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3 2 2函数模型的应用实例 一 二 一 利用具体函数模型解决实际问题1 常见的数学模型有哪些 提示 利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容 具体函数的运用在生活中有很多体现 在学习完函数这部分内容以后 希望同学们能重点运用一次函数 二次函数 指数函数 对数函数和幂函数 分段函数等常见函数来解决问题 下面是几种常见的函数模型 1 一次函数模型 f x kx b k b为常数 k 0 3 二次函数模型 f x ax2 bx c a b c为常数 a 0 注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型 在高考的应用题考查中最为常见 一 二 4 指数函数模型 f x a bx c a b c为常数 a 0 b 0 且b 1 5 对数函数模型 f x mlogax n m n a为常数 m 0 a 0 且a 1 6 幂函数模型 f x axn b a b n为常数 a 0 n 1 7 分段函数模型 这个模型实则是以上两种或多种模型的综合 因此应用也十分广泛 一 二 2 做一做 1 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 现有2个这样的细胞 分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 A y 2xB y 2x 1C y 2xD y 2x 1 2 假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R a 广告效应D R A 则当A 时 取得最大的广告效应 解析 1 分裂一次后由2个变成2 2 22 个 分裂两次后变成4 2 23 个 分裂x次后变成2x 1个 一 二 二 拟合函数模型1 应用拟合函数模型解决问题的基本过程 一 二 2 解答函数实际应用问题时 一般要分哪四步进行 提示 第一步 分析 联想 转化 抽象 第二步 建立函数模型 把实际应用问题转化为数学问题 第三步 解答数学问题 求得结果 第四步 把数学结果转译成具体问题的结论 做出解答 而这四步中 最为关键的是把第二步处理好 只要把函数模型建立妥当 所有的问题即可在此基础上迎刃而解 一 二 3 做一做 红豆生南国 春来发几枝 图中给出了红豆生长时间t 月 与枝数y 枝 的散点图 那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好 A 指数函数y 2tB 对数函数y log2tC 幂函数y t3D 二次函数y 2t2解析 根据所给的散点图 观察可知图象在第一象限 且从左到右图象是上升的 并且增长速度越来越快 根据四个选项中函数的增长趋势可得 用指数函数模型拟合最好 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 探究一一次函数与二次函数模型的应用例1 1 某厂日生产文具盒的总成本y 元 与日产量x 套 之间的关系为y 6x 30000 而出厂价格为每套12元 要使该厂不亏本 至少日生产文具盒 A 2000套B 3000套C 4000套D 5000套 2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果 假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元 市场调查发现 若每箱以50元的价格销售 平均每天销售90箱 价格每提高1元 平均每天少销售3箱 求平均每天的销售量y 箱 与销售单价x 元 箱 之间的函数关系式 求该批发商平均每天的销售利润w 元 与销售单价x 元 箱 之间的函数关系式 当每箱苹果的售价为多少元时 可以获得最大利润 最大利润是多少 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 1 解析 因利润z 12x 6x 30000 所以z 6x 30000 由z 0解得x 5000 故至少日生产文具盒5000套 答案 D 2 解 根据题意 得y 90 3 x 50 化简 得y 3x 240 50 x 55 x N 因为该批发商平均每天的销售利润 平均每天的销售量 每箱销售利润 所以w x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 50 x 55 x N 因为w 3x2 360 x 9600 3 x 60 2 1200 所以当x 60时 w随x的增大而增大 又50 x 55 x N 所以当x 55时 w有最大值 最大值为1125 所以当每箱苹果的售价为55元时 可以获得最大利润 且最大利润为1125元 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 反思感悟1 一次函数模型的应用利用一次函数求最值 常转化为求解不等式ax b 0 或 0 解答时 注意系数a的正负 也可以结合函数图象或其单调性来求最值 2 二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时 可以利用配方法 判别式法 换元法 讨论函数的单调性等方法求最值 也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解 但一定要注意自变量的取值范围 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 变式训练1 1 商店出售茶壶和茶杯 茶壶定价为每个20元 茶杯每个5元 该商店推出两种优惠办法 买一个茶壶赠一个茶杯 按总价的92 付款 某顾客需购买茶壶4个 茶杯若干个 不少于4个 若购买茶杯x 个 付款y 元 试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式 并讨论该顾客买同样多的茶杯时 两种办法哪一种更优惠 2 某自来水厂的蓄水池存有400吨水 水厂每小时可向蓄水池中注水60吨 