有重根 设中含有因式 其余为单根 可分解为 对于单根有 或 对于重根有 当具有重根其余为单根时则可分解为 则有 如果具有多个重根时 对于每个重根分别利用上述方法即可得到各系数 例求的原函数 解 为三重根 为二重根 即有 由此可得 即有 4 3运算电路分析 1 运算电路 时域复频域 电阻 电容 电感 耦合电感 如图所示为串联电路其对应的运算电路为 对于时域电路有 对此式两边取拉氏变换可得 此式与运算电路也是对应的 上式也可以写成 当时则有 此式称为运算形式的欧姆定律 称为串联电路的运算阻抗 2 运算法 运算法就是把时间函数变换为对应的像函数 从而把问题归结为求解以像函数为变量的线性代数方程 求得像函数后再利用拉氏反变换可求得对应的时间函数 初始条件为零时 运算形式与相量形式类似 在非零初始条件时运算形式中要考虑附加电源的作用 等效运算电路的模型直接表明了全响应是零输入响应和零状态响应之和 例 电路如图 电路已处于稳态 时S闭合 试用运算法求解电流 其中 解 其运算电路如图所示 应用回路电流法可得方程 代入数值可得 解得 例 电路如图为并联电路 激励为电流源 若 试求电路的响应 解 运算电路如图所示 时 时 也可以求出电容之路的电流 或由 例 电路如图 原处于稳态 时 闭合 求 时 已知 解 应用节点法 如图所示 代入数据可得 其运算电路如图 例 电路如图 已知 激励源为直流电压源 试求 时 电流 和 闭合后的 解 则可画出运算电路图 应用回路电流法可得方程 代入数值整理可得 由此可得 例 电路如图 原来闭合 求打开后电路中的电流及电感上的电压 已知 解 开关动作前有 由此可画出运算电路如图 由图可得 则有 则有 而 此式中未含冲激项 例 如图所示为含有受控源的电路 时 求电路的零状态响应电流 和 闭合 解 先画出运算电路图 应用回路法可得方程 其中 解得 例 如图电路原来打开且电路已达稳定 时闭合 求各电容的电压 和电流 原来未充电 解 运算电路如图 应用节点法可得 或 由此可以看出 a 点仍满足电荷守恒定律 即有 例 如图电路 开关原在闭合位置已久 求 时打开后的 和 已知 解 其运算电路如图 以点 为参考节点 对点列 节点电压方程有 注意 此时不能应用换路定律 只能应用磁链守恒定律 因此应用运算法可避免求时刻数值的麻烦 若求则有分量 对电感支路加阶跃电流源则电感两端的电压就有分量 对电容元件 加阶跃电压源则电容的电流就有分量 因为 14 4网络函数的定义 在线性动态电路的时域分析中 响应对激励的关系通常用线性常系数微分方程表示即 式中 分别是输入输出的时间函数 若初始条件为零 则有其拉氏变换为 称为网络函数 按照激励和相应的位置不同 网络函数又分为策动点函数即输入函数或入端函数 阻抗或导纳 和传递函数即转移函数 阻抗或导纳 或传输函数 电压或电流 如图所示 网络函数通常又称为系统函数 即有 或 当 即 时则 即 的原函数 也就是电路的单位冲激响应 即 例 电路如图激励 求冲激响应 即求 解 先画出运算电路如图所示 与激励为同一端口即网络函数为驱动点阻抗 例 若网络的冲激响应为输入求零状态响应 解 网络函数 输入 则有 即 例 电路如图为一低通滤波器 激励是电压源 已知 求电压转移函数 和驱动点导纳函数 解 先画出运算电路图 应用回路法可得 解得 其中 代入数值则有 电压转移函数为 驱动点导纳函数为 14 5网络函数的极点和零点 将分子和分母进行因式分解 并假设无重因子且分子分母无公因式 则 其中 称为零点 称为的极点 为实系数称为增益常数 知道了零极点和 则即可确定 在复平面 或S平面 以S的实部 为横轴 虚部 为纵轴 零点用 极点用 表示 就可得到网络函数的零极点分布图 例 的极点 零点 求 并绘出 的零极点图 解 零极点图为 14 6极点 零点与冲激响应 电路零状态响应的响函数 响应中包含的根的那些项属于强制分量 而包含的根 网络函数的极点 的那些项则是自由分量或瞬态分量 讨论的极点与冲激响应的关系 将网络函数写成部分分式展开的形式 设无重极点 真分式 是 方程的根 其冲激响应为 的极点 也就是微分方程的特征 如图所示 极点分布与冲激响应的关系 a 当极点时 为恒定值 b 当极点为正负实数时 则为增长指数曲线 为衰减指数曲线 c 当两极点为共轭虚根时即 为等幅正弦函数 则 d 当两极点为左半平面的共轭复数时 则 是幅值衰减的正弦函数 e 当两极点为右半平面的共轭复数时 则 是幅值增长的正弦函数 网络稳定性的判别 当时为渐进稳定的 全部极点均在左半平面 当时为不稳定的 当有一个极点 或一个以上 在右半平面时 当 有限值 时稳定的 当大部分极点在左半平面 但也有极点在虚轴上时 例 电路如图 由网络函数 的极点分布情况分析变化规律 解 1 当 时 的极点位于左半平面 中的自由分量为衰减的正弦振荡 其包络线的指数为 振荡角频率为越大 衰减越快 2 当 时 极点位于虚轴上 为等幅振荡 3 当 时 极点位于实轴上 由两个衰减不同的指数函数组成 中的强制分量取决于外施激励 即 稳态 14 6极点 零点与频率响应 在网络函数中令则随频率变化的特性称为频率特性 又称为频率响应 可表示为 其中 是的偶函数 是的奇函数 由 可得 模值 与的关系曲线称为幅频特性 幅角 与的关系曲线 称为相频特性 例 电路如图所示 试分析以电压为输出时电路的频率响应 解 即 其极点 零点 令则和可用