同时蓄水池又向居民小区不间断供水 t小时内供水总量为120吨 0 t 24 从供水开始到第几小时时 蓄水池中的存水量最少 最少存水量是多少吨 若蓄水池中水量少于80吨时 就会出现供水紧张现象 请问 在一天的24小时内 有几小时出现供水紧张现象 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 解 1 由优惠办法 可得函数解析式为y1 20 4 5 x 4 5x 60 x 4 且x N 由优惠办法 可得y2 5x 20 4 92 4 6x 73 6 x 4 且x N y1 y2 0 4x 13 6 x 4 且x N 令y1 y2 0 得x 34 所以 当购买34个茶杯时 两种优惠办法付款相同 当4 x34时 y1 y2 优惠办法 更省钱 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 2 设t小时后蓄水池中的存水量为y吨 所以y 400 10 x2 120 x 10 x 6 2 40 当x 6 即t 6时 ymin 40 即从供水开始到第6小时时 蓄水池存水量最少 只有40吨 令400 10 x2 120 x 80 即x2 12x 32 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 探究二分段函数模型的应用例2某公司生产一种产品 每年投入固定成本0 5万元 此外每生产100件这种产品还需要增加投资0 25万元 经预测可知 市场对这种产品的年需求量为500件 当出售的这种产品的数量为t 单位 百件 时 销售所得的收入约为5t t2 万元 1 若该公司的年产量为x 单位 百件 试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数 2 当这种产品的年产量为多少时 当年所得利润最大 分析 利润 销售收入 总的成本 由于本题中的销量只能为500件 但生产的数量不确定 所以模型确定为分段函数模型 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 解 1 当05时 产品只能售出500件 所以 所以当x 4 75 百件 时 f x 有最大值 f x max 10 78125 万元 当x 5时 f x 12 0 25 5 10 75 万元 故当年产量为475件时 当年所得利润最大 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 反思感悟1 分段函数的 段 一定要分得合理 不重不漏 2 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集 3 分段函数的值域求法 逐段求函数值的范围 最后比较再下结论 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 变式训练2甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律 每生产产品x 单位 百台 其总成本为G x 单位 万元 其中固定成本为2 8万元 并且每生产1百台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入R x 假定该产品产销平衡 即生产的产品都能卖掉 根据上述统计规律 请完成下列问题 1 写出利润函数y f x 的解析式 利润 销售收入 总成本 2 甲厂生产多少台新产品时 可使盈利最多 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 解 1 由题意得G x 2 8 x 2 当x 5时 函数f x 单调递减 f x 8 2 5 3 2 万元 当0 x 5时 函数f x 0 4 x 4 2 3 6 当x 4时 f x 有最大值为3 6万元 故当工厂生产4百台时 可使盈利最大为3 6万元 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 探究三指数或对数函数模型的应用例3一片森林原来的面积为a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍伐到面积的一半时 所用时间是10年 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 分析 可建立指数函数模型求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 解得n 15 故今后最多还能砍伐15年 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 反思感悟1 本题涉及平均增长率的问题 求解可用指数型函数模型表示 通常可以表示为y N 1 p x 其中N为原来的基础数 p为增长率 x为时间 的形式 2 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题 都常用到指数型函数模型 2020 1 27 23 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 游回产地产卵 记鲑鱼的游速为v 单位 m s 鲑鱼的耗氧量的单位数为Q 研究中发现v与log3成正比 且当Q 900时 v 1 1 求出v关于Q的函数解析式 2 计算一条鲑鱼的游速是1 5m s时耗氧量的单位数 3 一条鲑鱼要想把游速提高1m s 其耗氧量的单位数应怎样变化 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 故一条鲑鱼的游速是1 5m s时的耗氧量为2700个单位 3 设鲑鱼耗氧量为Q1 Q2时 游速分别为v1 v2 故鲑鱼要想把游速提高1m s 其耗氧量单位数应变为原来的9倍 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 探究四拟合函数模型的应用题例4为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响 在山上建立了一个观察站 测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2 现有连续10年的实测资料 如下表所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 1 描出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的数据点 x y 2 建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y f x 并作出其图象 3 根据所建立的函数模型 若今年最大积雪深度为25cm 则可以灌溉的土地面积是多少 分析 首先根据表中数据描出各点 然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 解 1 数据点分布如图甲所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 2 从图甲中可以看到 数据点大致落在一条直线附近 由此 我们假设灌溉面积yhm2和最大积雪深度xcm满足线性函数模型y a bx a b为常数 b 0 取其中的两组数据 10 4 21 1 24 0 45 8 用计算器可算得a 2 4 b 1 8 这样 我们得到一个函数模型y 2 4 1 8x 作出函数图象如图乙 可以发现 这个函数模型与已知数据的拟合程度较好 这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系 3 由 2 得当x 25时 y 2 4 1 8 25 47 4 即当最大积雪深度为25cm时 可以灌溉土地47 4hm2 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 反思感悟对于此类实际应用问题 关键是先建立适当的函数关系式 再解决数学问题 然后验证并结合问题的实际意义作出回答 这个过程就是先拟合函数再利用函数解题 函数拟合与预测的一般步骤是 1 能够根据原始数据 表格 描出数据点 2 通过数据点 画出 最贴近 的直线或曲线 即拟合直线或拟合曲线 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上 滴 点 不漏 那么这将是个十分完美的事情 但在实际应用中 这种情况一般是不会发生的 因此 使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧 得出的拟合直线或拟合曲线就是 最贴近 的了 3 根据所学函数知识 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 4 利用函数关系式 根据条件对所给问题进行预测和控制 为决策和管理提供依据 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 延伸探究根据本例所建立的函数模型 若明年可以灌溉的土地面积是56 4hm2 则最大积雪深度为多少 解 当y 56 4时 由56 4 2 4 1 8x 解得x 30 即最大积雪深度为30cm 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错典例如图所示 在矩形ABCD中 已知AB a BC b b a 在AB AD CD CB上分别截取AE AH CG CF 且AE AH CG CF x 问 当x为何值时 四边形EFGH的面积最大 并求出最大面积 错解设四边形EFGH的面积为S 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 如何防范 提示 错解中没有考虑所得二次函数的定义域 就直接利用二次函数的性质求解 从而导致出错 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 正解 设四边形EFGH的面积为S 则 当a 3b x b时 S有最大值ab b2 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 防范措施对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x受实际问题的约束 看似一个细节失误 但会造成严重错误 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 变式训练如图 OAB是边长为2的正三角形 记 OAB位于直线x t t 0 左侧的图形的面积为f t 则函数f t 的解析式为 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 1 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示 则图象所对应的函数模型是 A 分段函数B 二次函数C 指数函数D 对数函数解析 由题图知 在不同的时间段内 对应的图象不同 故对应函数模型应为分段函数 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 2 某地区植被被破坏 土地沙化越来越严重 最近三年测得沙漠增加值分别为0 2万公顷 0 4万公顷和0 76万公顷 则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是 解析 当x 1时 否定选项B 当x 3时 否定选项A D 检验C项较为接近 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 当堂检测 3 某汽车销售公司在A B两地销售同一种品牌车 在A地的销售利润 单位 万元 为y1 4 1x 0 1x2 在B地的销售利润 单位 万元 为y2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车 则能获得的最大利润是 A 10 5万元B 11万元C 43万元D 43 025万元 解析 设该公司在A地销售x辆时 获得的总利润为y万元 则 又0 x 16 且x N 所以当x 10或x 11时 y取最大值43 即能获得的最大利润为